14.3.3 Картель

Рассмотрим теперь модель картеля. Поскольку фирмы могут перераспределять прибыль и целевые функции олигополистов квазилинейны по деньгам, то максимум суммарной прибыли есть Парето-оптимум олигополии.

nn

? П = p(Y )Y - ? Cj (yj),

j=i j=i

где Y = yi + ? ? ? + yn - суммарный объем производства. Продифференцировав по выпускам всех фирм, получим дифференциальную характеристику равновесия картеля:

p(YK)+ p'(YK)YK < cj(yjK),

p(YK) + p'(YK)YK = cj(yjK), если yK > 0.

Как видим, картель так распределит объемы производства между предприятиями при положительных объемах выпуска, чтобы предельные издержки были равными . Так, если cj (yj) = Cj, то совокупный выпуск отрасли совпадает с равновесием при монополии, когда предельные издержки монополиста равны

c = min cj.

j

14.3. Картель и сговор 535

Пример 75:

Пусть как и в Примере 72 обратная функция спроса линейна: p(y) = a - by, а функции издержек имеют вид cj (yj) = cyj. Объем производства картеля определяется соотношением

P(YK) + p'(Y K)YK = a - bYK - bYK = c = cj (yK).

Таким образом, он равен

Y K = a - c 2b ,

а прибыль картеля равна

(a - bY K)YK - cY K = (a - c)2.

4b

В равновесии Курно, как мы показали в Примере 72, суммарный объем производства равен

Y * = n(a - c)

(n + 1)b

а суммарная прибыль, как несложно рассчитать, равна

n(a - c)2 (n + 1)2 b,

откуда ясна неоптимальность равновесия Курно с точки зрения производителей. Они могли бы получать больше прибыли, если бы производили меньше. Д

Используя ту же логику доказательства, как в Теоремах 137 и 138, можно показать, что олигополисты будут производить меньше, если объединятся в картель, чем если они будут конкурировать по Курно (здесь, как и ранее, мы предполагаем равенство функций издержек у всех олигополистов).

Теорема 143:

Пусть

равновесия в модели Курно и модели картеля существуют и все фирмы производят продукцию в положительных количествах: yK > 0 Vj,

обратная функция спроса убывает и дифференцируема, функция выручки p(y)y вогнута,

функции издержек cj (?) дифференцируемы и выпуклы,

Тогда в точке картеля суммарный выпуск меньше, чем в равновесии Курно:

Y * > YK. I

В общем случае ничего определенного относительно соотношения между объемом выпуска картеля и выпуском в равновесии Курно сказать нельзя. Ниже приводится пример, когда картель выпускает больший объем продукции, чем в одном из (трех) равновесий Курно.

14.3. Картель и сговор 536

Пример 76:

Пусть в отрасли функция обратного спроса равна

Р(у) =9 - У

и есть два производителя с одинаковыми функциями издержек

с(у)н6у - 4у2, у ^4,

3

12, у ^ 4.

В этой отрасли есть 3 равновесия Курно: (2, 2), (0, 9/2) и (9/2, 0). Максимум прибыли картеля достигается в точках (0, 9/2) и (9/2, 0). Видно, что в симметричном равновесии (2, 2) выпуск меньше, чем у картеля. Д

Заметим, что хотя в данном примере функция издержек недифференцируема, ее легко модифицировать, сгладив в окрестности точки у = 4. По-видимому, основная причина полученного результата состоит в том, что в этом примере имеет место возрастающая отдача.

Ясно, что так же как и рассмотренный ранее сговор, картель является неустойчивым, если нет способа гарантировать выполнение соглашения между фирмами.

Теорема 144:

Пусть

в картеле все фирмы производят продукцию в положительных количествах: ук > 0 Vj,

обратная функция спроса убывает и дифференцируема,

функции издержек дифференцируемы. Тогда в точке картеля

) >0 Vj,

т. е. каждая фирма может повысить свою прибыль, увеличив свой выпуск. J

Доказательство: Производная функции прибыли j -го участника по своему выпуску равна

д П

^ = p(Y)+ p'(Y)у, - с,(у,).

Учитывая дифференциальную характеристику точки (yK,..., уП),

p(Y K)+ p'(Y K)Y K = с, (yK),

имеем

(yK,... ,УП) = -p'(YK)(YK - yK) > 0.

Таким образом, если достигнуто соглашение о квотах выпуска (у, = yK), максимизирующих суммарную прибыль, то каждой фирме выгодно (по крайней мере локально) производить больше своей квоты. ?