Редуцированные модели или модели, основанные на интенсивности дефолтов, или упрощенные модели.

Редуцированные модели возникли в начале 1990-х годов как продолжение структурных моделей оценки рискового долга, предложенных Мертоном. Модель Мертона предполагает наличие информации об активах компании в каждый момент времени, при этом активы не являются публично торгуемым инструментом, и информация о них доступна лишь через периодическую отчетность компании.

Начало этих моделей положили работы по исследованию временной структуры кредитных спредов и оценке облигаций [Iben, T., Litterman, R., 1991]. Первыми редуцированными моделями можно считать модели Джероу и Тернбула [Jarrow, R., Turnbull, S.,1995]. Даффи и Синглтона [Duffie, D. and Singleton, K., 1999], а также Халл и Уайт [Hull, J., White, A., 2000] развили в своих работах подходы к оценке инструментов, содержащих кредитный риск. Основой для оценки кредитного риска в моделях вышеназванных авторов служит структура кредитных спредов обращающихся облигаций.

Между ценой рисковой дисконтной облигации и вероятностью дефолта существует фундаментальная зависимость [Jarrow, R., Turnbull, S.,1995]:где: T - срок погашения облигации ( или облигаций);

В ( t, Т) - цена рисковой дисконтной облигации в момент времени t; В ( t, Т) - цена безрисковой дисконтной облигации в момент времени t; P ( t, Т ) - вероятность «выживания» рисковой дисконтной облигации,в момент времени t;

Другими словами 1 - P(t, T)есть вероятность дефолта облигации в период между временем tи сроком погашения облигации. Таким образом, стоимость дисконтной рискованной облигации равна стоимости аналогичной безрисковой умноженной на вероятность дефолта.

Оценка вероятности дефолта по формуле (2.1), предполагает, что спред между облигациями обусловлен только кредитным риском. Таким образом, временная структура спредов рисковой облигации относительно безрисковой является временной структурой вероятностей дефолта рисковой облигации.

Для оценки CDS необходимо построить кривую форвардных спредов на протяжении всей жизни CDS. Наиболее простым способом построения кривой спредов является построение на основе рыночных доходностей дисконтных облигаций разной срочности. Но дело в том, что дисконтных облигаций у отдельного эмитента, как правило, достаточно мало, и построить кривую временной структуры доходностей на основе рыночных данных практически невозможно. Поэтому кривую форвардных процентных ставок необходимо моделировать или строить косвенным путем, а не только на основе рыночной доходности дисконтных облигаций. Смоделированная кривая форвардных процентных ставок называется теоретической кривой форвардных процентных ставок.

Модели построения кривой временной спредов можно разделить на параметрические и непараметрические.

Параметрический метод построения структуры процентных ставок в настоящее время является наиболее распространенным методом. Он заключается в использовании одной параметрической функции для описания всего множества спот-ставок на сроках, не превышающих срок погашения наиболее длинной облигации. Его отличительная особенность от сплайнового подхода состоит в том, что для его реализации требуется гораздо меньший набор параметров, что одновременно позволяет достичь большей гладкости получаемой процентной структуры. Однако по этой причине у параметрического метода меньшая способность к аппроксимации сложных форм срочных структур, а также априорное наложение взаимосвязи динамики отдельных секторов фондового рынка, что затрудняет проведение анализа процентных ставок в рамках теории рыночной сегментации.

Основная проблема при использовании данного метода оценивания структуры процентных ставок, заключается в выборе функции, которая позволяет приемлемым образом описывать форму кривой спот-ставок. Выбор параметрической функции представляет собой весьма непростую проблему, выступающую зачастую предметом отдельного исследования. В настоящее время применяются несколько моделей, различающихся функцией, используемой при выведении процентных ставок.

Можно выделить следующие виды параметрических кривых:

• Константные кривые: S(0,T) = β₀. Здесь временная структура форвардных спредов выражается постоянной величиной, подобно тому, как было представлено в модели Халла и Уайта [Hull, J., White, 200].

• Константные кривые относительно функции: S(0,T) = β₀+∕(x), где: ∕x) - некая функция-бенчмарк, относительно которой строится кривая временной структуры форвардных спредов;

• Линейные кривые: S(0,T) = β₀ + β₁T. Здесь кривая определяется функцией от времени с двумя параметрами;

• Квадратичные кривые: S(0,T)=β₀+βιT+ β₂T²

• Моделируемые кривые. Здесь кривая временной структуры форвардных спредов вида S(β,0,T) моделируется на основе определенных параметров, определяющих данную кривую.

К непараметрическим кривым можно отнести следующие методы построения кривой форвардной структуры процентных ставок:

• Бутстреппинг (с англ. bootstrap). Обычно используется для построения кривой временной структуры процентных ставок на основе доходностей купонных облигаций, так называемое стрипование. Суть метода в том, что на основе параметров длинных купонных облигаций и доходностей коротких дисконтных выстраивается кривая временной структуры процентных ставок. Основной недостаток метода заключается в том, что немного безрисковых облигаций обращается одновременно на рынке, и приходится рассчитывать доходность за определенный период на основе далекого по сроку периода.

• Сплайновый метод - это статистический метод оценки срочной структуры процентных ставок был впервые предложен МакКаллохом [McCulloch J.H, 1971], и в настоящее время является одним из широко используемых подходов. Данный метод состоит в разбиении интервала, охватывающего максимальный срок обращения государственных облигаций, на отдельные сегменты, каждый из

которых содержит собственную аппроксимирующую процентную структуру-функцию. К достоинствам метода можно отнести то, что он использует данные о всех государственных облигациях, находящихся в данный момент в обращении.

Кроме того существуют различные статистические и эконометрические методики аппроксимации и сглаживания временной кривой структуры процентных ставок.

При использовании редуцированной модели важен вопрос выбора безрисковой ставки. Наиболее распространенным инструментом, доходность которого отражает безрисковую ставку, являются долговые обязательства правительства США в виде облигаций, нот, векселей. При использовании в качестве бенчмарка американских правительственных ценных бумаг проблема состоит в том, что их доходность обусловлена не только кредитным риском. Как правило, в их цене заложена премия за ликвидность, возможности рефинансирования (репования) и налоговые преференции. Поэтому спред между ними и другими финансовыми активами может быть слишком большой, и оценки на их основе могут быть несостоятельными, что зачастую показывает практика.

Также в качестве безрисковой используют доходности долговых ценных бумаг правительств других стран. Но между доходностями правительственных облигаций разных государств возможен спред в несколько сотен процентных пунктов. Поэтому при выборе неверной безрисковой ставки модель может быть существенно смещена.

За безрисковую ставку часто принимают Либор (с англ. Libor) - это ставка, под которую занимают деньги крупнейшие и самые надежные банки. Но даже не все из этих банков имеют кредитный рейтинг ААА, поэтому данную ставку нельзя считать абсолютно безрисковой. Кроме того некоторые правительственные

корпоративные облигации имеют доходность равную или даже ниже Либор, то есть их спред отрицательный и подразумевает отрицательный риск дефолта в редуцированных моделях, а это противоречит экономическому смыслу. Таким образом, авторы научных работ склоняются к тому, чтобы в качестве безрисковой ставки брать доходность казначейских обязательств США, в то время как практики все более склоняются к тому, чтобы использовать либор.

Другой альтернативой при выборе безрисковой ставки доходности выступает ставка РЕПО, дело в том, что ставка РЕПО, как правило, наименьшая из ставок, под которую может рефинансироваться участник рынка. Кроме того его заем обеспечен ценными бумагами, с рыночной стоимостью большей суммы займа, поэтому ставку РЕПО в определенной мере можно считать безрисковой. Ряд исследований показали, что ставка РЕПО в моделях оценки CDS является лучшей мерой безрисковой ставки, и оценка на ее основе точнее. Хотя некоторые авторы говорят, что ставку РЕПО возможно использовать только при оценке CDS невысокого рейтинга.

Основываясь на одних принципах, являясь безарбитражными и риск-нейтральными, редуцированные модели вышеназванных авторов различаются в деталях их реализации: в предположениях о динамике процентных ставок или ставки покрытия, учете контрагентского риска.