14.1.5 Задачи

^ 576. Покажите, что в случае внутреннего равновесия

а) индекс Лернера для отдельного олигополиста,

Р - с,

Р ,

прямо пропорционален его доле () в суммарном выпуске и обратно пропорционален эластичности спроса;

б) средневзвешенный (с весами ) индекс Лернера прямо пропорционален индексу Гер- финдаля и обратно пропорционален эластичности спроса.

Индекс концентрации Герфиндаля определяется как

н = Е ,

в) Докажите, что при данном количестве фирм в отрасли индекс Герфиндаля минимален в симметричном равновесии.

г) Рассмотрите симметричные равновесия в "симметричной" отрасли с постоянной эластичностью спроса.

^ 577. Докажите, что в равновесии Курно прибыль любой фирмы ниже, чем в случае, когда эта фирма является монополистом на том же рынке. (Имеется в виду нетривиальное равновесие Курно, когда хотя бы одна другая фирма имеет ненулевой объем производства.) ^ 578. Докажите существование равновесия в модели Курно, используя приведенные в тексте указания.

^ 579. Докажите, что если функция спроса убывает и вогнута, а функция издержек выпукла, обе они дважды непрерывно дифференцируемы, то выполняется следующее условие (условие Хана)

p'(Y) + p''(Y)у, < 0 и p'(Y) - с,'(у,) < 0 Vj, Y, у,.

^ 580. Докажите, что если обратная функция спроса убывает и вогнута, то отображение отклика каждого производителя не возрастает, т. е. если Y-, < Y-,, то для любых у1 ? R, (Y-,) и у2 ? R, (Y-,) выполнено у1 ^ у?. Указание. Воспользуйтесь тем, что

П,(Y-,,у]) ^ П,(Y- ,у2) и П,(Y-,,у2) ^ П,(Y-,,у1).

Предположите противное (у1 < у2) и используйте определение вогнутости функции. ^ 581. Предположим, что обратная функция спроса р(у) и функция издержек с, (у) дважды непрерывно дифференцируемы и удовлетворяют условию:

p'(Y) + p''(Y)у, < 0 и p'(Y) - с,'(у,) < 0 Vj, Y, у,. (о)

Докажите что при этих предположениях существует единственное равновесие Курно, а если, кроме того, функции издержек всех производителей одинаковы, то это равновесие симметрично, т.

Указание. Рассмотрите функции двух переменных

T (Y,y, )= p(Y)+ p'(Y )у,

Заметим, что если (у1,... ,уП) - равновесие Курно, то

T,(Y*,у*) < 0,

причем

T,(Y*,у*) = 0, если у* > 0,

где Y * = ЕП=1 У* .

Покажите, что в условиях (о) функции T,(Y *,у*) монотонно убывают по обеим переменным. Обозначим это предположение (оо).

Пусть существуют два равновесия Курно, такие что для суммарных объемов производства выполнено Y1 ^ Y2. Докажите от противного, используя (оо), что yj ^ у2 Vj. Таким образом, суммарный объем производства в двух равновесиях Курно должен совпадать. Рассмотрите случай Y1 = Y2 и докажите, что у1 = у2 Vj.

Докажите симметричность равновесия.

^ 582. Пусть так же, как и в предыдущей задаче, выполнено предположение (оо). Рассмотрите внутренние равновесия Курно при n и n + 1 участниках. Покажите, что YJi+1 > YJ* и у*п+1 <

у,,п.

^ 583. Предположим, что предельные издержки у всех производителей постоянны и выполнено предположение (оо).

Покажите, что если предельные издержки одного из производителей сокращаются при неизменных предельных издержках других производителей, то их выпуск в равновесии Курно сокращается, а совокупный выпуск возрастает.

^ 584. Предположим, что выполнено условие (о), функции издержек олигополистов одинаковы и средние издержки не убывают. Тогда благосостояние (измеряемое величиной совокупного излишка) возрастает при росте числа фирм в отрасли.

^ 585. Покажите, что если в дуополии Курно предельные издержки производителей удовлетворяют соотношению

с 1 (у) > с2(у)

то в равновесии первый производит меньше, чем второй.

^ 586. Пусть издержки олигополистов в модели Курно постоянны с, (у,) = C,, а обратная функция спроса равна

p(y) = exp(-y).

Показать, что у игроков есть доминирующие стратегии, и найти их. Как будет изменяться суммарный выпуск отрасли с увеличением числа продавцов?

^ 587. Докажите, что если постоянные издержки олигополистов равны нулю, а переменные издержки одинаковы, то прибыль олигополистов положительна и при росте числа олигополистов стремится к нулю.