5.A.1 Существование равновесия в экономике обмена

Приведем альтернативный вариант теоремы существования равновесия в модели обмена, в котором, в отличие от теоремы существования, приведенной в основном тексте, используются более слабые условия на избыточный спрос.

Теорема 70:

Предположим, что функция E(p) удовлетворяет следующим условиям: ^ E(p) непрерывна на S+-1 = j p > 0 pk = 1 }.

^ E(p) положительно однородна нулевой степени на S+-1.

^ Функции избыточного спроса ограничены снизу, т. е. существует число t, такое что

Ek(p) > t Vk, Vp e S1-1.

^ Если хотя бы одна из цен стремится к нулю, то избыточный спрос хотя бы на одно благо стремится к бесконечности, т. е. если pn e S1-1 и pn ^ p0 при n ^ то, причем существует благо k', такое что pk' =0, то

max(Ek(pn)) ^ то при n ^ то.

k

Тогда существует вектор p e , такой что E(p) =0. J

Доказательство: Доказательство условно разобьем на три этапа:

Построение отображения единичного симплекса S1-1 в себя.

Проверка замкнутости графика и выпуклозначности построенного отображения и применение к нему теоремы о неподвижной точке.

Демонстрация того, что найденная неподвижная точка является вектором равновесных цен, рассматриваемой экономики.

Этап 1. Каждой цене p e S+-1 сопоставим множество

g(p) = { q e S1-1 | qE(p) ^ q'E(p) Vq' e S1-1 } ,

и тем самым, построим отображение g(-) из S+-1 в S1-1. Другими словами, значение отображения g(p) - множество всех векторов цен из S1-1, максимизирующих стоимость избыточного

спроса, вычисленного при старых ценах p. Можно заметить, что любому неравновесному вектору цен p ? S+"1 (т. е. в данном случае вектору p такому, что E(p) = 0) данное отображение ставит в соответствие подмножество (грань меньшей размерности) симплекса цен, а любому равновесному вектору - весь симплекс цен.

На границе симплекса цен 51_1\5+_1 определим g(p) по правилу:

g(p) = { Я ? S1-1 qp = 0 } = { q ? S1-1 qk = 0, если pk > 0 } .

Отметим, что множество g(p) непусто при любом p ? S1-1.

Этап 2.

Предположим, что последовательности {pn} ? S1-1 и {qn} ? S1-1 с пределами p0 и q0 соответственно таковы, что qn ? g(pn). Покажем, что q0 ? g(p0). Возможны две ситуации: (1) p0 ? S+-1, (2) p0 ?S1-1\S+-1.

В случае p0 ? S+-1 существует N, такое что при n > N выполнено pn ? S+-1. Возьмем произвольный вектор q' ? S1-1. При n > N выполнено

qnE(pn) ^ q'E(pn).

Переходя к пределу, получим, что q0E(p0) ^ q'E(p0). Тем самым, мы показали, что в этом случае q0 ? g(p0).

Рассмотрим теперь случай, когда p0 ? S1-1 \S+-1. Пусть k - благо, для которого pk > 0 . Покажем, что при достаточно больших n выполнено qf = 0. Тем самым мы покажем, что q° = lim qf = 0, и, следовательно, q0 ? g(p0).

Если pn ? S1-1 \S+-1, то по определению отображения g(-) имеем qf = 0. Таким образом, нам осталось доказать в случае pn ? S+-1, что если pk > 0, то при достаточно больших n выполнено qf = 0. По закону Вальраса имеем

p?Efc(pn) = - Е РП'Ey (pn).

fc'=fc

Используя ограниченность снизу функции избыточного спроса, имеем

- Е pn Ey (pn) < -t Е pf = -1(1-pn).

fc'=fc fc'=fc

Отсюда

w (тПЛ t(1 - pf) Efc(p ) ^ n .

pn

Поскольку pf сходится к положительному пределу, это означает, что значение Ey(pn) ограничено сверху. С другой стороны, величина maxs{Es(pn)} стремится к бесконечности. Поэтому при достаточно больших n выполнено неравенство

Ey(pn) < max{Es(pn)}.

Отсюда следует, что при достаточно больших n вектор q ? g(pn) должен иметь qk = 0. Действительно, согласно определению g(-) для любого вектора q' из S1-1 должно быть выполнено q'E(pn) ^ qE(pn). Однако, если бы qk > 0, то при Ey(pn) < maxs{Es(pn)} мы могли бы построить на основе вектора q вектор q' для которого q'E(pn) > qE(pn). Действительно, пусть s - такое благо, для которого Ey (pn) < Es(pn).

Тем самым мы полностью доказали, что отображение g(-) имеет замкнутый график.

Поскольку отображение g(-) имеет замкнутый график, выпуклозначно и отображает непустое компактное выпуклое множество S1-1 в себя, то к нему применима теорема Какутани, и существует неподвижная точка p e S1-1:

p e g(p).

Этап 3. Покажем, что неподвижная точка отображения g(-) является вектором цен равновесия.

Неподвижная точка p отображения g(-) не может принадлежать границе симплекса цен (S1-1\S+-1). Этот факт следует из того, что согласно определению g(p) для p e S1-1\S+-1 при всех q e g(p) должно быть выполнено равенство qp = 0. Если бы p e g(p), где p e S1-1\S+-1, то мы имели бы pp = ||pУ2 = 0. Этому условию удовлетворяет только точка p = 0, не принадлежащая симплексу цен.

Таким образом, p > 0 и поэтому, как было отмечено при определении отображения, E(p) = 0 . Покажем это формально.

Предположим противное. В силу закона Вальраса, если E(p) = 0 и p > 0, то существуют s и s', такие что Es(p) > 0 и Es' (p) < 0. Поскольку p e g(p) и p > 0, то по определению g(p) для любого q e S1-1 должно быть выполнено pE(p) ^ qE(p). Однако, так как Es(p) > Es' (p), то достаточно взять следующий вектор q : = ps + ps , = 0, qk = pk, k = s, s', чтобы получить pE(p) < qE(p). Мы пришли к противоречию.

Тем самым мы доказали существование цен p, при которых избыточный спрос равен нулю. ?

1

Рис. 5.11. Иллюстрация доказательства теоремы существования

Данное доказательство можно проиллюстрировать графически (см. Рис. 5.11). На рисунке B - неподвижная точка отображения g(-). Данное отображение определено на симплексе AC, и отображает точки отрезка AB, за исключением точки B, в точку C, точки отрезка BC, за исключением точки B, - в точку A, а точку B - во весь симплекс (отрезок AC).

Опираясь на доказанную Теорему 70, можно показать, что в моделях обмена при непрерывности, строгой выпуклости и строгой монотонности предпочтений потребителей равновесие существует, если совокупные начальные запасы строго положительны, т.

Для того, чтобы продемонстрировать выполнение условий Теоремы 70 для случая непрерывных, строго выпуклых и строго монотонных предпочтений, осталось показать выполнение последнего условия теоремы: если хотя бы одна

из цен стремится к нулю, то избыточный спрос хотя бы на одно благо стремится к бесконечности. Покажем это формально.

В силу того, что p0 ? S1-1 и шЕ > 0, имеем, что p0^s > 0. Таким образом, существует потребитель i, такой что p0^ > 0. Следующее утверждение показывает, что спрос этого потребителя, по крайней мере, на одно из благ стремится к бесконечности по мере того, как

n0

pn стремиться к p0 , т. е.

max x^k(pn) ^ то при n ^ то,

k

что и доказывает, что

max Ek(pn) ^ то при n ^ то.

k

Теорема 71:

Пусть {pn} ? S1-1 - последовательность цен, причем pn ^ p0 при n ^ то, и существует благо к, такое что pk = 0. Предположим, что:

Потребитель имеет строго монотонные непрерывные предпочтения.

Начальные запасы потребителя ш таковы, что p0^ > 0 .

Тогда

max Xk(pn) ^ то при n ^ то. ,

k -I

Доказательство: Предположим противное. Пусть спрос потребителя на все товары, ограничен, т. е. существует некоторое число A, такое что 0 ^ Xk (p) ^ A для всех к ? K .В силу того, что бесконечная последовательность на компакте имеет точки сгущения, найдется некоторая подпоследовательность {pnt} такая, что

x(pnt) ^ x.

Так как x(pnt) - оптимальное решение задачи потребителя, а предпочтения строго монотонны, то при ценах pnt выполняется бюджетное равенство, т. е.

pnt x(pnt) = pnt ш.

Переходя в этом тождестве к пределу, получим, p0X = . Пусть pk = 0. Тогда в силу

kk

строгой монотонности предпочтений x + aek У x, где a - некоторое строго положительное число, а ek - орт. В силу того, что предпочтения потребителей непрерывны, найдется такое 5 > 0, что x У x, где x = x + aek - 5es, а s - номер товара, для которого p° > 0. Очевидно также, что

p0x = p0x + apk - 5p0 = p0x - 5p0 < p0x.

В силу непрерывности отношения предпочтения имеем, что существует N, такое что x У x(pnt) для каждого t > N.

Так как pnt ^ p0 и x(pnt) ^ x, то

lim pnt (x(pnt) - x) = p0(x - x) > 0.

Из определения предела следует, что найдется число M, такое что для каждого t большего M справедливо, что pnt (x(pnt) - x) > 0, т. е.

pntx(pnt) > pntx.

Таким образом, мы получили, что при t > max{M, N} набор x строго лучше набора x(pnt) и при этом стоит дешевле. Тем самым мы получили противоречие с оптимальностью набора x(pnt). Таким образом, не существует A такого, что 0 ^ Xk(p) ^ A для всех к, т. е. maxk Xk (pn) ^ то при n ^ то. ?

Резюмируя проделанные выше рассуждения, сформулируем утверждение о существовании равновесия в экономике обмена при более слабых, чем ранее, предположениях. Теорема 72:

Рассмотрим экономику обмена и предположим, что Хг = R+ Vi, предпочтения потребителей локально ненасыщаемы, непрерывны, строго выпуклы и монотонны, а совокупные начальные запасы положительны (> 0). Тогда в этой экономике существует равновесие, такое что p e R++. J