14.2 Модель дуополии Штакельберга

В модели дуополии, предложенной Генрихом фон Штакельбергом , первый участник выбирает производимое количество, у1, и является лидером. Под этим мы подразумеваем то, что второй участник (ведомый) рассматривает объем производства, выбранный первым участником, как данный.

Эта модель приложима, например, к ситуации, когда в новой отрасли лидирующая фирма выбирает размер строящегося завода (мощность) и решает "работать на полную мощность". Считается, что она хорошо описывает рыночную ситуацию в случае, когда фирма-лидер, занимает значительную долю рынка. Так или иначе, ситуации, представленные в модели не столь и редки на реальных рынках. С точки зрения теории игр модель Штакельберга представляет собой динамическую игру с совершенной информацией, в которой лидер делает ход первым. Дерево игры изображено на Рис. 14.2.

А 1-й (лидер) /N. 2-й (ведомый)

/ у2 \

/Пl=ylp(yl+y2)-Сl(yl)^

\П2 =y2p(y 1 +у2 ) с2 (у2 ) J Рис. 14.2. Дуополия Штакельберга

Выпуски (yS, yS), соответствующие совершенному в подыграх равновесию этой модели принято называть равновесием Штакельберга. Вектор выпусков не есть собственно совершенное в

подыграх равновесие. По определению совершенное в подыграх равновесие - это набор стратегий, (yS, r2(?)), где r2(?) - равновесная стратегия ведомого игрока. (Стратегия ведомого игрока должна быть функцией r2(yi), которая сопоставляет каждому ходу лидера некоторый отклик.)

Определение 83:

Вектор выпусков (yS , y2), называется равновесием Штакельберга, если существует функция (представляющая равновесную стратегию ведомого)

rS(?) : R+ ^ R+,
такая, что выполнены два условия:

Выпуск y2 = rS(yi) максимизирует прибыль ведомого на [0, при любом выпуске лидера, yi ^ 0.

Выпуск yS является решением следующей задачи максимизации прибыли лидера:

П1 = yip(yi + r2(yi))yi - ci(yi) ^ max.

Равновесие Штакельберга находят с помощью обратной индукции.

r2(yi) е R2(yi) Vyi

могут задавать различные равновесия.

Мы будем далее предполагать, если не оговорено противное, что оптимальный отклик однозначен, т. е. R2(yi) - функция . Задача лидера в этом случае имеет вид:

П1 = yip(yi + R2(yi))yi - ci(yi) ^ max.

Если решением этой задачи является yS, и y2 = R2(yS), то (yS, y2) - равновесие Штакельберга.

Рис. 14.3.

Дуополию Штакельберга можно представить графически (см. Рис. 14.3). Разницу между равновесиями в моделях Курно и Штакельберга иллюстрирует Рис. 14.4. Лидер выбирает точку на кривой отклика, которая бы максимизировала его прибыль. В равновесии кривая равной прибыли лидера касается кривой отклика.

Рис. 14.4.