Функции полезности, кривые безразличия

Функцией полезности называют зависимость между полезностью, которую индивид получает от потребления благ, и их количеством (В более сложных моделях добавляют и другие факторы). Полезность, как уже было указано, измеряется в ютилах, а функция полезности в современном толковании используется как способ описания потребительских предпочтений.

Помимо названных выше предпосылок, в теории потребителя принята аксиома об убывании предельной полезности.

Предельная полезность - полезность, получаемая индивидом от потребления последней по порядку единицы блага.

Впервые однако эта аксиома была сформулирована в виде закона (первого закона Госсена): в одном непрерывном акте потребления полезность последующего блага убывает; при повторном акте потребления полезность каждой единицы блага уменьшается по сравнению с ее полезностью при первоначальном потреблении¹¹. В некоторых базовых курсах экономической теории это

утверждение именуется законом убывающей предельной полезности. Однако

Г.Г. Госсен (1810 - 1858), немецкий (прусский) экономист, при формулировке своих законов еще не знал понятия предельная полезность, а писал - «ценность предельного атома».

каждый студент и даже школьник очень легко этот закон может опровергнуть (достаточно вспомнить о том, что полезность субъективна). Поэтому правильнее, все-таки, называть это утверждение аксиомой. Необходимость в аксиомах, как известно, возникает тогда, когда на их основе создаются новые теории.

Из этой аксиомы можно вывести, что оценка полезности зависит, кроме прочего, еще и от характеристик процесса потребления.

Вид функции общей полезности (TU(Q)) еще раз должен напомнить о предпосылках рационального выбора. Эта функция непрерывна и дифференцируема (благо бесконечно делимо). Она монотонно возрастает, однако темп ее роста постоянно снижается (полезность каждой единицы блага больше нуля - ненасыщаемость, + аксиома об убывании предельной полезности).

Функция предельной полезности также отражает все эти свойства. Это должно быть очевидно еще и потому, что, согласно определению, предельная полезность представляет из себя производную функции общей полезности:

mlAS) =

Свойство производной таково, что ее значение в каждой точке графика функции равно тангенсу угла наклона касательной, проведенной из этой точки к данной функции (рис. 4.5: в печатной версии).

Следовательно, аксиома об убывании предельной полезности и свойство ненасыщаемости будут выражены в том, что угол а постепенно уменьшается при росте количества потребляемого блага ( Q ).

Появление данной аксиомы (сначала в виде законов Госсена в 1854 году) было оценено как воистину революционное (правда, эту оценку сделали четверть века спустя У.Джєвонс, К.Менгер, Л.Вальрас и другие теоретики математической школы). Она позволила найти разрешение загадок, существовавших до тех пор в экономической теории в виде парадоксов. Таким был, например, названный

А.Смитом парадокс воды и алмазов: алмаз стоит гораздо дороже воды, хотя вода для человека гораздо полезнее. Но, если представить, что речь идет о первом стакане воды для путешественника в жаркой пустыне с мешком алмазов за плечами (у которого вода кончилась три дня назад), то с помощью первого закона Госсена этот парадокс легко разрешается.

Решается и другая задача. Предположим, у индивида есть в распоряжении некоторое ограниченное количество времени. Он желает его потратить с максимальной пользой для себя и успеть насладиться несколькими благами (материальными).

Ответ на этот вопрос также подсказан Госсеном и называется его вторым законом. Если за ограниченный период времени требуется с максимальной пользой потребить ограниченное же количество благ, нужно выбрать их столько, чтобы предельная полезность каждого блага в отдельности равнялась одной и той же величине.

Достаточно очевидным должно быть то, что не всегда возможности человека ограничены только временем. Нужны и какие-то иные средства, чаще всего - денежные, для получения благ. Чтобы получить эти денежные средства, человек должен трудится. Следуя «классической логике принятия решений» труд расценивается как отрицательное благо. Его стоимость равна стоимости рабочего времени.

Это утверждение было одним из главных пунктов, за которые классическую теорию критиковали сторонники социалистических учений . Однако без этого утверждения математический аппарат классической теории терял свою мощь. В современных экономических учениях двойственная природа труда уже не является препятствием для построения достоверных экономико-математических моделей.

Заметим, что представленная выше функция полезности является одномерной. ^[10]

Она зависит только от одного параметра - количества единственного потребляемого блага. Но, для решения задач потребительского выбора из нескольких благ необходимы более сложные модели. Лист бумаги позволяет использовать двумерные мысленные конструкции. Выбор потребителя в этом случае будет ограничен набором из двух благ. А функция полезности будет зависеть от двух параметров (пусть это будут товары Х\ и Х2). При этом все предпосылки и

допущения рационального выбора сохраняются. То есть, если один из параметров не будет меняться, новая функция полезности по своим свойствам ничем не будет

13

отличаться от уже рассмотренной функции TU (Q)

Новая функция U (Хі Х2), построенная в координатах Xi и Х2, при заданном U=const, называется кривой безразличия.

Свойства кривых безразличия являются продолжением свойств одномерной функции полезности. Исходя из этого, перечислим их:

· Через каждую точку в координатной плоскости (Хі Х2) можно провести одну и только одну линию безразличия. Кривые безразличия непрерывны и не пересекаются.

· Кривая безразличия может быть прямой линией, или линией вогнутой к началу координат. Но, кривые безразличия не могут быть выпуклы от начала координат и иметь положительный наклон.

· При фиксированном значении количества одного из благ, линии безразличия, расположенные правее или выше, соответствуют большему уровню полезности.

Рассмотрим подробнее одно из свойств линий безразличия, которое связано со свойствами товаров Хі и Х2. Товары разделяют на

дополняемые (товары-комплементы),

совершенно взаимозаменяемые (совершенные субституты) и ^[11]

несовершенные субституты.

Для каждого из этих случаев вид линий безразличия будет особенным (рис. 4.7).

Очевидно, что ни один из товаров-комплементов другим (из данного набора) заменить в потреблении нельзя (пример: переднее или заднее колесо у велосипеда, правый и левый Ботинок и т.д.). Товары - совершенные субституты легко заменяют друг друга в потреблении, но в определенной пропорции (желтые и красные яблоки, различные марки напитков и т.п.). Эта пропорция задана тангенсом угла наклона линии безразличия. Она называется нормой замены. tg (- а) определяет норму замены товара Х2 на товар Х\. tg (-β) определяет норму замены товара Х\ на товар

Х2 (на рис.4.7.б углы наклона линии безразличия отрицательны в представленных координатах, поэтому в выражении для их тангенсов появляется знак минус).

Норма замены товара Х2 на товар Х^(Яа1е of Substitution - RS21) - количество

товара Х2, которое потребитель готов отдать в обмен на то, что количество товара Х1 увеличится на единицу при сохранении прежнего уровня полезности:

RS ₂₁ = - АХ₂/А^₁ .

Легко заметить, что норма замены для товаров - совершенных субститутов постоянна в каждой точке линии безразличия. Причем, в данном случае норма замены и предельная норма замены в каждой точке совпадают.

Предельная норма замены товара X^ на товар Х\ (Marginal Rate of Substitution - RS21) - значение нормы замены товара Х2 на товар Х\, когда увеличение количества товара Х1 становится бесконечно малым (стремится к нулю):

М RS ₂₁ = /ш_ДХ1^₀ (-ЛХ₂/ЛХ₁) = - d X₂/ d X₁.

Для товаров - несовершенных субститутов предельная норма замены товара Х2 на товар Х1 очевидно различна в разных точках кривой безразличия. При

увеличении Х1 значение данного показателя уменьшается. Его величина равна

тангенсу угла наклона касательной к функции безразличия при соответствующем значении Х1. Как показано на рис. 4.7 (в), угол наклона касательной при движении

от начала координат вдоль оси 0X1 (от Х’1 к Х”1) уменьшается.

4.3.