1.2. Задача производителя и ее свойства

Гипотеза, лежащая в основе модели поведения производителя заключается в том, что производитель выбирает технологически допустимый вектор чистых выпусков, максимизирующий прибыль.

Задача 3.

pz ^ тахгег . Существенное отличие задачи производителя (Задача 3) от задачи потребителя (Задачи 1) в том, что множество ее допустимых решений Z, как правило, не ограничено. Более того, для технологий с возрастающей отдачей, существование техноло-

гически допустимых пар с положительной прибылью приводит к существованию допустимых решений, дающих сколь угодно большую прибыль. аналог

бюджетного

множества

Z 1 zi * zi Рисунок 4. Иллюстрация решения задачи производителя

Пример (отсутствия решения):

Пусть технологическое множество имеет вид Z = {(zi, z2) | zi<0, z2 + azi< 0}, цены благ равны pi, р2. Если выбрать z2 = -a zi, то прибыль будет равна - (ар2 - _pi) z1. Поэтому если ар2 > _pi, то прибыль неограничена сверху, и решение отсутствует.

Если ар2 < pi, то решение единственно — zi=0 и z2=0. Если ар2 = pi, то решением этой задачи является любая технологически допустимая пара (zi, z2), такая что z2 + a zi= 0.

Таким образом, существование решений можно гарантировать лишь при дополнительных предположениях относительно структуры множества Z. Ниже мы докажем существование решения при следующем (сильном) предположении: существует компактное множество Z', такое что

Z с Z и Z с Z - К+. (*)

Рисунок 5. Иллюстрация предположения, гарантирующего существование решения задачи максимизации прибыли

Заметим (что легко увидеть из предлагаемых иллюстраций рис.

Пусть выполнено соотношение (*). Тогда решение Задачи 3 существует при любом положительном векторе цен благ.

Доказательство':

Докажем, что задача максимизации прибыли на Z сводится к задаче максимизации прибыли на Z'. Пусть zeZ и ztZ'. Тогда по условию (*) найдется вектор z'eZ' такой, что z'~ z ^ Ф 0. Тем самым мы нашли допустимое решение, для которого прибыль больше, чем для z. Из этого следует, что нам достаточно рассматривать только zeZ'.

Поскольку Z' — компактное множество, а прибыль pz непрерывна по z, то по

теореме Вейерштрасса решение Задачи 3 на множестве Z' всегда существует.

¦

^ Определение 2. /

\ Пусть решение Задачи 3 существует и единственно для всех значений парамет- ^ ^ ров — положительных цен р. Тогда определена следующая функция, которая ста- / ^ вит в соответствие каждому вектору цен решение задачи при этих параметрах — / \ вектор zip). Будем называть ее функцией предложения. Если решение зада- / \ чи при некоторых значениях параметров неединственно, то говорят об ОТОбрЭ- ^

J жении предложения. ;

\ Определение 3. ;

^ ФунКЦИЯ прибыли есть максимум целевой функции в Задаче 3: /

J Ч Ч Ч Ч Ч Ч Я(р) =pz(p): ч ч ч ч ч ч ч ч ч ч ч ч ч ч ч ч ч ч ч ч ч ч ч ч ч ч ч ч ч ч ч ч ч ч ч ч ч ч ч ч ч ч ч ч ч ч ч ч ч ч ч ч ч ч ч ч;

Функция прибыли п(р) = pz(p) аналогична непрямой функции полезности потребителя, а функция предложения z(p) — функции спроса. Докажем некоторые свойства этих функций.

Утверждение 7. (Свойства функции п(р))

Функция п(р) однородна 1-й степени:

п(Ар) = Ал(р).

Функция п(р) выпукла.

Функция п(р) непрерывна на множестве положительных цен. Доказательство:

Доказательство однородности оставляем в качестве упражнения.

Докажем выпуклость п(.).

Пусть от некоторых двух цен p, p взята выпуклая комбинация — цена

Ра = ар + (1-а)р (0<а<1). Выпуклость функции п(.) означает, что п(ра) < ап(р) + (1-а) п(р').

Складывая эти неравенства с множителями а и (1-а) соответственно, получим требуемое неравенство.

Выпуклость функции п(.) можно также доказать, используя тот факт, что поточечный максимум семейства выпуклых функций — выпуклая функция, заметив, что п(.) является поточечным максимумом выпуклых (линейных) функций (p,z), zeZ.

3) Непрерывность функции п(.) на множестве положительных цен следует, например, из того факта, что выпуклая функция непрерывна во внутренности ее области определения (для положительных цен в данном случае). ¦

Аналогом тождества Роя является следующая лемма Хотелинга. Утверждение 8.

Пусть функция прибыли п(.) непрерывно дифференцируема в точке ^>0. Тогда дп(р)

др = Zk(p).

Доказательство:

*

Пусть р >0 — некоторый вектор цен. Для доказательства леммы определим две

функции от от цены к-го блага р. Первая из них представляет собой прибыль как

*

функцию рк при условии, что остальные цены зафиксированы на уровне р -к , т.е.

пк(р) = п(р*-к,Рк) = ПР*1, ...,Р*к-иРк,Р*к+1, ...,Р*г).

* *

Обозначив z = z(p ), определим вторую функцию как

g(Рк) = Рк z* к + Е Р* z*j.

}Фк

Она является линейной функцией Рк.

По определению п(р ) = р z , а это означает, что пк(р к) = [(р к). При других це-

* * к нах, вообще говоря, z = z(p ) может не давать максимум прибыли, т. е п (рк) ^ [(рк).

Таким образом, прямая g(Рк) является касательной графика функции пк(Рк) в точке

*

Р к (точка А на Рис. 6). В точке касания А п (Р *-к ,Рк) j А V*^ Рк2 к (р*)+ Е Р к Рк Рисунок 6. Иллюстрация доказательства Леммы Хотеллинга

дп к(р\) = д[(Р*к) дрк дРк ,

что и означает справедливость Леммы.

Утверждение 9. (Свойства функции zip) )

Функция z(p) однородна нулевой степени.

Если множество Z строго выпукло, то z(p) — однозначная непрерывная функция.

Если функция прибыли п(.) дважды непрерывно дифференцируема, то матрица

Якоби М = {dzj/dpk} функции z(p) симметрична и положительно полуопределена.

Доказательство:

Доказательство оставляем в качестве упражнения.

Если технологическое множество может быть представлено посредством производственной функции, то задача производителя при положительной цене выпускаемой продукции сводится к следующей: ру f (х) - wx ^ max X х е X,

где ру —цена выпускаемой продукции, х — количество затрачиваемых факторов производства, w — вектор цен факторов.

Пусть х(ру, w) — функция спроса на факторы производства при векторе цен (ру, w), у(ру, w) — функция предложения продукции при векторе цен (ру, w). Заметим, что еслиру > 0, то у(ру, w) = f (х(ру, w)). В данном контексте функция прибыли записывается в следующем виде:

п(ру, w) = ру f (х(ру, w)) - wx(pу, w). Поясним связи переменных этой задачи с ранее рассмотренными. Как не трудно понять p = (ру, w) и z(p) = (- х(ру, w), у(ру, w)).

Как результаты доказанные в этом параграфе, так и те которые будут доказаны впоследствии могут быть доказаны и в случае когда первичный объект рассмотрения не технологическое множество, а производственная функция.

Тесты и задачи для самостоятельного решения

Для случая, когда Z представлено дифференцируемой производственной функцией, можно доказать лемму Хотеллинга используя теорему Куна-Таккера. Проведите это доказательство. (Подсказка: см. первое доказательство леммы Шепарда для теории потребления.)

Докажите Утверждение 9.

Покажите, что если производственная функция f (.) строго вогнута, и кроме того, f (0) = 0, то прибыль в точке оптимума неотрицательна.

4. Покажите, что если производственная функция в точке максимума прибыли обладает возрастающей отдачей от масштаба, то прибыль не может быть положительной. На основании этого выведите, что в случае возрастающей отдачи от масштаба задача производителя либо не имеет решения, либо 0 — решение задачи. матрица вторых производных

ЭхДх/ у

i,j = 1

5. Пусть у*ру, w) = f (х(ру, w)), а Н = производственной функции f (х). Выведите следующие соотношения сравнительной статики для задачи производителя. К

[Эх

Эу = _ 1 ГЭ/ ^ H-i

Эх

i _i

Э?_

чЭх/

Эру ру ^ Эх

а ' = _ _ Н

Эру ру КЭхУ

Н

1

' ру

_i

ГЭу Y

VЭWу

ir = 1Н_1.

Эw ру

На основании этого сделайте заключение о поведении выпуска производителя и его спроса на факторы для вогнутых производственных функций. Проиллюстрируйте эти соотношения для производственной функции типа Кобба-Дугласа.

Пусть множество производственных возможностей фирмы задается условием:

Zi < ln(1 _ z 2), где z2<1. Постройте функции спроса / предложения на zi, z2. Постройте функцию прибыли для данной технологии.

Для технологии, описываемой производственной функцией/(х) = х", вычислите:

функцию прибыли,

функцию спроса на производственный фактор,

функцию предложения, Покажите, что

функция прибыли однородна и выпукла (по ценам продукции (р) и фактора про

изводства (w)),

функция спроса удовлетворяет закону спроса,

функция предложения удовлетворяет закону предложения

8. Найдите функцию прибыли, функцию предложения и функцию спроса на факторы для перечисленных производственных функций:

а. f (х) = П X"', "¦ > 0 (функция Кобба-Дугласа). б.

/(х) = I тхР

1=1

п—1 в.

/(х) = I V,{Xj) + х„. Какими свойствами обладают найденные функции? Покажите, что для данных функций выполнена лемма Хотеллинга.

Докажите, что валовой доход фирмы упадет, если цены на все факторы производства увеличатся пропорционально.

Покажите, что валовой доход фирмы упадет, если упадет цена по крайней мере одного из выпускаемых ею продуктов.

Покажите, что прибыль фирмы упадет, если вырастет цена по крайней мере на один из используемых ею факторов производства..

Покажите, что прибыль фирмы упадет, если упадет цена по крайней мере на один из выпускаемых ею продуктов.

Предположим, что производственная функция для некоторой технологии вогнута и сепарабельна, причем предельный продукт любого фактора производства как угодно мал при достаточно больших объемах затрат этого фактора производства. Покажите, что

валовой доход фирмы упадет, если возрастет цена по крайней мере на один из

используемых ею факторов производства;

функция спроса (предложения) данной фирмы удовлетворяет условиям валовой

заменимости;

спрос данной фирмы на любой фактор производства неограниченно возрастает

при падении цены этого фактора производства;

предложение данной фирмы неограниченно возрастает при росте выпускаемой

этой фирмой продукции.

Покажите, что в случае однородной производственной функции показатель отдачи от масштаба не зависит от цен факторов.

Покажите, что в случае однородной производственной функции отношение функций спроса на любые два фактора производства не зависит от цены продукции.

Покажите, что функция прибыли сепарабельна тогда и только тогда, когда се- парабельна функция спроса.