5.1.5. Общественная функция полезности и теорема Эрроу

Задача агрегирования индивидуальных порядковых, подчеркиваем, порядковых, полезностей, которую исследовал К. Эрроу, формулируется следующим образом.

Обозначим через А — множество альтернатив или объектов: А = {а, Ь, с, ...}, количество этих объектовт ^ 3, в общем случае оно может быть бесконечным. Пусть в обществе имеется т индивидов: 1, 2, . . . і, . . . т; т ^ 2. Обозначим слабое предпочтение «а не предпочтительнее, чем Ь», как обычно: Ъ а; сильное предпочтение: «Ь предпочтительнее, чем а» как Ъ )> а и эквивалентность как а ~ Ъ. Предположим далее, что каждый индивид і (і = = 1 ~ т) относительно любых двух альтернатив а, іє є А имеет только одно мнение из следующих трех: а^ tb, либо Ъ )> ta, либо a где индекс і у значков )>,

~ означает, что речь идет о предпочтениях і-то индивида. Для каждого і отношение слабого предпочтения ^ рефлексивно и транзитивно. В дальнейшем мы будем говорить просто о предпочтении индивида і; или, что то же самое, о порядковой функции полезности ut индивида і.

Множество А в конкретных приложениях может быть множеством различных вариантов экономического развития, множеством систем оплаты труда и т.

А — j 2 Xtf = Xj,; Xlj ^ o},:

где Xj — общий объем продукта /.

Множество альтернатив А молено упорядочить многими способами. Обозначим множество всех этих способов как U, а элементы этого множества как Rj. Например, если А состоит из трех альтернатив: А = {а, Ъ, с}, то

U = {/?!, л2, . . #13},

где йг: b с; R2: с b; R3: b )> а )> с,... .../?1о: Ь с, b а, а ~ с; R13: а ~ b ~ с. Таким образом, С/ — это множество всех возможных порядковых функций полезности; если ut — функция полезности индивида і, то ut е U. Обозначим как и0 функцию порядковой полезности общества, определенную на А.

Проблема агрегирования функций полезности индивидов может быть теперь сформулирована как задача выбора (или построения) функции F:

и0 = F(ux, ... щ, . . . ит); и0, щ є= С/, или

F : Um U.

Иначе говоря, задача заключается в выборе некоторой разумной функции F, которая описывала бы некоторое разумное правило упорядочения альтернатив из А на основе индивидуальных предпочтений членов общества.

Рассмотрим простейший пример, когда имеется всего два индивида, две альтернативы: А = {а, &}, и эти альтернативы для обоих индивидов и для общества заведомо неэквивалентны. Последнее условие означает, что может выполняться либо а )> 6, либо b )> а для обоих индивидов и общества. Для удобства будем обозначать первую возможность знаком «+» (индивид ответил на вопрос «предпочитаете ли Вы а» положительно), а ситуацию Ъ а — знаком «—» (индивид ответил на вопрос «предпочитаете ли Вы а» отрицательно). Множество U в этом случае состоит только из двух элементов: U = {+, —}. Всего имеется 4 возможных сочетания индивидуальных полезностей иг и и2: их = +, и2 = и1 = +, и2 = —, Таблица 5.1. Правила агрегирования для двух индивидов и двух альтернатив, когда эквивалентность альтер- тив исключена иг и2

Fx Fz Fs F* Fb F9

F 7

Fa F» Flo Fll

Fis

Fl 4

Fib

Fn

Индивидуальные предпочтения

Коллективное предпочтение + + — + — + + + + + — + + + + + + + + — + + + + — — + + — — + — + + — + — + + — — + — — + — + + — — — + — — + — — + — — + — — — иг = —, u.2 = +> «і = —, u2 = —.

Ft(+, +) = +; -) = Ft(-, +) = +;

РЛ- -) = +•

Всего таких функций — правил агрегирования — будет 16. Все они перечислены в табл. 5.1.

Задача заключается в выборе одной функции Fj из 16 возможных, и эта функция должна отражать разумное коллективное правило выбора альтернатив.

Функции Fx и F1Q должны быть отброшены, так как они игнорируют индивидуальные предпочтения: независимо от того, что предпочитают индивиды, общество, состоящее из них, всегда предпочитает а (правило Fx) либо всегда предпочитает b (правило F16).

Правило Рг1 описывает диктатуру индивида 1: независимо от того, что предпочитает второй индивид, общество всегда предпочитает то, что предпочитает индивид 1. По правилу Р7 диктатором является индивид 2. Эти два правила также неприемлемы.

По правилу Fq общество всегда противоречит/индивиду 1, при этом предпочтения индивида 2 во мйимание не принимаются. По правилу F8 общество всегда предпочитает то, что не нравится индивиду 2. Вряд ли такие правила можно считать разумными.

По правилу F2, если индивиды согласны, то общество (состоящее из них) принимает их мнение; в противном случае общее решение: а )> Ъ независимо от мнения индивидов. Правило F12 отличается от F2 только тем, что в случае несогласия индивидов общество принимает b а. Оба эти правила одинаково неразумны в случае несогласия индивидов между собой.

Правило Fl0 также неразумно: в случае согласия индивидов общество принимает b даже тогда, когда оба индивида предпочитают Ь, а не а. F6 отличается от F10 только тем, что при согласии индивидов общество принимает b а.

По правилам Fb и Flb, если оба индивида предпочитают а, но не Ъ, то общество предпочитает fc, но не а; если же оба индивида считают, что Ъ а, то общество (из

них состоящее) им противоречит: Fb{—, — )=Fn{—,—)= = +.

Правила F3, F4, F1S, F14c также игнорируют совпадение предпочтений индивидов.

В результате получаем, что ни одно из правил агрегирования в случае двух индивидов и двух альтернатив нельзя считать разумным.

Вообще говоря, ничего удивительного в этом нет. Ситуации щ — и2 = +; и1 = и2 = — тривиальны. Разумеется, в этих случаях надо положить +) = +; F0(—, —) = —. Затруднение вызывают ситуации иг = +, и2 — — и щ = —, и2 = +. Но и эта ситуация тривиальна — она соответствует конфликту. Ясно, что в случае антагонизма между членами общества общественный интерес в том смысле, как его понимал Ж.-Ж. Руссо, отсутствует. Можно, конечно, предложить какую-нибудь функцию Fj и в этом случае, например F(ux, и2) = иг. Но почему второй индивид должен соглашаться с таким правилом принятия общего решения? Или, переформулируя вопрос: что может побудить его к соглашению? Только какие-то действия первого индивида, которым он ничего не может, или не умеет, или не хочет противопоставить. А это значит, что в случае рассогласования предпочтений н1 и и2 в анализ надо включить возможные действия членов обществаг т. е, рассматривать эту сйтуацщо в рамках теории антагонистических игр (но не обязательно в рамках теории игр с нулевой суммой, как это неоднократно подчеркивает Н. Н. Воробьев [99], [100]).

Мы вернемся к этому вопросу, а пока откажемся от ограничительных условий нашего примера (п = 2, т = = 2). К. Эрроу сформулировал свою теорему о невозможности для общего случая т ^ 2; последнее неравенство существенно в том смысле, что надо следить за транзитивностью предпочтений. Возможность нетранзитивности предпочтений, полученных по правилу большинства, была установлена еще Кондорсэ [146], [261].

Просмотр всех правил выбора в общем случае невозможен. Даже в случае одной альтернативы и исключения эквивалентности количество возможных функций выбора |jF|m быстро растет с ростом количества индивидов в обществе т:

|F|m = 2am; | F \т+1 = 22Ш+1 = (|^|т)2.

Для т = 2 имеем 16 правил, для т = 3 получается 162 = 256 правил Fj\ для т = 4 будет уже 2562 = 65 536 правил выбора и ~ 4-Ю6 длятя = 5. Желательно поэтому формулировать сравнительно небольшое число условий, которым должны удовлетворять правила агрегирования индивидуальных предпочтений. К. Эрроу сформулировал следующие условия [496].

Условие 1 — полнота. Правило агрегирования и0 = = F(ul9 . . ит) должно быть определено для всех возможных индивидуальных функций полезности, т. е. на Um. Это означает, что на индивидуальные предпочтения не накладывается никаких ограничений, кроме требования непротиворечивости и полноты: ^ — рефлексивное, транзитивное отношение, определенное для всех пар элементов множества А. Требуется также, чтобы и0 є U. Ни на индивидов, ни на общество в целом не накладываются никакие обязательства, по которым а следует предпочесть Ъ, или наоборот; кроме того, все индивиды независимы и самостоятельны в своих предпочтениях. Условие 1 нарушается многими правилами агрегирования, в частности правилом большинства. Пусть, например, общество из трех индивидов упорядочивает по предпочтению три альтернативы: a, fc, с. Допустим, что индивидуальные предпочтения таковы:

а >1 b >1 с >2 а >2 Ь >3 с >3 а. (5.25) Отношения трапзитивные для всех і; т. е. ив (5.25) следует:

а >і С1 с >2 ь а-

Решение о выборе между возможностями а У> Ъ и Ъ )> а принимается обществом по правилу большинства. Имеем

за а >>0 Ъ — 2 голоса против 1; (5.26)

за Ъ >0 с — 2 голоса против 1; (5.27)

за с ^>0а — 2 голоса против 1. (5.28)

Но тогда либо получаем из (5.26) и (5.27), что за а У>0 с — 2 голоса против 1, что противоречит (5.28), либо отношение нетранзитивно. Эта дилемма получила название парадокса Кондорсэ.

Условие 2 — положительная связь общественных и индивидуальных предпочтений. Если индивидуальные предпочтения изменяются так, что альтернатива а поднимается в шкалах индивидуальных предпочтений, то эта альтернатива не должна опуститься и в общественной шкале предпочтений. Например, если индивиды изменили свои предпочтения так, что стало а ^ ft, то общественное предпочтение должно либо оставить а^ Ъ в силе, либо заменить b а на Ь.

Условие 3 — независимость несвязанных альтерпатив, или независимость от внешних альтернатив. Если индивид или общество предпочитают альтернативу а альтернативе Ь, то добавление к множеству всех альтернатив А еще одной альтернативы, например с, не должно приводить к изменению этого предпочтения. Другими словами, если сравниваются объекты а и fc, то достоинства и недостатки любого другого объекта но должны влиять на результаты сравнения. Некоторые правила агрегирования предпочтений нарушают это условие. Приведем пример. Пусть три эксперта оценивают предпочтительность проектов технико-экономического развития региона; обозначим эти проекты как а и Ь. Допустим, что индивидуальные предпочтения оказались следующими:

а >i Ь; а >2 Ъ; Ъ >3 а.

Правило агрегирования заключается в следующем. Каждый эксперт упорядочивает проекты по предпочтению, затем нумерует проекты по порядку возрастания их предпочтительности для него и дает каждому проекту чис_ ло баллов, равное его номеру в упорядочении. Если объектов /г, то наиболее предпочтительный проект получает п баллов, а наименее предпочтительный — 1 балл. После этого суммируются баллы, набранные каждым проектом; более предпочтительным считается тот проект, который набрал большее число баллов. В нашем примере

их{а) = 2; и2(а) 2; и3(а) — 1;

щ(Ь) = 1; и2(Ъ) = 1; и3(Ь) = 2;

и0(а) = щ{а) + и2(а) + и3(а) = 5;

uQ(b) = щ(Ь) + u2(b) Н- щ(Ь) = 4,

следовательно, для общества

а >0 Ь.

Допустим теперь, что экспертам предъявляют третий проект —с — и индивидуальные предпочтения экспертов не зависят от внешней альтернативы. Пусть, например, индивидуальные предпочтения на новом множестве альтернатив {а, Ь, с} таковы:

а >1 b >1 с\ с>2а >2 Ь; Ь >3 с >а а.

Для индивидуальных предпочтений условие 3 не нарушено, но общественное предпочтение изменяется. Действительно:

и0(а) = 3 + 2 + 1=6; и0{Ь) = 2 + 1 + 3 = 6; и0(с) = 1+3 + 2 = 6, следовательно, теперь а ~0 Ъ.

Получается, что, хотя каждый индивид, сравнивая альтернативы, принимает во внимание только их свойства, общество в делом этого не делает. Условие 3 запрещает такие правила агрегирования.

273

р. л Раяцкас, М К Плакунов

Условие 4 — суверенитет граждан — заключается в том, что общественные предпочтения должны зависеть от индивидуальных, а не быть навязаны обществу. В частности, если все предпочитают альтернативу а альтернативе Ь, то и общество предпочитает альтернативу а альтернативе Ь. В общем случае правило агрегирования не должно приводить к а ]>0 Ъ независимо от индивидуальных и редпочтештй.

Условие 5 — отсутствие диктатуры: обществ еииое предпочтение не должно быть идентично предпочтениям некоторого индивида независимо от предпочтений всех остальных членов общества. Иными словами, функция агрегирования не должна быть такой, что всегда и0 5= ut ДЛЯ НеКОТОрОГО І НезаВИСИМО ОТ предпочтений Uj (7 Ф і). Можно сформулировать это условие иначе: правило выбора должно быть симметрично относительно индивидов

F(ux, . . . ии . . ., Uj, . . .) = F(u±, . . ., Uj, . . . Ui,. . .).

Общество считает всех индивидов равно правомочными принимать участие в выработке общего решения.

Вернемся к нашему примеру с двумя альтернативами и двумя индивидами (табл. 5.1). Условие 1 в этом случае выполняется тривиальным образом, так как транзитивность предпочтений имеет смысл только для числа альтернатив не меньшего чем 3. По этой же причине в нашем упрощенном примере нет необходимости требовать выполнения условия 3. Останутся, следовательно, условия 2, 4 и 5. Ранее мы пришли к выводу, что разумного правила агрегирования нет даже в этом простейшем случае. Теперь мы можем более четко ответить на вопрос, в чем именно неразумность 16 функций агрегирования в табл. 5.1. Функции F7 и FX1 не удовлетворяют условию 5 — это правило диктаторского выбора общего решения. Функции

Ръ ^6» Рц Pfr Р9> Fit» Р11* Р12% Різ, Р14»,

^15» ^16

не удовлетворяют условию 2: отсутствует пололштельная связь между общественным и индивидуальным предпочтениями. Все функции, за исключением диктаторских F7 и Ftl, не удовлетворяют условию 4, нарушая суверенитет индивидов.

Общее решение проблемы агрегирования индивидуальных предпочтений дается известной теоремой К. Эр- роу о невозможности: функции F : Um ->- U, удовлетворяющей условиям 1—5, не существует [146], [261], [487], [496].

Этот результат иногда называют неожиданным и удивительным. Но было бы более удивительно, если бы такая функция агрегирования индивидуальных предпочтений существовала. Интересы различных людей, групп, классов могут быть настолько различны и даже противополож- ны, 4TQ конфликт тогда разрешается не в результате ап- пеляции к общему благу, а только в борьбе, исход которой определяется объемами располагаемых ресурсов, выбором стратегии — и случаем. Теорема Эрроу кажется удивительной только в свете старой, восходящей, по крайней мере, к Г. Лейбницу рационалистической догме, в соответствии с которой реальную борьбу антагонисты могут заменить вычислениями.

В чем же тогда значение теоремы Эрроу? Значение теоремы Эрроу и заключается в уточнении обстоятельств, в которых отсутствует общий интерес и в выяснении условий, при которых может существовать общественная функция полезности. Этот анализ заключается прежде всего в выяснении роли, которую играет каждое из условий 1—5 в формулировке теоремы Эрроу о невозможности.

Остановимся прежде всего на условии 5 — на требовании, чтобы общественные предпочтения не устанавливались диктатором. Можно привести высказывавия, по которым устранение условия 5 позволяет решить проблему построения общественной функции полезности положительно. Такова, например, точка зрения И. Экланда, судя по цитированному выше высказыванию. Но из теоремы Эрроу не следует, что «единственный способ выбора, приемлемый при всех обстоятельствах, состоит в передаче права выбора ,,диктатору"» [487, с. 8]. И. Экланд приводит несколько эквивалентных формулировок теоремы Эрроу. Эту теорему можно сформулировать так: «т правил диктатора, соответствующие т участникам, являются единственными правилами определения коллективного выбора, удовлетворяющими аксиоме единогласия и аксиоме независимости» [487, с. 35]. Эта формулировка действительно эквивалентна приведенной выше формулировке теоремы Эрроу о невозможности (теорема 1а у И. Экланда).

18*

275 Отметим, что речь в этой формулировке идет не о единственном правиле определения коллективного выбора, а о т различных диктаторских правилах; в приведенной И. Экландом формулировке теоремы Эрроу ничего не говорится о том, кто именно из т индивидов должен стать диктатором. Но далее в изложении И. Экланда следует скачок: «Теорема Эрроу по существу утверждает, что единственный универсальный способ сделать коллективный выбор, при котором индивидуальные выборы согласуются друг с другом, состоит в том, чтобы положиться на диктатора» [487, с. 39]. Это уже новая формулировка, и она не эквивалентна предыдущим. Действительно, если раньше речь шла об т правилах диктатора, то теперь И. Эк ланд утверждает, что единственным решением проблемы агрегирования является диктатура. Эту последнюю формулировку И. Экланд и не доказывает; она у него фигурирует только как разъяснение существа правильно сформулированной теоремы Эрроу. Но разъяснение это неудачно."

Откажемся от условия 5. Обозначим множество т диктаторских правил выбора Fj как Д; є Д. Яспо, что Fj{ux, . . ., ит) ф Fi(ux, . . ., ит) при і Ф]. Следовательно, отказ от условия 5 не позволяет решить проблему агрегирования индивидуальных предпочтений. Предложим обществу новую задачу: каждый индивидуум упорядочивает «кандидатов в диктаторы» и все общество на основе некоторого правила, удовлетворяющего условиям 1—4, агрегирует эти индивидуальные предпочтения. Получаем исходную проблему, но с другим множеством альтернатив; теперь это множество Д. Решением этой задачи будет опять множество Д — т диктаторских правил. Отказ от условия 5 не позволяет сдвинуться с места в попытках найти обход теоремы Эрроу о невозможности.

Прежде чем рассмотреть другие пути решения проблемы агрегирования, отметим один важный практический вывод, касающийся методов агрегирования экспертных оценок. Если эксперты оценивают некоторую характеристику (полезность, важность, привлекательность, значимость и т. п.) в порядковой шкале, то в общем случае коллективного мнения экспертов не существует. К сожалению, в литературе по экспертным оценкам и в прикладных работах этот вывод часто игнорируется.

Рассмотрим теперь остальные условия теоремы Эрроу о невозможности.

Вряд ли что-нибудь дает отказ от условий 2 и 4: должна существовать положительная связь между индивидуальными предпочтениями и предпочтениями общества; трудно объяснить, что может означать ситуация, при которой все без исключения члены общества предпочитают альтернативу а альтернативе b, а общество, состоящее из тех же самых индивидов, тем не менее отдает предпочтение альтернативе b, но не альтернативе а.

Остаются условия 1 — полпота несвязанных альтернатив и условие 3 — их независимость. В соответствии с условием 1 требуется, чтобы: a) U — было множеством всех возможных упорядочений, причем б) рефлексивное и транзитивное отношение; чтобы в) правило F было определено на всем произведении Um и чтобы г) функция F принимала значения в множестве U.

Отказ от некоторых частей условия 1, по существу, изменяет условие задачи. Можно, например, отказаться от условий 16 и 1г и искать не общественное упорядочение альтернатив, а правило G, ставящее в соответствие индивидуальным упорядочениям наиболее предпочтительную альтернативу

G : Um -> А или G : Um Р(А),

где Р{Л) — множество подмножеств множества А. Такая задача означает поиск совместного, приемлемого для всех индивидов (или для некоторой их части) решения без построения функции общественной полезности. Для двух альтернатив и нечетного числа индивидов таким правилом может быть правило большинства 6. Если имеются три альтернативы и три индивида и их предпочтения имеют вид (5.26)—(5.28), то разумного правила выбора, видимо, нет: в общем случае имеется аналогия с теоремой Эрроу. Различные процедуры согласования индивидуальных решений и действий давно представляют собой предмет исследования в экономической кибернетике; условия существования таких процедур анализируются в моделях экономического равновесия [29], [348], [349], [350]. Наиболее важными результатами в этой области являются понятие оптимальности по Парето, теорема Эрроу— Дебре и ее модификации и обобщения.

Этот подход не связан непосредственно с проблемой агрегирования индивидуальных предпочтений. И в тех случаях, когда функция общественной полезности не только существует, но и известна, анализ процедур согласования индивидуальных решений позволяет строить системы управления, в которых оптимум для всей экономической системы не вычисляется в некотором центральном органе, а находится всеми экономическими агентами самостоятельно по правилам, установленным центральными органами. Управление деятельностью экономических агентов осуществляется не посредством выдачи директив, а посредством изменения правил принятия решений.

G Но в любом случае остается открытым вопрос, почему проигрывающая коалиция (папример, меньшинство) должна примириться с таким правилом выбора.

Здесь есть, однако, сложная проблема устойчивости совместных решений; анализ этой проблемы связан с условием независимости несвязанных альтернатив — с условием 3 теоремы Эрроу. Поэтому сейчас мы не будем затрагивать этот вопрос.

Рассмотрим, что означает отказ от условий 1а и lb теоремы Эрроу. Пусть V — некоторое подмножество U. Это подмножество может состоять, например, только из одного упорядочения {а )> b )> с )> ...). Ясно, что для некоторых сужений множества можно построить правило агрегирования

F : Vm F,

удовлетворяющее всем условиям. Это можно сделать, когда V состоит из одного элемента. Сужение множества U равносильно наложению ограничений на индивидуальные предпочтения. Кондорсэ, оценивая обнаруженный им парадокс правила большинства, считал, что правило большинства не работает в тех случаях, когда индивидуальные предпочтения слишком различны, и что такая ситуация служит признаком глубокого заболевания общества. Вообще говоря, это верно. В антагонистическом обществе интересы и предпочтения людей, групп, классов существенно различны и могут быть противоположны. Никакое усовершенствование процедур голосования не устраняет антагонизма.

Что может «стягивать» индивидуальные предпочтения в некоторое достаточно «малое» множество VI Индивидуальные предпочтения ограничиваются традицией (и это, видимо, вносит немалый вклад в обеспечение устойчивости традиционных обществ), модой, авторитетом. Наиболее существенны, конечно, материальные причины появления общественного интереса и прежде всего — это наличие общественной собственности. Наряду с непосредственным влиянием этой причины на индивидуальные предпочтения, необходимо отметить и влияние, опосредованное внешней к первоначальному множеству альтернатив А альтернативы — потери в результате несогласованности интересов. Это означает невыполнение условия 3 теоремы Эрроу — условие независимости от внешних альтернатив. Отказ от этого условия рассмотрим позднее.

Есть еще одна ситуация, эквивалентная сужению множества всех предпочтений U. Пусть множество А — это множество значений некоторой переменной (не обязатель- но количественной, но, как минимум, измеряемой в порядковой шкале). Каждая альтернатива из множества А, таким образом,— некоторое значение этой переменной, т. е. альтернативы а, Ъ, с... имеют естественный, объективный порядок. Пусть, например, выбирается величина затрат на охрану окружающей среды в долях национального дохода и альтернатива а — 0% национального дохода на защиту окружающей среды, альтернатива Ъ — 0,5%, альтернатива с — 10% и т. д. Альтернативы имеют естественный, объективный порядок (обозначим его )>е): а <е Ъ <е с d и т. д.

Теперь на индивидуальные предпочтения, помимо условия транзитивности, накладывается еще одно условие непротиворечивости. Индивидуальные предпочтения должны быть последовательными. Так, если индивид і считает, что Ъ <2, то значит, что он считает наилучшей альтернативу, лежащую между b и d (значение слова «между» определяется объективным упорядочением альтернатив так же как и значение слов «лежащая перед» и т. п.), либо альтернативу Ъ, либо альтернативу, лежащую перед Ъ. Поэтому в его индивидуальном предпочтении не появляется отношение d^>i а. А это значит, что множество возможных упорядочений U сужено и правило агрегирования надо определять не на Um, a naJJ V^ V$ a U.

і

Если ИНДИВИД І последователен, ТО его предпочтение Щ имеет один пик. Предпочтение R е U имеет один пик, если альтернативы объективно упорядочены, и индивид, переходя в порядке объективного упорядочения от одной альтернативы к следующей (в объективном упорядочении), сначала монотонно поднимается к пику своих предпочтений, а затем монотонно опускается.

Для этого случая Д. Блэк и К. Эрроу показали, что если число индивидов нечетно, то правило простого большинства является правилом агрегирования индивидуальных предпочтений, удовлетворяющим условиям 2—5 [146], [261], [497]. Этот результат оправдывает агрегирование оценок экспертов, но только в том случае, если установлено естественное объективное упорядочение объектов (а это надо каждый раз специально проверять) и если индивидуальные упорядочения экспертов имеют по одному пику. Важно также отметить, что доказательство существования правила агрегирования, удовлетворяющего разумным условиям, решает только логическую часть проблемы агрегирования индивидуальных предпочтений и йе означает, что общество действительно имеет функцию полезности 7. Остается еще «стратегическая часть» проблемы агрегирования: каковы мотивы, по которым меньшинство или певыигрывающая коалиция и т. п. принимают разумное правило агрегирования? Иными словами, необходимо оценить устойчивость решений, соглашений и т. п., принятых на основе разумного правила агрегирования.

Некоторые из этих вопросов имеют непосредственное отношение к условию 3 теоремы Эрроу — условию независимости несвязанных альтернатив или независимости от внешних альтернатив. По этому условию если сравнивается альтернатива а с альтернативой Ь, то никакая третья альтернатива не может приниматься во внимание и ее характеристики не оказывают никакого влияния на исход сравнения альтернатив а и Ъ. Это требование представляется естественным. Пусть некто должен выбирать между квасом и кофе и выбрал кофе. Но тут оказывается, что есть еще одна альтернатива: чай. Было бы удивительно, если бы некто, узнав о возможности попить чаю, отказался бы от кофе в пользу кваса. Естественно ожидать, что появление чая не меняет отношения к квасу и кофе.

По условию 3 теоремы Эрроу независимы от внешних альтернатив должны быть как индивидуальные, так и общественное предпочтения. То, что это условие кажется естественным для индивидуальных предпочтений, не означает, что оно так же естественно для общественного предпочтения. Р. Льюис и X. Райфа приводят следующий пример [261, с. 433]. Рассматриваются два индивида и две альтернативы: а и Ъ. Предпочтения индивидов таковы:

A Ъ\ Ъ )>2 Я-

Допустим, что по правилу агрегирования I31 о эти альтернативы равноценны для общества:

Fo({a>i Ь}, {Ъ>2а}) = {а ~0Ъ}.

Добавим следующие альтернативы: 1000 долларов каждому, 1 доллар каждому, 1 доллар каждому, 1000 долларов каждому. Теперь индивидуальные предпочтения выглядят так:

(1000) >! (1) >га>гЬ (—1)>х(—Ю00), ъ >2 (1000) >2 (1) >2 (-1) >2 (-1000) >2 а.

Для индивидуальных предпочтений условие независимости от внешних альтернатив выполняется. Обязательно ли в этом случае требовать его выполнения для общественного предпочтения? Ясно, что второй индивид много интенсивнее предпочитает альтернативу Ъ альтернативе а (различие не менее чем в 2000 долл.), чем первый предпочитает альтернативу а альтернативе Ъ (они для него различаются менее чем в 2 долл.). Представляется справедливым, чтобы общественное предпочтение теперь выглядело так: Ъ >о а. Но это значит, что дополнительные альтернативы теперь нельзя считать не относящимися к делу; их появление повлияло на общественный выбор; условие 3 теоремы Эрроу нарушено.

В приведенном примере нарушено еще одно отдельно не формулируемое условие теоремы Эрроу. По этому условию предполагается известным, что, например, а Ь, но не известна сила этого предпочтения — все полезности в теореме Эрроу измеряются в порядковой шкале. Но индивиды могут оказаться достаточно разумными для того, чтобы измерять свои индивидуальные полезности в какой- нибудь количественной шкале и, кроме того, (хотя это и не обязательно) могут сопоставить свои шкалы. Л это, как показывает пример Р. Льюиса и X. Райфы, меняет дело.

Для индивидуальных предпочтений условие независимости от внешних альтернатив выглядит, как уже отмечалось, вполне правдоподобным. Однако и в этом случае независимость индивидуальных предпочтений от внешних альтернатив нельзя считать естественным законом человеческой природы. В каждом конкретном случае условие 3 следует, конечно, брать под сомнение и проверять его выполнение. Можно указать на большой класс ситуаций, когда индивиды, сравнивая альтернативы а и fc, имеют в виду «гештальт» всего множества альтерпатив или некоторой его части, например учитывают нулевую альтернативу,— согласие не достигнуто. Если последствием реализации нулевой альтернативы будет конфликт, сопряженный с риском проигрыша, взаимного разорения или уничтожения, то естественно предположить, что хотя бы некоторые индивиды изменят свои предпочтения, т. е. будет сужено мпожество С/™. Но все эти обстоятельства существенно изменяют задачу, о решении которой идет речь в теореме Эрроу о невозможности. Анализ послед- ствий принятия или непринятия совместного решения, устойчивости достигнутого соглашения и т. п.— все эти проблемы не сводятся к задаче агрегирования индивидуальных предпочтений и рассматриваются в более широком аспекте теории кооперативных игр.