Картель

Рассмотрим теперь модель картеля. Поскольку фирмы могут перераспределять прибыль и целевые функции олигополистов квазилинейны по деньгам, то максимум суммарной прибыли есть Парето-оптимум олигополии.

г 1 г 1

где Y= уг + ... + уп — суммарный объем производства. Продифференцировав по выпускам всех фирм, получим дифференциальную характеристику равновесия картеля:

p(YK)+p'(YK)YK = c'3(yK3), если у) >0. Как видим, картель так распределит объемы производства между предприятиями при положительных объемах выпуска, чтобы предельные издержки были равными. Так, если с'^у,) = с,, то совокупный выпуск отрасли совпадает с равновесием при монополии, когда предельные издержки монополиста равны

Пример 17.

Пусть как и в Примере 14 обратная функция спроса линейна: р(у) = a - by, а функции издержек имеют вид с ¦(?/¦) = суг Объем производства картеля определяется соотношением

p(YK) + p'(YK)YK = а- bYK - bY* = с = ф').

Таким образом, он равен

} " 26 ' а прибыль картеля равна

{a-bYK)YK - cYK

4 b •

В равновесии Курно, как мы показали в Примере 14, суммарный объем производства равен

} ~(/г + 1)6

а суммарная прибыль, как несложно рассчитать, равна

п(а-с)2 ггхттгг

(п.+ 1)2 6'

откуда ясна неоптимальность равновесия Курно с точки зрения производителей. Они могли бы получать больше прибыли, если бы производили меньше. ^ Используя ту же логику доказательства, как в Теоремах 26 и 27, можно показать, что олигополисты будут производить меньше, если объединятся в картель, чем если они будут конкурировать по Курно (здесь, как и ранее, мы предполагаем равенство функций издержек у всех олигополистов). Доказательство соот-

ветствующей теоремы оставляется читателю в качестве упражнения.

j Теорема 34.

! Пусть

j 1) равновесия в модели Курно и модели картеля суще- ! ствуют и все фирмы производят продукцию в положи- j тельных количествах: yKj> 0 Vj,

j 2) обратная функция спроса убывает и дифференцируе- ! ма,

j функция выручки р(у)у вогнута,

! 3) функции издержек с-(-) дифференцируемы и выпук- j лы,

| Тогда в точке картеля суммарный выпуск меньше, чем j в равновесии Курно:

| Y* > Y\

В общем случае ничего определенного относительно соотношения между объемом выпуска картеля и выпуском в равновесии Курно сказать нельзя. Ниже приводится пример, когда картель выпускает больший объем продукции, чем в одном из (трех) равновесий Курно.

Пример 18.

Пусть в отрасли функция обратного спроса равна

Р(У)=9~У

и есть два производителя с одинаковыми функциями издержек

с(у)=N-if2'^4'

[12, 4.

В этой отрасли есть 3 равновесия Курно: (2, 2), (0, 9/2) и (9/2, 0). Максимум прибыли картеля достигается в точках (0, 9/2) и (9/2, 0). Видно, что в симметричном равновесии (2, 2) выпуск меньше, чем у картеля. ^

Заметим, что хотя в данном примере функция издержек не- дифференцируема, ее легко модифицировать, сгладив в окрестности точки у = 4. По-видимому, основная причина полученного результата состоит в том, что в этом примере имеет место возрастающая отдача.

Ясно, что так же как и рассмотренный ранее сговор, картель является неустойчивым, если нет способа гарантировать выполнение соглашения между фирмами.

j Теорема 35.

j Пусть

j 1) в картеле все фирмы производят продукцию в поло- ! жительных количествах: yKj > 0 Vj,

j 2) обратная функция спроса убывает и дифференцируе- | ма,

j 3) функции издержек дифференцируемы, j Тогда в точке картеля

! ЭП„ К К , гч \_/ •

! ~ду '"'

j т.е. каждая фирма может повысить свою прибыль, уве- j личив свой выпуск.

Доказательство.

Производная функции прибыли j-vo участника по своему выпуску равна

fj" /'( V ) • /![)') у г (у).

Учитывая дифференциальную характеристику точки (г/f, ..., уп), р(?*)+р'(?*)?* = ф*),

имеем

fV у") И.

Таким образом, если достигнуто соглашение о квотах выпуска (у3 = yKj), максимизирующих суммарную прибыль, то каждой фирме выгодно (по крайней мере локально) производить больше своей квоты.

118

Задачи

Докажите, что если во внутреннем равновесии Курно один из олигополистов немного уменьшит объем производства, то суммарная прибыль возрастет.

Сформулируйте и докажите теорему о существовании равновесия в случае картеля. (Подсказка: воспользуйтесь аналогичной теоремой в главе о монополии. Пусть существуют ?/¦> 0 j = 1, ..., п такие, что р(у^) < c'^yj) при у^ > уг Докажите, что при любых выбранных выпусках всех производителей, кроме j-vo, картелю не выгодно j-my производителю назначать выпуск больше ур поскольку суммарная прибыль тогда будет строго меньше, чем при выпуске г/ ¦ = уг При этом удобно рассматривать выбор суммарного объема производства, Y, при фиксированном Y_j9 при ограничении У> Y_j.)

Докажите аналог Теоремы 27 для модели картеля с одинаковыми функциями издержек.

Покажите, что если в дуополии предельные издержки производителей удовлетворяют соотношению

c'i(y)>c'2(y),

то при объединении в картель первый производит меньше, чем второй.

Рассмотрите дуопольную отрасль. Пусть обратная функция спроса имеет вид

p(Y)=TTT,

а функции издержек у обоих производителей линейны:

'' <•'/ ' = Уз~

Показать, что в равновесии Курно участники будут выпускать в сумме больше, чем при объединении в картель, и получать меньшую общую прибыль.

Двое олигополистов имеют постоянные одинаковые предельные издержки, равные 1, и конкурируют как в модели Курно. Спрос в отрасли задается обратной функцией спроса p(Y) = 5 -

2Y. Сколько суммарной прибыли они бы выиграли, если бы сумели объединиться в картель?

7. Пусть на олигополистическом рынке ют три

олигополиста с функциями издержек с1(г/1) = 9 , c2yy2i ~ 4 и сз(Уз) = У?

-Q-. Обратная функция спроса на продукцию олигополистов имеет

вид p(V) = 1 - Y. Найдите равновесие Курно и покажите, что это равновесие не оптимально, подобрав такие изменения выпусков олигополистов, чтобы прибыль каждого выросла. Покажите, что картельное соглашение между этими участниками неустойчиво, то есть каждый участник нарушив его получит большую прибыль.

8. Докажите Теорему 34.