Неоптимальность равновесия Курно с точки зрения олигополистов

В равновесии Курно объем производства с точки зрения олигополистов неоптимален. Другими словами, если любая из фирм (немного) снизит свой выпуск, то общая прибыль вырастет. Этого уже достаточно, чтобы показать неоптимальность, ведь прирост прибыли можно перераспределить между олигополистами так, чтобы в конечном счете ни у кого из них прибыль бы не уменьшилась.

Предположим, что объемы производства изменились на cly3 < О, причем хотя бы для двух участников неравенство здесь стро-

roe. Как при этом изменится прибыль j-ro участника? Напомним, что прибыль j-ro участника равна

п

П(.>)•// '(//).

i=i

Беря полный дифференциал в точке равновесия Курно, получим

п п п

dllj = p'(J2y*i) ¦ Уз ¦ (J2dVi) + р(ЛУг) ¦ dyj - <•'(//)•'/// =

i= 1 г=\ г= 1

n n n

= р'(Т,уЬ ¦ yi ¦ (T,dyi) + (р'(Т,уЬ ¦ yi + р(Т,уЬ - c'j(y*i)) ¦ dVj-

1=1 t /j 1=1 1=1

Из условия первого порядка следует, что второе слагаемое равно нулю. Поскольку по крайней мере два олигополиста

уменьшили свой объем производства, то < 0. При естествен-

гф]

ных предположениях, что функция спроса строго убывает и у всех монополистов объемы производства в равновесии Курно положительны, получим, что г/П( 0.',,:

Проиллюстрировать ситуацию и показать, что олигополия Курно выпускает больше оптимального количества продукции (с точки зрения ее участников) для случая дуополии можно графически (Рис. 64). Поскольку, как и в любой точке любой кривой отклика, в точке равновесия Курно касательные к кривым равной прибыли перпендикулярны друг другу, то возможен сдвиг, который увеличи- рисунок 64 вает прибыль обоих олигополистов (на рисунке показан стрелкой).

Рассматривая возможности соглашений между олигополи- стами относительно объемов выпуска (квот на производство продукции) будем различать два случая — картель и сговор.

Если допустимо перераспределение прибыли между олигопо- листами, то им выгодно выбирать объемы производства, максимизирующие суммарную прибыль.

Напротив, если такое перераспределение по каким-то причинам неосуществимо, то будем называть такой тип соглашений сговором о квотах выпуска.

Сначала мы рассмотрим модель сговора. Определим возможную точку сговора как точку уъ ..., уп > 0, которая удовлетворяет двум условиям:

1) Каждый участник в точке сговора получает прибыль не меньшую, чем его прибыль в равновесии Курно:

MZ/2

Рисунок 63

2) точка сговора является эффективной (лежит на границе Парето игры без перераспределения прибыли), то есть не существует другой точки уъ ..., уп > 0, дающей всем не меньшую прибыль, а по крайней мере одной из фирм — большую.

Как правило, таких точек может быть много (см. отрезок АВ на Рис. 63). Назовем соответствующее множество переговорным множеством. Какая именно точка будет выбрана, зависит от процедуры переговоров и переговорной силы участников. Процедуру переговоров (торг) можно представлять как некоторую некооперативную игру, но эта игра остается за рамками модели.

Заметим также, что поскольку, вообще говоря, равновесий Курно может быть несколько, то переговорное множество зависит от того, какое из равновесий Курно участники считают за исходную точку (точку угрозы).

Как правило, сговор состоит в том, что участники договариваются о квотах выпуска для того, чтобы уменьшить суммарный выпуск и поднять рыночную цену. На Рис. 63 видно, что суммарный выпуск во всех точках переговорного множества ниже, чем в равновесии Курно: если через точку равновесия Курно провести прямую у1 + у2 = у\ + yi, то переговорное множество будет лежать ниже этой прямой. Следующее утверждение формализует эту идею.

! Теорема 32.

j Пусть при сговоре все фирмы производят продукцию в j положительных количествах: у3 > 0 Vj, и обратная j функция спроса убывает. Тогда суммарный выпуск при j сговоре не превышает суммарный выпуск в соответст- j вующем равновесии Курно: j Y < Y*,

! а равновесная цена при сговоре не меньше цены в соот- j ветствующем равновесии Курно:

! p{Y)^p(Y).

Доказательство.

По определению сговора, прибыль каждого участника не ниже, чем в равновесии Курно:

P(Y).'/ - с3(у3) ¦ p(Y*) у* - с3(у3)

С другой стороны, при выборе yi = yj участник j должен получить не меньшую прибыль, чем при выборе yi = ур если суммарный выпуск остальных такой же, как в равновесии Курно

(V):

p(Y*) Уз - Cjiy'j) ¦ /'(V' • у) у - г (у ).

Суммируя эти неравенства, получим

р{У-з+У)Уз-

Мы предположили, что у 0, поэтому

p(Y)^p(Y:3+y).

Из убывания функции спроса Y-j< Y-j.

Y < Y*.

¦

Дифференциальная характеристика точки сговора может быть получена из задачи поиска Парето-оптимума без перераспределения прибыли. Точка уъ ..., уп > 0 Парето-оптимальна, если для любого j она является решением задачи

Щуъ Уп) ->тах

ПДг/ь ..., у„) > ПДг/1; ..., у„),

Уъ Уп > 0.

По теореме Куна-Таккера для внутреннего решения уъ ..., уп > 0 существуют множители Лагранжа ..., Хп > 0, причем Х3 = 1, такие что выполнены условия первого порядка:

i=l ОУк

В случае двух фирм эта дифференциальная характеристика означает, что кривые равной прибыли касаются друг друга (см. Рис. 63). Дифференциальную характеристику можно переписать в виде:

p'(Y)ixtyt + Хк [р(У) - с^,)] = 0 Vfc.

!=1

Поскольку Xj= 1, то из убывания функции спроса следует, что первое слагаемое не равно нулю, и что все множители Лагранжа положительны.

Пользуясь этими соотношениями, докажем, что сговор неустойчив, если нет каких-то механизмов, принуждающих к выполнению соглашений. Конкретнее, подразумевается, что если в точке сговора любая фирма немного увеличит свой выпуск, то ее прибыль возрастет.

j Теорема 33.

j Пусть

j 1) при сговоре все фирмы производят продукцию в по- j ложительных количествах: > 0 Vj,

j 2) обратная функция спроса убывает и дифференцируе- j ма, причем p'(Y) < 0;

j 3) функции издержек дифференцируемы, ! 4) функции прибыли вогнуты, j Тогда в точке сговора

j 'О ' ' V/,.

Доказательство.

Пользуясь дифференциальной характеристикой внутренней точки сговора и положительностью всех множителей Лагранжа, получим

MrU, ..., '/.J >:>-|LJ-(// . ..., //.,) = //(V !•>;/-.;/. '1 V/.-.

°Ук i*k аУк 1Фк