Формальные свойства линейно-однородных производственных функций

Экономисты долгое время предпочитали иметь дело с линейно-однородными производственными функциями. Действительно, в основе экономической аргументации так часто лежало допущение того, что производственная функция имеет этот особый вид, что исследователи почти уверовали, что более высокая или низкая степень однородности не имеют экономического смысла.

станут очевидны в ходе нашего рассмотрения экономического смысла линейно-однородных производственных функций. Тем не менее, мы должны начать с обзора формальных характеристик подобных функций.

Читатель, не интересующийся математическими выкладками, может пропустить этот раздел, однако, нужно предупредить, что таким образом он пройдет мимо ядра неоклассической теории. Первое, что необходимо отметить о производственной функции первой степени однородности, это, как показано выше, то, что предельные продукты производственных факторов инвариантны относительно количеств применяемых факторов: пропорциональные изменения количеств факторов не затрагивают их предельную производительность. Из этого следует, что предельный продукт совместного приращения всех факторов при неизменности их пропорционального соотношения равен сумме предельных продуктов обособленных приращений факторов. Это означает, что когда производственная функция обладает свойством постоянного эффекта масштаба и есть по меньшей мере два производственных фактора, последние всегда комплементарны: увеличение количества одного из них снижает совокупный предельный продукт, но обязательно увеличивает предельный продукт других факторов. Термин "комплементарность" немного нечеток. Имеется в виду второй случай из четырех возможных соотношений между двумя факторами. Изображая единичные изокванты, получаем рисунок 11-5. Случай I — фиксированные коэффициенты расхода ресурсов — исключается из рассмотрения, так как мы говорим о приращении отдельного фактора, т.

Теперь рассмотрим случай II, соответствующий теореме о "несовершенной комп- лементарности" производственных факторов в условиях производственной функции, обладающей свойством постоянного эффекта масштаба. Прежде всего заметьте, что если А" = f(K, N) — линейно-однородная производственная функция, то предположение о том, будто MPn и МРк положительны, ipso facto означает, что каждый из них есть убывающая функция от используемых количеств труда и капитала. Из теоремы Эйлера получим, что

6N дК' .t Разделив обе части равенства на К и перегруппировав, имеем Х_ЬХ^ /алЛ N К дк              llt;wj К

Так как XJC и N в соответствующей окрестности положительны, отношения АЖ и NIK всегда больше нуля. По предположению производные дХ/дК и amp;X/6N всегда положительны. Но 6X/6N будет положительна, только если дХ/дК lt; Х/К, т. е., если предельный продукт капитала меньше его среднего продукта, откуда сразу же следует, что предельный продукт капитала убывает с ростом последнего, или дгХ/дКг lt; 0.

Аналогичный вывод имеет место для предельного продукта труда в физическом выражении, если обе части равенства разделить на N вместо К.

Далее, применяя теорему Эйлера еще раз и вспоминая, что предельный продукт капитала есть функция не только от количества используемого капитала, но и труда,

получим

, „»х „ #х

6N 6N 6N { 6N дК) 6N 6N1              6N6K'

Следовательно,

или

д2Х _ К 6гХ amp;N1 N6N6K

Аналогичные вычисления для предельного продукта капитала показывают, что amp;Х= N 62Х

дК2 ~ К dKSN              W

Теперь, 62Xh5JV2, частные производные второго порядка, для линейно-однородной производственной функции всегда меньше нуля.

Однако при рассмотрении положительного или отрицательного эффекта масштаба уже не соблюдается свойство положительности всех совместных частных производных. Если d2X/6K6S достаточно велика, где S есть некоторый третий фактор, порождающий переменный эффект масштаба, то производная 62X/dK6N может быть отрицательна: труд и капитал теперь являются "конкурирующими" факторами, так как приращение капитала увеличивает оплату 5 в той степени, в какой уменьшает предельный продукт труда (случай IV на рис. 11-5).

Комплементарность труда и капитала вдоль графика любой производственной функции, обладающей свойством постоянного эффекта масштаба, означает, что, если сумма рентных платежей на единицу капитала п снижается, объем заработной платы на одного человека w должен расти, и наоборот. Однако из этого не следует, что мы можем предсказать, что произойдет с относительными долями двух факторов. Совершенно ясно, что капитальная рента снижается медленно, в то время как ставка заработной платы растет быстро. Как следствие этого относительная доля капитала уменьшается, несмотря на тот факт, что отношение капитал-труд растет. Понятно, что это зависит от нормы замещения труда капиталом по мере изменения относительных цен факторов. Если эффект масштаба положителен или отрицателен, проблема была бы даже еще сложней, так как при этом не было бы уверенности в том, что увеличение отношения капитала к труду приведет к снижению капитальной ренты и росту уровня заработной платы.

Соотношение, в соответствии с которым труд может замещаться капиталом и наоборот при движении вдоль графика данной производственной функции обобщается введенным Хиксом понятием "эластичности замещения”, ф.

ную изокванту: абсолютная величина наклона касательной к изокванте в точке А отражает соотношение wfn или MRS, наклон луча, проведенного от качала координат к точке А задает соотношение К/N (см.рис. 11-6). Предположим, что отношение w/n увеличивается или мы смещаемся вверх к точке В, соответствующей большему значению отношения К/N. Какова теперь зависимость между двумя отношениями? Это определяется величиной lt;р. Одним словом, lt;р есть просто отношение относительного изменения наклона луча, проведенного из начала координат к точке, расположенной на изокванте, к относительному изменению абсолютной величины наклона касательной к изокванте в этой точке.

Простое правило, относящееся к коэффициенту фу гласит, что он обратно пропорционален кривизне изокванты: чем меньше она изогнута, тем меньше MRS и больше величина ф. Чтобы показать ф на рис. 11-6, положим, что изменение отношение N/K, происходящее при смещении от точки А к точке Л, задается абсолютным значением выражения АЕ/ОЕ — СЕ/ОЕ = АС/ОЕ, деленного на начальное значение АЕ/ОЕ, т. е. ACIAE. Аналогичным образом отношение wfn первоначально выглядело как FE/AE. Абсолютное изменение w/n равно FE/AE — FE/ED = FE/AD. Следовательно, относительное изменение w/n есть абсолютное изменение отношения FE/AD, деленное на первоначальное значение FEIAE, что равно AE/AD. Но нас интересует относительное изменение n/й?, которое обратно этой величине —AD/AE. Таким образом,

N {К)1 п              АЕ АЕ AD

Так как АС lt; AD, ф lt; 1, для рассматриваемой изокванты в соответствующей области это означает, что 1% снижения njw ведет к менее чем 1%-ному уменьшению N/К, тах, что относительная доля труда увеличивается.

Таким образом, чтобы очень просто проверить, является ли ф величиной, большей или меньшей единицы на определенном участке изокванты, следует, начиная от одного конца этого участка, посмотреть, где прямая, параллельная касательной к изокванте на другом конце участка, пересекает луч, соответствующий отношению К/N. Если пересечение происходит в точке, подобной С, ф = 1, значит, 1%-ный рост или снижение n/w приводит к такому же изменению N/К, причем относительные доли факторов остаются неизменными. Чем ближе точка пересечения к данной изокванте, тем больше ф, в экстремальном случае линейная изокванта, отражающая абсолютное замещение факторов, задает ф = «gt;. Легко видеть, что теперь мы можем разделить краткосрочный и долгосрочный случай по Маршаллу, но не в терминах эластичности спроса, как это делал он, а с точки зрения приближения коэффициента ф к его технологически детерминированному максимальному значению. В краткосрочном аспекте на данном предприятии и оборудовании возможная область замещения меж-

ду трудом и капиталом сводится к изменению времени работы оборудования и интенсивности труда. Однако в долгосрочном периоде может быть введено в действие новое предприятие или оборудование, и поэтому эластичность замещения достигает своего максимально возможного уровня, заданного всем многообразием альтернативных технологических способов, доступных для фирмы в тот или иной момент времени. Таким образом, значение ф в долгосрочном аспекте всегда превышает его краткосрочное значение.

Обобщение сказанного для семейства единичных изоквант приведено на рис. 11-7.

Пришло время сделать некоторые предостережения насчет показателя ф. Коэффициент эластичности ф относится только к одной и той же изокванте, а не к случаю одновременных изменений соотношений используемых факторов и масштабов производственной деятельности. Пока речь идет о линейно-однородных производственных функциях, это не затрагивает значение показателя ф. В условиях постоянного эффекта масштаба смещение от точки А к точке D дает в итоге то же значение ф, что и при смещении от точки А к точке В потому, что при переходе от В к D ф = О (см.рис.11-8). Но как только однородная производственная функция перестает быть линейно-однородной, изокванты уже не являются параллельными в том смысле, что они теперь не имеют одного и того же наклона относительно любой прямой, выходящей из начала координат; когда производственная функция не является однородной первой степени, оптимальные для фирмы сочетания производственных факторов при заданных относительных ценах последних и, следовательно, значение ф варьируют с изменением масштаба производства. Можно прийти к аналогичному заключению немного по-другому: при постоянном эффекте масштаба MRS определяется исключительно изменениями соотношений используемых факторов тл. фк,н — фп,к заместить труд капиталом так же легко, как капитал трудом. Это никогда не выполняется при положительном или отрицательном эффекте масштаба. Более того, определение ф

alt="" />

N

перестает работать в условиях монополистической конкуренции, когда факторы уже не оплачиваются в соответствии с ценностью их предельного продукта. Если оплата каждого фактора пропорциональна его предельному продукту в физическом выражении, это не принесет особого вреда. Но если разница между предельными затратами и ценой колеблется при изменении выпуска, что и должно происходить при монополистической конкуренции, формула для ф применяться уже не может. Наконец, если технический прогресс не нейтрален и определяется как стягивание к единому центру сжимающихся изоквант — подробней речь об этом пойдет ниже, — тогда коэффициент эластичности ф хорошо определен только для линейно-однородных производственных функций, рассматриваемых в условиях совершенной конкуренции и нейтрального технического прогресса.

На этом отступление, посвященное понятию ф закончено. Итог состоит в том, что линейно-однородные производственные функции полностью совместимы как с ф большими, так и меньшими единицы. В то же самое время существует класс однородных функций, обладающих притягательным свойством равенства ф единице для любых значений К и#, а также при любом эффекте масштаба. Частный случай функции этого класса был изобретен Викселлем и впервые эмпирически проверен Коббом и Дугласом в 1928 г.[*********]. Мы уже упоминали о нем, говоря о функциях:

X — А№КР

где А, а и/J - константы, которые необходимо оценить путем приложения функции к реальным производственным данным. Мы продемонстрировали, что предельный продукт труда производственной функции такого рода всегда равен среднему продукту труда, умноженному на а. Аналогичное справедливо для предельного продукта капитала. Таким образом, показатели степени в производственной функции Кобба-Дугласа являются просто отношениями предельного и среднего продуктов двух факторов, которые, в свою очередь, равны относительным долям капитала и труда. То есть

_SXN а~ 6NX 6КХ'

В условиях совершенной конкуренции будут справедливы следующие соотношения w дХ              — п              дХ

w = — = -rrz              и              п * —              = -JZZ.

р 6N              р              оК

Таким образом, а =              wN/pX —              относительная доля труда, и § — nKfpX — относительная

доля капитала. Более того, выражение

SXN

6NX

есть просто пропорциональное изменение выпуска, полученное в результате пропорционального изменения количества труда, а это означает, что а также представляет собой эластичность производственной функции по затратам труда. Аналогичная интерпретация имеет место для /5 применительно к капиталу. Наконец, MRS, предельная норма замещения труда капиталом, принимает для производственной функции Кобба-Дугласа простейший возможный вид

Задача Дугласа, сначала в сотрудничестве с Коббом, затем с другими соавторами,

состояла в оценивании А, а и /? исходя из реальных данных и далее в сравнении оцененных значений а иуЗ с относительными долями труда и капитала; если эти доли отвечали соответствующим значениям а и /? он делал заключение об оплате производственных факторов согласно их предельным продуктам. Вначале он принимал a + f}= 1, оценивал а исходя из относительной доли труда и затем выводил: Р = 1 - а. Но впоследствии, он проверял и общую (unrestricted) форму этой функции, допуская^ ? 1 — а. Как было отмечено ранее, а + /3 определяет степень однородности производственной функции Кобба-Дугласа. Предположим, что количество труда и капитала возросло на 10%. Тогда = Л(1,ШУ)а(1,10К/ =А(1,ХОу+0№К?

Выпуск продукции в этом случае увеличится в (1,10)“ +/* раз, и ответ на вопрос, будет ли этот рост больше или меньше 10%, зависит от значения суммы а + /?. Резюмируем: а +13 = 1 — постоянный эффект масштаба а + /3 gt; 1 — положительный эффект масштаба а + /? lt; 1 — отрицательный эффект масштаба.

Функции Кобба-Дугласа могут соответствовать любое значение эффекта масштаба, и это отчасти послужило причиной их популярности у эконометриков. Однако свойство, принесшее функции Кобба-Дугласа широкую известность, состоит в том, что эластичность замещения на всей области определения этой функции равна единице, свойство, которое инвариантно относительно сделанного допущения по поводу значения суммы а и /?. Именно оно гарантирует, что относительные доли труда и капитала не будут затронуты относительными уровнями предложения этих двух факторов. Это дает простое объяснение наблюдаемому "относительному постоянству" долей производственных факторов в развитых странах на протяжении длительных периодов времени. Постоянство долей факторов в долгосрочном аспекте — это факт, который в настоящее время все больше подвергается сомнению. Тем не менее, уверенность в том, что эластичность замещения в реальном мире является равной единице, обеспечила популярность производственной функции типа Кобба-Дугласа или ее позднейшему родственнику — функции с постоянной эластичностью замещения (CES). Это также объясняет заинтересованность экономистов в нейтральности технического прогресса: как только изокванты смещаются и обращаются вокруг своей вершины (pivot), множитель Л в производственной функции Кобба-Дугласа перестает быть простым коэффициентом масштаба, значение которого не оказывает влияния на ф. Когда технический прогресс не является нейтральным, изменение А обязательно воздействуют на MRS и, следовательно, на ф.

Доказательство равенства ф — 1 для любой функции Кобба-Дугласа элементарно. Как мы видели выше,

Также

Подставляя в данное ранее определение ф, получим:

N а

Заметим, что этот результат не опирается на условие а + /3 — 1. Он имеет силу для любой функции Кобба-Дугласа, какой бы ни была сумма а и

Особенность производственной функции Кобба-Дугласа состоит именно в том, что параметры, которые нужно оценить, есть показатели эластичности а и /3, которые также представляют собой относительные доли применяемых факторов. Есть очень немного производственных функций, обладающих таким свойством. Изучающий может убедиться в этом самостоятельно на следующих примерах линейно-однородных производственных функций:

Х=ЧШ.

X^VaW + XNK + bX1 а№ + 2сЫК + Ькг dN + eK

где а, Ь,... е — константы. Легко видеть, что это однородные функции, так как все отдельные члены каждого равенства имеют одну размерность, а также, что они линейно однородны — сумма показателей степени всех отдельных членов равна единице. Тем не менее, константы в равенствах (1),(4) и (S) не равны показателям эластичности производственной функции относительно труда и капитала и ф Ф 1 при любых их значениях. Бели это справедливо для многих однородных функций первой степени, то это тем более истинно для еще более широких классов производственных функций большей или меньшей степени однородности.

Обобщим сказанное: линейно-однородная производственная функция предполагает следующее: (1) предельный продукт какого-либо фактора варьирует только при изменении относительных количеств применяемых факторов; (2) участвующие в процессе факторы обладают свойством комплементарности, т. е. увеличение количества переменного фактора снижает его предельную производительность, но увеличивает предельную производительность фиксированного производственного фактора; (3) совокупный продукт в точности складывается из выплат используемым производственным факторам в соответствии с их предельной производительностью. Тем не менее, однородность первой степени сама по себе не гарантирует постоянства относительных долей. Это справедливо только для производственных функций особого рода, таких, как функция Кобба-Дугласа. Из этого следует, что если показатели эластичности производственной функции оцениваются исходя из относительных долей производственных факторов и предполагается, что последние в сумме составляют совокупный доход, этим самым подразумевается, что производственная функция имеет вид функции Кобба-Дугласа.