7.2 Доказательство представимости предпочтений на множестве простых лотерей линейной функцией полезности

В этом параграфе нам предстоит доказать Теорему 84. Для упрощения выкладок понадобятся некоторые свойства операции выпуклой комбинации лотерей. Доказательство их достаточно очевидно.

Теорема 85:

Операция выпуклой комбинации лотерей на множестве всех простых лотерей S обладает следующими свойствами: ^ p о 1 о q = p, ^ p о 0 о q = q, ^ p о а о q = q о (1 - а) о p,

^ (p о в о q) о а о (p о 7 о q) = p о (ав + (1 - а)7) о q. J

Функция Неймана- Моргенштерна является линейной по вероятностям.

Определение 56:

Будем называть функцию полезности U(?), представляющую предпочтения на лотереях, линейной, если для произвольных лотерей p, q ? S и числа а ? [0, 1] верно соотношение

U(p о а о q) = аU(p) + (1 - а^(q).

Докажем, что линейность функции полезности эквивалентна тому, что это функция Неймана - Моргенштерна.

Теорема 86:

Если U(?) является линейной функцией полезности, представляющей предпочтения на множестве лотерей S, тогда и только тогда, когда она имеет вид Неймана- Моргенштерна. J

Доказательство: Обозначим через S(x) лотерею, в которой x является единственным исходом, т. е.

Supp(5(x)) = {x}.

Определим функцию u(-) на множестве элементарных исходов X по формуле

u(x) = U (S(x)).

Тогда U(p) =Yxesupp(p) p(x)u(x). Докажем это утверждение по индукции.

Пусть утверждение доказано для лотерей с k исходами, и пусть p - лотерея с k + 1 исходом. Пусть x' - один из этих исходов, т. е. x' G Supp(p). Тогда

p = 5(x') о p(x') о q,

где q - лотерея с Supp(q) = Supp(p)\x' и q(x) = p(x)/(1 - p(x')) Vx G Supp(q). В силу линейности функции U(?)

U(S(x') о p(x') о q) = p(x')u(x') + (1 - p(x')U(q).

В силу предположения индукции

U (q) = Е q(x)u(x) = Е P(X)/(1 - p(x'))u(x).

xeSupp(q) xeSupp(q)

В итоге получим требуемый результат

U(p) = (p(x')u(x') + (1 - p(x')) f Е p(x)/(1 - p(x'))u(x)l =

^xGSupp(q) J

= Е p(x)u(x).

xeSupp(p)

Доказательство обратного достаточно очевидно. ?

Следующая теорема является обратной к той, которую мы хотим доказать.

Если предпочтения на множестве лотерей представимы линейной функцией полезности U(?), то эти предпочтения удовлетворяют свойствам (A1)-(A3). J

Доказательство: (A1) Свойство (A1) очевидно.

(A2) (независимость от посторонних альтернатив) Пусть p У q. Тогда U(p) > U(q).

Пусть r - произвольная лотерея, a - число, 0 < a ^ 1. Тогда

U(p о a о r) = aU(p) + (1 - a)U(r) > > aU(q) + (1 - a)U(r) = U(q о a о r).

Поэтому p о а о r У q о а о r.

(A3) (аксиома исчерпания Архимеда) Пусть p У q У r, то есть

U(p) > U(q) > U(r).

Тогда если

а > U(q) - U(r) > U(p) - U(r),

то а^(p) - U(r)) > U(q) - U(r), откуда по свойству линейности p о а о r У q. Аналогично, если

, < U(q) - U(r) в < U(p) - U(r),

то q У p о в о r. ?

Если предпочтения участника на лотереях удовлетворяют аксиомам (A1)-(A3), то можно подобрать линейную функцию полезности, которая представляет предпочтения этого участника, притом такая линейная функция полезности единственна. Ниже мы докажем это , используя следующее вспомогательное предположение (теорема верна и без этого предположения ): (A4) Множество S содержит наихудший w и наилучший b элементы:

w ^ p ^ b Vp ? S.

Для доказательства этого докажем ряд утверждений. Всюду предполагается, что выполнены свойства (A1)-(A4).

В случае, когда b ~ w, все лотереи из множества S эквивалентны и построение функции полезности с нужными свойствами не вызывает труда:

U (p) = C,

где C - произвольное число. (Понятно, что константа - линейная функция.) Поэтому в дальнейшем будем считать, что w У b.

Теорема 88:

Для любой пары лотерей p, q таких что p У q, и пары чисел а, в ? [0,1] условие

p о в о q У p о а о q выполняется тогда и только тогда, когда

в > а. J

Доказательство: Докажем сначала, что из в > а следует p о в о q У p о а о q. В случае а = 0 рассмотрим лотерею r = p о ^ о q. Для нее выполнено

аа r о в о q = (p о - о q) о в о q = p о - в о q = p о а о q.

вв

Так как p У q, то по аксиоме (A2) при ^ G (0,1] выполнено

aa

p = Pо ^ оP у Pо ^ оq = r.

в в

Условие p У r при в G (0,1] позволяет еще раз применить (A2):

p о в о q У r о в о q,

откуда получаем p о в о q У p о a о q.

В предыдущем доказательстве нам требовалось, чтобы д = 0 .В случае a = 0 соотношение p о в о q У p о a о q выполнено, так как

p о a о q = p о 0 о q = q = q о в о q

и, кроме того, по (A2) имеем q о в о q - p о в о q.

Докажем обратное.

Будем обозначать через f (a) выпуклую комбинацией лучшей и худшей лотерей с коэффициентом a G [0,1], т. е.

f (a) = b о a о w.

Обозначим множество таких лотерей через f ([0,1]). Напомним, что мы рассматриваем только случай b У w. Из определения функции f(?) следует, что она задает взаимооднозначное соответствие между отрезком [0,1] и множеством f([0,1]), поскольку при a = в выполнено f (a) = f(в). Следующее утверждение показывает, что на основании функции f (?) можно построить функцию полезности.

Теорема 89:

Для любой лотереи p из S найдется единственное число U(p) G [0,1] такое, что справедливо f(U(p)) ~ p. Функция U(?) является функцией полезности, представляющей данные предпочтения.

Доказательство: Для любой лотереи p G S нам нужно установить, что существует эквивалентная ей лотерея из f ([0,1]).

Когда p ~ b либо p ~ w доказательство существования числа U(p) тривиально: оно равно 1 и 0 соответственно.

Рассмотрим случай w - p - b.

Обозначим множество чисел, соответствующих лотереям из f ([0, 1]), которые лучше p, через A+:

A+ = { a G [0,1] | p - f (a) } .

Аналогично множество чисел, соответствующих лотереям из f ([0, 1]), которые хуже чем p, обозначим A-:

A- = { a G [0,1] | f(a) - p } .

Эти два множества непусты, так как 1 G A+ и 0 G A-.

Так как множества A+, A-, непусты и ограничены, то существуют числа

a+ = inf A+, a = sup A .

Для этих чисел справедливо соотношение а- ^ а+; в противном случае нашелся бы общий элемент а ? A- , а ? A+, что противоречит нерефлексивности У.

Покажем, что f (а+) ^ p ^ f (а-), т. е. а+ ? A+ и а- ? A-. Предположим противное. Пусть, например, w - p - f (а+). В таком случае в силу (A3) существует 7 > 0, такое что для лотереи w о 7 о f (а+) справедливо соотношение

w о Y о f (а+) У p.

Поскольку

w о Yо f(а+) = w о Yо (b о а+ о w) = b о а+(1 - 7) о w = f(а+(1 - 7)),

то это означает, что f(а+(1-7)) У p.

f(а+) ^ p ^ f(а-).

Если сопоставить это с вытекающим из Теоремы 88 и а- ^ а+ соотношением

f(а-) ^ f(а+),

то

f(а-) ~ p ~ f(а+).

Таким образом, мы можем выбрать U(p) = а+. Существование числа U(p) доказано. Единственность числа U(p) следует из Теоремы 88.

Теперь покажем, что U(p) есть функция полезности. Из Теоремы 88 следует, что из двух лотерей из f([0,1]) хуже та, коэффициент которой меньше и обратно:

f (а) - f(в) ^ а < в.

Для двух произвольных лотерей p, q ? S соотношение p - q эквивалентно тому, что f (U(p)) - f (U(q)). Поэтому

p - q ^ U(p) < U(q). ?

Докажем теперь, что построенная таким образом функция является единственной линейной функцией, представляющей рассматриваемые предпочтения.

Теорема 90:

Функция полезности U(?), такая что f(U(p)) ~ p, является линейной. Эта функция - единственная (с точностью до линейного преобразования) линейная функция полезности, представляющая данные предпочтения. J

Доказательство: (Линейность)

Мы хотим доказать, что если p, q ? S, а ? [0,1], то выполнено

U(p о а о q) = аU(p) + (1 - a)U(q).

При а = 0 и а = 1 доказываемое очевидно. Рассмотрим случай 0 < а < 1 .

Пусть утверждение теоремы неверно, например, для некоторых p, q ? S

U(p о а о q) < aU(p) + (1 - a)U(q).

Тогда можно подобрать числа 0 ^ в < U(p) и 0 ^ Y < U(q), такие что

U(p о a о q) = aв + (1 - a)Y,

откуда

p о a о q ~ f (aв + (1 - a)Y).

По свойствам операции комбинирования лотерей

f^в + (1 - a)Y) = b о ^в + (1 - a)Y) о w =

= (b о в о w) о a о (b о Y о w) = f (в) о a о f (Y). Поскольку в < U(p), то f (в) - f (U(p)) ~ p, и по аксиоме (A2) получим

f (в) о a о f (Y) - p о a о f (Y).

Аналогичным образом, поскольку Y < U(q), то верно соотношение f (Y) - f (U(q)) ~ q, и по аксиоме (A2)

p о a о f (Y) - p о a о q.

Получаем, в противоречие с нерефлексивностью отношения предпочтения - , цепочку соотношений

p о a о q ~ f (в) о a о f (Y) - p о a о f (Y) - p о a о q.

Аналогичным образом можно прийти к противоречию, предположив, что U(pоaоq) > aU(p) + (1 - a)U (q). Значит,

U(p о a о q) = aU(p) + (1 - a)U(q).

(Единственность)

Предположим, что V(?) - другая линейная функция полезности. Обозначим

V(p) = V(P) - V(w).

v V(b) - V(w)

Данное преобразование является линейным. Покажем, что V*(p) = U(p). Поскольку V(?) линейна, то V*(p) также линейна. Кроме того, функции V*(?) и U(?) совпадают для худшей и лучшей лотерей:

V*(w) = U(w) = 0 и V*(b) = U(b) = 1.

Это означает, что функции V*(?) и U(?) в силу линейности совпадают на f([0,1]). Поскольку любая лотерея из S эквивалентна лотерее из f([0,1]), то V*(?) и U(?) совпадают на любой лотерее из S. I

Сопоставляя доказанные в этом параграфе теоремы, видим, что мы, фактически, доказали Теорему 84. Правда, при этом мы использовали дополнительное предположение (A4). (Способ доказательства Теоремы 84 обрисован в задаче 371.)

Теорема 91:

Если предпочтения на множестве простых лотерей S удовлетворяют предположениям (A1)-(A4), то существует представляющая их функция полезности U(?), имеющая вид Неймана- Моргенштерна. Такое представление единственно с точностью до линейного преобразования. J

7.3. Предпочтения потребителя в условиях неопределенности 7.2.1 Задачи

^ 367. Пусть отношение предпочтения на множестве лотерей, У, транзитивно и выполнено свойство (A2). Покажите, что если p У q, r У s,то p о а о r У q о а о s (а ? [0,1]). ^ 368. Пусть отношение предпочтения на множестве лотерей, У, нерефлексивно и выполнено свойство (A2). Покажите, что если p ~ q,то p о а о q ~ q (а ? [0,1]).

^ 369. Пусть выполнены свойства (A1)-(A3). Покажите, что если p r q, то найдется единственное а ? [0,1], такое что p о а о q ~ r.

^ 370. Пусть выполнены свойства (A1)-(A3). Покажите, что если p ~ q, и r - произвольная лотерея, то p о а о r ~ q о а о r (а ? [0,1]).

^ 371. Докажите Теорему 84, т. е. "подправьте" доказательства этого параграфа таким образом, чтобы не требовалось использовать предположение (A4).

Указание: Пусть p и q - две лотереи, такие что p У q. Тогда, как было показано выше, существует функция полезности Неймана- Моргенштерна, определенная на "отрезке" { r|p r q }. Пусть теперь s - любая лотерея. Тогда, по отрицательной транзитивности У , выполняется одно из трех соотношений:

p ^ s ^ q, s ^ p ^ q, p ^ q ^ s.

Предположим, что функция полезности Неймана- Моргенштерна, представляющая отношение предпочтения, определена на отрезке { r|p r q } и пусть s удовлетворяет соотношению: s p q (p q ^ s). Тогда существует (и единственно) число а (в) такое, что

p = s о а о q (q = p о в о s)

Определим U(?) в последних двух случаях на основе соотношений:

U(p) = aU(s) + (1 - a)U(q) (U(q) = вU(p) + (1 - вЖ(s)).

Демонстрация линейности определенной таким образом функции в значительной степени воспроизводит этапы доказательства теоремы в частном случае, когда U(?) определена лишь на "отрезке" { r|p r q }.