14.1.4 Модель Курно и количество фирм в отрасли

Выше, рассматривая поведение выпуска как олигополистического рынка в целом, так и отдельных олигополистов, мы не касались вопроса положительности прибыли, и по этой причине наш анализ поведения этих характеристик нельзя считать вполне удовлетворительным.

Рассмотрим олигопольную отрасль, в которой у всех олигополистов одинаковые функции издержек. Мы будем предполагать, что выполнены все условия Теоремы 138. Удобно представить издержки каждой фирмы как сумму постоянных издержек, f > 0, и переменных издержек, с(у), где с(0) = 0:

с(у) = f + с(у).

Пусть yM максимизирует прибыль монополиста. Мы должны предположить, что постоянные издержки таковы, что монополист действуя на этом рынке, получит неотрицательную прибыль

П(ум) ^ 0.

Другими словами, постоянные издержки должны быть не слишком высоки: они не должны превышать прибыль монополиста без учета постоянных издержек:

f < П(ум),

где П(у) = П(у) - f. (Если это условие не выполнено, то рынок не может существовать, то есть не найдется производителей, желающих производить продукцию на этом рынке.)

Через Пп будем, как и ранее, обозначать прибыль, получаемую отдельной фирмой в отрасли, состоящей из n фирм, а через Пп - прибыль без учета постоянных издержек.

Как мы доказали ранее, Пп (а, следовательно, и Пп) представляет собой убывающую последовательность. При сделанных нами ранее предположениях прибыль Пп положительна (в том числе, Пi > 0) и при увеличении n стремится к 0 (Пп ^ 0). Читателю предлагается установить этот факт самостоятельно.

Из убывания и стремления к нулю очевидно, что при 0 < f ^ Пi существует единственное целое количество фирм в отрасли n(f) такое, что

fln(f) ^ f > fln(f) + 1

или

Пп(/) ^ 0 > Пп(/) + 1.

Отметим, что это число единственно в силу строгого убывания прибыли при росте числа оли- гополистов. Таким образом, для каждого f из промежутка (0, Пi] определена функция n(f). Эта функция сопоставляет каждому значению постоянных издержек максимально возможное число фирм, при котором каждая из них получает неотрицательную прибыль.

Докажем, что эта функция не возрастает по f и не ограничена сверху. Пусть f' > f''. Тогда по определению функции n(f) мы имеем, что Пп(/') ^ f' > f'' > Hn(/")+i, т. е. Пп(/') > Пп(///)+! из убывания прибыли по n мы имеем, что n(f'') + 1 > n(f') или n(f'') ^ n(f'). Неограниченность сверху следует из того факта, что П(ПN) = N. Сопоставляя эти два свойства функции n(-), получим, что

lim n( f) = то.

/-о

Таким образом, чем меньше постоянные издержки, тем больше фирм может войти в отрасль, и в пределе функционирование отрасли все более приближается к ситуации совершенной конкуренции (в силу Теоремы 138).

Мы представили количество олигополистов на рынке как функцию от постоянных издержек. Естественно также рассмотреть вопрос об оптимальном с точки зрения общества числе олигополистов. Это число должно максимизировать совокупный излишек

Г Yn / Y * \

W(n) = J p(x)dx - nc I - I .

Пусть n - оптимальное с точки зрения благосостояния количество фирм в олигополистиче- ской отрасли.

Следующие рассуждения показывают, что n(f) > n - 1. По определению n мы имеем, что W(n) ^ W(n - 1), или

[ Yn* f Y*\ (Yft-1 f Y* \

J p(x)dx - nc ( -n j ^ J p(x)dx - (n - 1)c ( у j

или fY*

Y

Y JJ

n

v*

Yn-i

- c

-c | "' I ^ - p(x)dx - n

n - 1 / Л?, Y*

Прибавив к обеим частям p(Y*_i) J-1 , получим n

c

c

p(x)dx - n

Пп-i ^ p(Yj*_i)

Yn-i

n - 1

Yn-i

n - 1

Y

rY*

Так как обратная функция спроса убывает, то rY ,-Y:*

p(x)dx< / " p(Yn*-i)dx = p(Yn*-i)(Yn* - Yn*-i)

Y*-i

Yn*-1 Таким образом, имеем n

c

c

- Yn* + - n

Пп-i > p(Y*_i)

Yn-i

n - 1

Y

Y

Yn-i

n - 1

n

c

c

- n

= np(Y*-i)

Yn-i

n - 1

Yn-i

n - 1

Y

Yi

n

В силу выпуклости функции издержек c(-) имеем, что Yn*_i Y

п

n

c

n - 1/ in - 1

Y") - "(?) < c YJ-i

п - 1 \п Воспользовавшись этим неравенством, получим Y

Y

Y

Yra-i

n - 1

/ I Yra-i

П- i

- n c

n - 1 / \ n - 1

n

n

Пп-i > np(Yj*_i) n

= n |p(Yn*_i) - c'

Yra-i

n - 1

Yra-i

n - 1

Y

Из условий первого порядка

Y Y Y

Пй-i > -np'(YJ*-i)- Yn- > 0.

n - 1 \ n - 1 n

Таким образом мы получили, что

Пп-i > 0.

Пусть, как и выше, n(f) - количество фирм в отрасли при постоянных издержках f.

Таким образом, Пп-1 > Пп(-^)+1. В силу строгого убывания прибыли по числу фирм, имеем

- - 1 < n(f) + 1

или

n(f) ^ - - 1.

Это означает, что число фирм в отрасли, n(f), не может быть меньше оптимального числа фирм, -, более чем на 1 фирму. Приведенный ниже пример иллюстрирует случай, когда оптимальное с точки зрения общественного благосостояния количество фирм в отрасли больше, чем при свободном входе для модели Курно.

Пример 73 ((продолжение Примера 72)):

Для рассмотренного случая, как не трудно получить, прибыль каждого олигополиста равна

П. (n)=(a - с)2._^ F

П (-)= b (- +1)2 F.

Индикатор благосостояния в зависимости от n равен

W(-) = (a - с)2 1 (a - с)2 - -F

W (-) 2b 2(n + 1)2 b -F. -1, где [?] - оператор взятия целой

a-c

Легко проверить, что для данного примера n(F) = части. В случае если a = 28, b = 10, с =10, F = 10 легко проверить что n(F) = 0. Для этих значений параметров значение индикатора благосостояния при n принимающих значения от 0 до 2 равны соответственно W(0) = 0, W(1) = 10, W(2) = -16. Откуда следует, что - = 1 - точка локального максимума. Непосредственным рассмотрением графика функции W(-) убеждаемся, что - = 1 будет глобальным максимумом этой функции (после n = 2 эта функция начинает убывать). Д