Алгоритм применения кусочно-линейной аппроксимации функции полезности

По нашему мнению, для применения на практике подходов, учитывающих отношение инвестора к риску, необходимо построить аппроксимирующую кусочно-линейную функцию, отражающую отношение инвестора к потенциалу и риску.

При подборе аппроксимирующей функции полезности мы будем придерживаться следующих предпосылок:

1. Полезность инвестора является функцией дохода/доходности от инвестирования. Как было отмечено ранее, изначально полезность инвестора рассматривалась как функция богатства, однако данный подход имеет существенные недостатки. Начиная с работ П. Фишберна [72, 73], Д. Холтхаузена [78] и др., в рассмотрение были введены функции полезности дохода/доходности и активного дохода портфеля. Данная предпосылка упрощает применение модели на практике и в то же время является в достаточной степени правдоподобной. Так, интуитивно ясно, что функция полезности является растущей функцией дохода/доходности (U'(r) > 0), при нулевом доходе инвестор не получает полезности (У(0) = 0), при наличии потерь значение функции полезности становится отрицательным.

2. Аргумент функции полезности - реальная доходность инвестирования. Корректировка на инфляцию необходима, поскольку в случае, если фактическая доходность портфеля ниже темпов инфляции, инвестор несет потери. Инфляция вводится как ожидаемое значение в

рассматриваемом горизонте инвестирования. Корректировка на инфляцию в производится по формуле И. Фишера. В качестве ожидаемого темпа инфляции в данной работе взято значение базового прогноза МЭР.

3. Инвестор в состоянии определить критические (пороговые) значения доходности и потерь, при которых его отношение к риску меняется.

4. Существуют некие пороговые значения τi, τk, между которыми заключена желаемая доходность инвестора

5.

6. Если функция полезности инвестора и распределение доходности портфеля известны, то можно применить аппроксимирующую функцию и определить величину воспринимаемого потенциала и воспринимаемого риска. Корректировка осуществляется в соответствии с предельной полезностью доходности.

Для удобства вместо понятий «потенциал» и «риск» мы будем использовать понятия «воспринимаемый потенциал» и «воспринимаемый риск», подчеркивая, что данные оценки не являются объективными характеристиками портфеля, а зависят от субъективного восприятия

инвестора. Воспринимаемый потенциал (Perceived Potential Ratio) - это показатель ожидаемой положительной полезности типа UPM(1), при условии, что доходность портфеля является положительной. Аналогично, воспринимаемый риск (Perceived Downside Risk) - это показатель ожидаемой отрицательной полезности типа LPM(1), при условии отрицательной доходности (взятый по модулю).

Таким образом, функция полезности инвестора может выглядеть, как на

Рисунок 8.

На рис. 8 изображен возможный вид функции полезности инвестора. Пороговое значение ті характеризует абсолютную нетолерантность к потерям, превышающим данное значение. На интервале [ті; τ2] полезность убывает быстрыми темпами при нарастании потерь, т.е. инвестор относится к потерям болезненно. На интервале [т2; тз] отношение инвестора к убыткам терпимое.

Следует обратить внимание, что в точке нулевой доходности наблюдается перелом, в соответствии с гипотезой Канемана-Тверски [101]: на интервале небольших убытков [тз;т4] угол наклона больше, чем на интервале небольшой доходности [Т4;Т5].

На интервалах [т4;т5], [т5;тб], [тб;т7] склонность инвестора к риску постепенно растет. На интервале [т7;т8] начинается процесс насыщения. Точка Т8 предполагает полное насыщение инвестора, при пересечении доходностью данной границы инвестор становится безразличным к получаемой доходности.

Функция предельной полезности на интервале желаемой доходности принимает значение 1, иными словами, не существует перекосов в ее восприятии. Если предельная полезность меньше, чем на интервале желаемой доходности, значение аппроксимирующей функции меньше единицы, что характеризует следующие случаи:

1. Доходность воспринимается инвестором как «слишком низкая»;

2. Доходность воспринимается инвестором как «слишком высокая» (доходность, при которой не имеет смысла идти на риск вследствие насыщения инвестора);

3. Потери воспринимаются как пренебрежимо малые.

Если предельная полезность больше, чем на интервале желаемой доходности, значение корректирующей функции больше единицы, что характеризует следующие случаи:

4. Доходность воспринимается инвестором как высокая, но допустимая ради того, чтобы идти на риск;

5. Потери воспринимаются как неумеренно высокие.

Таким образом, мы можем добиться желаемого эффекта: скорректировать расчет потенциала и риска, уменьшая влияние слишком высоких и слишком низких значений доходности и небольших значений убытков, и усиливая влияние нормальной доходности и больших убытков.

• Для потерь:

о изменить воспринимаемый риск в сторону увеличения, если существует вероятность больших потерь, при которых инвестор испытывает сильное отвращение к риску;

о изменить воспринимаемый риск в сторону уменьшения, если есть вероятность небольших убытков, на которых инвестор невосприимчив к риску;

• Для доходности:

о изменить воспринимаемый потенциал в сторону уменьшения, если есть вероятность получения больших доходов, на которых инвестор не склонен к риску;

о изменить воспринимаемый потенциал в сторону уменьшения, если есть вероятность получения низких доходов, ради которых инвестор не готов принимать риск;

о изменить воспринимаемый потенциал в сторону увеличения, если существует вероятность появления доходов выше нормальных, ради которых инвестор готов идти на риск.

Для этих целей введем следующие понятия:

• Область умеренной восприимчивости - интервал значений реальной доходности (потерь), для которых восприятие инвестора не испытывает перекосов, т.е. MU(r) = 1.

• Область слабой восприимчивости - интервал значений реальной доходности (потерь), которые воспринимаются инвестором ослабленно, т.е.MU(г)< 1.

• Область сильной восприимчивости - интервал значений реальной доходности (потерь), которые воспринимаются инвестором гипертрофированно, т.е. MU(r)> 1.

• Область невосприимчивости - интервал значений реальной доходности (потерь), которые не воспринимаются инвестором как таковые, т.е. MU(r) = 0.

Конечным результатом применения предложенной методики будет показатель типа «потенциал/риск» (модифицированный индекс Шарпа, Utility-based Sharpe ratio), согласно которому можно будет ранжировать различные инвестиционные возможности, принимая во внимание предпочтения инвестора относительно потенциала и риска. Для расчета подобного показателя необходимо наложить функцию полезности на распределение доходности портфеля.

Для моделирования доходности портфеля предлагается использовать исторические данные. По нашему мнению, исторический подход является оптимальным, поскольку не предполагает необходимости сложных вычислений, а также не базируется на потенциально нереалистичных предпосылках о распределении доходности [21, 24]. Исторически доходность может моделироваться двумя способами:

• по методу «скользящего периода»;

• по методу фильтрованной исторической симуляции.

Оба метода позволяют получить достаточное количество данных для моделирования функции распределения доходности и учесть циклические факторы, наблюдаемые в доходности инвестора. Фильтрованная историческая симуляция сложнее в использовании, поскольку основана на применении модели GARCH и метода бутстрэп для остатков в модели GARCH [22]. Она обладает рядом преимуществ перед моделью «скользящего периода», но для решения поставленной задачи, по нашему мнению, точность модели «скользящего периода» является достаточной. После подбора функции распределения любым методом и определения функции полезности инвестора необходимо провести наложение и определить значения воспринимаемого

потенциала, воспринимаемого риска и математического ожидания полезности:

Показатель «воспринимаемый потенциал/воспринимаемый риск» учитывает, таким образом, неявно выраженные предпочтения инвестора относительно асимметрии и эксцесса распределения. Методика также позволяет моделировать предпочтения инвестора в случаях, если восприятие доходности различается на разных интервалах.

Алгоритм применения модели кусочно-линейной аппроксимации функции полезности, таким образом, включает в себя следующие шаги:

1. Определение интервала желаемой доходности.

2. Идентификация узловых точек - точек, в которых восприятие инвестора претерпевает изменения. Две узловые точки будут соответствовать концам интервала желаемой доходности, все остальные лежат вне этого интервала.

3. Определение силы восприятия инвестором доходности/потерь на заданных интервалах.

4. Определение воспринимаемого потенциала и воспринимаемого риска для предложенных инвестиционных альтернатив.

5. Расчет и максимизация показателя «воспринимаемый потенциал/воспринимаемый риск».

Наиболее сложными являются второй и третий этапы предложенного алгоритма. Предполагается, что точки перелома восприятия и угол наклона функции полезности должны быть определены путем опроса (анкетирования) инвестора. Вопросы, которые будут задаваться инвестору, связаны с количественным определением точек перелома, а также с попыткой

определить степень удовлетворенности от прироста доходности по сравнению с целевыми значениями (предельной полезности). Вероятнее всего, целесообразно оценивать предельную полезность относительно полезности нормальной целевой доходности. Такой подход позволит смоделировать предпочтения инвестора более детально, чем это принято на настоящий момент. Кроме того, вопросы, которые предусматриваются данным подходом, предполагают достаточно конкретные ответы.

2.2.