17.7 Свойства решений параметрической задачи оптимизации

Теоремы о непрерывности решений параметрической задачи оптимизации являющихся следствиями следующего утверждения, известного как теорема Бержа:

Теорема 187:

Предположим, что отображение X(o): Л ^ 2R , и функция f (o): { (х, Л) | Л е Л, х е X(А) } ^ R непрерывны в окрестности точки Л.

Поскольку постоянное отображение X(Л) = X является непрерывным, то следующее утверждение является непосредственным следствием теоремы Бержа.

Теорема 188:

Пусть отображение х(-) ставит в соответствие параметру Л е Л (Л С Rm) множество точек, являющихся решениями следующей экстремальной задачи:

f (х, Л) ^ max .

xGX

Предположим, что функция f (o): { (х, Л) | Л е Л, х е X(Л) } ^ R непрерывна в окрестности точки Л. Тогда х(o) является полунепрерывным сверху в точке Л. J

Заметим, что поскольку постоянное отображение непрерывно, непрерывность (полунепрепрерыв- ность сверху) функции (отображения) предложения гарантируется при существовании решения задачи потребителя (поскольку функция прибыли непрерывна как функция цен).

Следующие теоремы являются следствиями теоремы Бержа (Теорема 187), поскольку, во-первых, полунепрерывное сверху однозначное отображение (функция) непрерывно, во-вторых, отображение, которое ставит в соответствии вектору цен бюджетное множество, непрерывно

Теорема 189:

Пусть х(р) - множество решений задачи

и(х) ^ max

x

рх < в(Р), х е X,

где р е R+, X С Rn, X - замкнутое, выпуклое и ограниченное множество и 0 е X. Функция м(-) непрерывна и строго квазивогнута на X.

Если функция в(р) непрерывна и положительна при р = р, то функция х(р) непрерывна в точке р. J

Теорема 190:

Пусть х(р) - множество решений задачи

и(х) ^ max

x

рх < в(р), х е X,

где р е R++, X С Rn, X - замкнутое, выпуклое множество и 0 е X. Функция м(-) непрерывна и строго квазивогнута на X.

Если функция в(р) непрерывна и положительна при р = р, то функция х(р) непрерывна в точке р. J

Теорема 191:

Пусть х(р) - множество решений задачи

и(х) ^ max

x

рх < в(р), х е X,

где р е R+, X С Rn, X - замкнутое, выпуклое и ограниченное множество и 0 е X. Функция м(-) непрерывна и квазивогнута на X.

Если функция в(р) непрерывна и положительна при р = р , то выпуклозначное отображение х(р) полунепрерывно сверху в точке р. J

Теорема 192:

Пусть x(p) - множество решений задачи

u(x) ^ max

x

px < в(Р), x € X,

где p € К++, X С К", X - замкнутое, выпуклое и множество и 0 € X.

Если функция в(Р) непрерывна и положительна при p = p, то выпуклозначное отображение x(p) полунепрерывно сверху в точке p. J

Теорема 193:

Предположим, что выполнены условия теоремы Бержа и x(A) непусто. Тогда x(-) непусто в некоторой окрестности точки A, а функция (o) является непрерывной в этой точке. J

Условия существования и дифференцируемости функции отклика могут быть получены на основе следующей теоремы.

Теорема 194:

Рассмотрим задачу (P) с постоянным отображением e(x) = в. Предположим, что существует пара (x, y), такая что y € r(x) и y € int в. Предположим, кроме того, что функция f (x, y) дважды непрерывно дифференцируема и строго вогнута по y в некоторой окрестности точки (x, y), и |vyyf (x, y)| = 0. Тогда решение задачи (P) существует и единственно при любых x из некоторой окрестности точки x, причем функция r(x) непрерывно дифференцируема в этой окрестности. J

Доказательство: Поскольку y является внутренним решением задачи (P) при x = x. Это означает, что пара (x, y) удовлетворяет условиям первого порядка:

Vy f (x, y) = 0.

Условия теоремы гарантируют выполнение всех предположений теоремы о неявной функции относительно соотношения

Vyf (x, y) = 0

и поэтому существует удовлетворяющая этому соотношению функция y = f(x), определенная в некоторой окрестности точки x и непрерывно дифференцируемая в этой окрестности. Из непрерывности f(x) следует, что существует окрестность точки x, в которой f(x) € в.

Поскольку f(x) удовлетворяет условиям первого порядка и функция f (x,y) строго вогнута по y, то f(x) является единственным решением задачи (P) при данном x. ?

По теореме о неявной функции См. напр., В. А. Зорич, Математический анализ I, М., МЦНМО, 2001, с. 568-69.??