14.2.1 Существование равновесия Штакельберга

Докажем теперь теорему существования равновесия в модели Штакельберга. Теорема 139:

Предположим, что в модели Штакельберга выполнены следующие условия:

функции издержек Cj (y) дифференцируемы,

обратная функция спроса p(y) непрерывна и убывает,

существуют yj > 0j = 1, 2 такие, что p(yj) < cj (yj) при yj ^ yj.

J

Тогда равновесие Штакельберга (yS , y2) существует, причем 0 ^ yS < yj.

1) Докажем, что при любых ожиданиях относительно выпуска лидера ведомому не выгодно выбирать объем производства, превышающий объем y2, в том смысле, что n2(yi,y2) < n2(yi,y2) Vyi при y2 > y2. Рассмотрим разность прибылей:

n2(yi,y2) - n2(yi,y2) = p(yi + y2)y2 - p(yi + y2)y2 - (С2Ы - Cfc^)). Эту разность можно преобразовать следующим образом:

n2(yi,y2) - n2(yi,y2) =

Г У2 Г У2

= p(yi + y2)y2 - p(yi + y2)y2 - p(yi + t)dt + [p(yi + t) - c2(t)]dt.

Jy2 Jy2

Поскольку p(y) убывает, то p(yi + y2) < p(yi + t) при t < y2 и p(yi + t) ^ p(t) при yi ^ 0, поэтому

n2(yi,y2) - n2(yi,y2) <

Г У2

< p(yi + y2)y2 - p(yi + y2)y2 - p(yi + y2)(y2 - y2) + / [p(t) - 4(t)]dt =

Jy2

Г У2

= (p(yi + y2) - p(yi + y2))y2 + / [p(t) - c2(t)]dt < 0.

j У 2

Таким образом, прибыль ведомого при y2 = y2 выше, чем при выпуске любого большего количества. Тем самым, исходная задача выбора ведомого (при любом наперед заданном yi ^

0) эквивалентна задаче выбора на отрезке [0, у2]. Другими словами, отображение отклика исходной задачи совпадает с отображением отклика в задаче максимизации прибыли ведомого на отрезке [0, у/2]. Обозначим множество решений модифицированной задачи при данном у1 через (у 1). Тем самым определено отображение отклика R2 : R+ ^ [0,у2]. Мы доказали, что ^2(у1) = R2(y1) Vy1.

По Теореме ?? из Приложения (с.

Рассмотрим теперь следующую задачу:

П1 (у1, у2) = y1p(y1 + у2)у1 - с1(у1) ^ max (o)

У1,У2>0

у2 ? R2(y1).

Докажем, что решение этой задачи существует.

Пользуясь теми же рассуждениями, что и для функции прибыли ведомого, можно показать, что при любом наперед заданном у2 > 0 прибыль лидера в точке у1 = у1 больше, чем во всех точках у1 > у1. Таким образом, множество решений задачи (o) не изменится, если в нее дополнительно включить ограничение у1 ^ у1.

Таким образом, нам требуется, чтобы существовало решение задачи максимизации прибыли лидера по у1 и у2 на множестве

R = { (у1, у2) | у1 ? [0, /1], у2 ? R2(y1) С [0, /2] } .

Из доказанных свойств отображения R2O следует, что множество R непусто, замкнуто и ограничено. Существование решения такой задачи следует из теоремы Вейерштрасса.

Пусть (yS, у2) - некоторое решение задачи (o). Теперь выбрав любую функцию r2(у1), график которой проходит через точку (yS, у2), и такую что

r2 (у1) ? R2(y1) Vy1, увидим, что выпуск yS является решением задачи лидера

П1 = у1Р(у1 + rS(у1))у1 - с1(у1) ^ max.

yi >0

Действительно, этот выпуск максимизирует цели лидера на всем допустимом множестве задачи (o), а значит - и на множестве, суженном дополнительным ограничением у2 ? r2(у1). Тем самым пара yS, r2(?) удовлетворяет определению равновесия Штакельберга. ?