14.2.2 Равновесие Штакельберга и равновесие Курно

Представляется интересным сравнить объемы производства в модели Курно и в модели Штакельберга. Результат сравнения для ведомого однозначен: в модели Штакельберга он производит меньше.

Пусть yC и yC - объемы производства в модели Курно.

Лидер в модели Штакельберга в предположении однозначности отклика ведомого всегда может обеспечить себе такую же прибыль, как в модели Курно, назначив у1 = yC, поэтому

p(yC + yC)yC - с1(уС) < p(yS + yS)yS - ЫУ2).

Поскольку yC максимизирует прибыль лидера при /2 = yi, то

Р(У2 + у^у2 - Ci(yS) < p(yC + y^/i - Ci(yC). Если yS > 0, то из этих двух неравенств следует, что

p(y2 + yC) < Р(У2 + У2).

Из убывания спроса имеем, что

yC ^ У2 .

Результат сравнения между объемами производства лидера в двух ситуациях зависит от наклона кривой отклика. В случае, если R2(') убывает (на достаточно большом интервале, который должен заведомо включать, как yC так и у2), имеем

yC < yS.

Если же R2(') возрастает, то, наоборот,

yC ^ У2 .

Функция Я2О убывает, например, в случае линейного спроса и постоянных предельных издержек. Пример возрастающей функции отклика построить достаточно трудно. На Рис. 14.5 показана кривая отклика, соответствующая обратной функции спроса p(y) = 1/у2 при постоянных предельных издержках. При малых объемах производства лидера она возрастает, а при больших - убывает. Для более общего случая рассмотрим теорему.

Рис. 14.5.

Теорема 140:

Предположим, что выполнены следующие условия:

обратная функция спроса, p(y), и функция издержек, С2(у), дважды дифференцируемы,

обратная функция спроса имеет отрицательную производную: p'(y) < 0, Vy ^ 0,

p'(yi + у2) - С2(У2) < 0 при любых yi и у2,

отклик R2(yi) является дифференцируемой функцией .

Тогда в тех точках yi, где R2(yi) > 0, наклон функции отклика R2(yi), удовлетворяет условию

-1 < R(yi),

то есть суммарный выпуск R2(yi) + yi, возрастает.

p'(yi + y2) + p"(yi + y2)y2 < 0 Vyi, yi является необходимым и достаточным для того, чтобы R(yi) < 0. J

Доказательство: При принятых предположениях докажем, что суммарный выпуск дуополии, yi +R2(yi), возрастает по yi. Функция R2(yi) при всех yi таких, что R2(yi) > 0 удовлетворяет условию первого порядка - равенству

p(yi + R2(yi)) + p'(yi + R2(yi)) ? R2(yi) = c2(R2(yi)).

Дифференцируя это соотношение по y1 , получим

p'(yi + R2(yi)) ? (1 + R2(yi)) + p"(yi + R2(yi))R2(yi) ? (1 + R2(yi)) +

+ p'(yi + R2(yi)) ? R2(yi) = c,2,(R2(yi)) ? R2(yi).

Отсюда

(1 + R2(yi)) ? [2p'(yi + R2(yi)) + p"(yi + R2(yi))R2(yi) - c,2,(R2(yi))] =

= p'(yi + R2(yi)) - C,2,(R2(yi)).

По условию второго порядка

2p'(yi + R2(yi)) + p"(yi + R2(yi)) ? R2(yi) - c,2,(R2(yi)) < 0. С другой стороны, по предположению

p'(yi + R2(yi)) - c2(R2(yi)) < 0.

Это гарантирует, что

2p'(yi + R(yi)) + p"(yi + R2(yi)) ? R2(yi) - 4'(R2(yi)) = 0

Получаем, что

-,+ R (y ) = p/(yi + R2(yi)) - С2ЧД2(У1)) (v)

+ 2(У1) 2p'(yi + R2(yi))+ p"(yi + R2(yi)) ? R(yi) - c2'(R2(yi)), ( )

откуда 1 + R2(yi) > 0 или R(yi) > -1.

Докажем теперь неубывание функции отклика R2(yi). Условие (v) можно переписать в виде R2(yi) = - 2Р7

p'(yi + R2(yi)) + p"(yi + R2(yi)) ? R2(yi)

2p'(yi + R2(yi)) + p"(yi + R2(yi)) ? R2(yi) - c,2,(R2(yi))'

В этой дроби знаменатель отрицателен, поэтому условие Я2(У0 < 0 эквивалентно отрицательности числителя, что и требовалось. ?

Рис. 14.6.

Пользуясь полученным ранее результатом, получим, что если R2O) убывает, то

yC + yC < /2 + /2,

а если возрастает, то

У1 + У2 ^ У2 + У2.

В первом случае равновесная цена в равновесии Штакельберга не превышает равновесную цену в равновесии Курно, во втором - наоборот.

Иллюстрация полученных соотношений для случая убывающей кривой отклика представлена на Рис. 14.6. Из рисунка видно, что поскольку точка равновесия в модели Штакельберга лежит ниже кривой равной прибыли, проходящей через точка равновесия в модели Курно, то объем yC должен быть выше у2.

Можно сравнить также прибыли участников в двух ситуациях. Как уже упоминалось ранее, по очевидным причинам прибыль лидера в модели Штакельберга выше. Читателю предлагается доказать самостоятельно простой факт, что прибыль ведомого в модели Штакельберга выше в случае возрастающей функции отклика, и ниже в случае убывающей функции отклика. Пример 74:

Пусть обратная функция спроса линейна: p(y) = a - by, а функции издержек дуополистов имеют вид с, (yj) = cy, (j = 1, 2). Функция отклика второго равна

" , , a - с - byi

R2(yi) = -2Т.

Подставив ее в прибыль лидера, получим

a с b

ni = V-yi - 2у2. S a - с

У2 = "-Г

a - с 4b .

3 a - с

/2 =

Максимум достигается при Кроме того, в равновесии Суммарный выпуск равен

У2 + У2 = 7
4b

Это больше, чем выпуск в модели Курно, но меньше, чем выпуск при совершенной конкуренции, то есть имеется неоптимальность. Д

Приложение

??? В мат. приложении

Задачи

^ 588. Две фирмы, конкурируя на рынке, выбирают объемы производства. Известно, что для этих фирм равновесный объем производства в модели Курно совпадает с равновесным объемом производства в модели Штакельберга. Каков наклон кривых отклика в этой общей точке равновесия? Пояснить графически с использованием кривых отклика и кривых равной прибыли.

^ 589. Рассмотрим отрасль с двумя фирмами. Пусть обратная функция спроса имеет вид

P(Y) = Y,

и обе фирмы имеют постоянные предельные издержки с, (0 < с, < 1). При каких условиях равновесие в модели Штакельберга совпадает с равновесием в модели Курно? Изобразите эту ситуацию на диаграмме (в том числе поведение функций отклика).

^ 590. Двое олигополистов имеют постоянные одинаковые предельные издержки равные 2. Предполагается, что они конкурируют как в модели Штакельберга.

^ 591. Рассмотрим дуополию, в которой у 1 -й фирмы предельные издержки нулевые, а функция издержек 2-й фирмы равна

с2(у) = ау2,

где а > 0 - параметр. Обратная функция спроса в отрасли равна

P (Y) = 1 - Y.

Покажите, что при а ^ то равновесие Курно сходится к равновесию Штакельберга в том смысле, что

У2 (а) : 1 У2 (а) : 1 У1(а) , yC(a) .

^ 592. Докажите Теорему 139 (с. 525), воспользовавшись указаниями, приведенными в тексте. ^ 593. Докажите, что прибыль ведомого в модели Штакельберга при прочих равных условиях выше, чем в модели Курно, в случае возрастающей функции отклика и ниже в случае убывающей функции отклика.

^ 594. Два олигополиста продают свою продукцию на рынках близких благ, выбирая объемы производства. Их обратные функции спроса равны pi = 2 - yi + /2 и p2 = 3 - /2 + yi, а предельные издержки равны 1 и 2 соответственно. Найти равновесие при одновременном и при последовательном выборе объемов производства.