3.B.1 Оценки для верхнего лебеговского множества

Как следует из предыдущего обсуждения выявленных предпочтений, для произвольного допустимого потребительского набора x ? X, имея совокупность данных (pl, xl), i = 1,..., n, мы в некоторых случаях можем сказать, что он выявленно не лучше или выявленно хуже набора x* из наших данных (x* И> x и x* И> x соответственно).

На Рис. 3.12 показано, как можно по данным (p', x'), (p'', x''), (p''', x''') получить указанную оценку L +(x'). Здесь x' выявленно лучше, чем x'' и x''', поэтому требуется отсечь все точки, которые лежат хотя бы в одном из трех бюджетных треугольников p'x < p'x', p''x ^ p''x'' или p'''x ^ p'''x'''.

Рис. 3.12. Оценка сверху для верхнего лебеговского множества

Если не привлекать дополнительную информацию о виде предпочтений, то оценка снизу для верхнего лебеговского множества будет состоять из тех наблюдаемых наборов, которые выявленно не хуже данного набора. Так на Рис. 3.12 мы знаем только, что x' ? L+(x'). О множестве L+(x''') мы можем сказать только, что ему принадлежат x', x'' и x'''.

Если предположить, что предпочтения выпуклы, то оценка снизу будет включать не только сами выявленно лучшие точки, но и их выпуклую оболочку. Например, на Рис. 3.12 L+(x''') будет включать треугольник с вершинами в x', x'' и x'''.

Если предположить, что предпочтения монотонны, то вместе с каждой точкой xj , которая выявленно не хуже (xj И> x*), оценка снизу для L+(xl) должна включать и точки, которые лучше, чем xj, по монотонности, т. е. наборы из множества xj + R+.

В предположении выпуклости и монотонности предпочтений оценка снизу для L+(xl) должна включать вместе с каждой точкой xj , которая выявленно не хуже x*, также и множество xj + R+, и, кроме того, она должна включать все выпуклые комбинации таких множеств (см. Рис. 3.13).