3.C.1 Восстановление квазилинейных предпочтений

Функция полезности вида u(x1,...,xi) = s(x1 ,...,Жц)+ x называется квазилинейной.

Очевидно, что две разные квазилинейные функций полезности, соответствующие одним и тем же предпочтениям, должны совпадать с точностью до константы.

Выведем сначала характеристики функции спроса. Предположим, что s(-) - строго вогнутая дифференцируемая функция, и выбор потребителя при некоторых ценах и доходе содержит все продукты в положительном количестве, т. е. x(p, R) > 0. Тогда по теореме Куна - Таккера при некотором положительном A, верны соотношения JXL = Ap* (i = l) и pA = 1. Будем предполагать без потери общности, что p = 1. Тогда A = 1, и JXl(x1,..., жг_1) = p*, i = l. Из этих уравнений следует, что спрос на все блага, кроме последнего, не зависит от дохода:

X* = Х*(Р1,... ,p_1) = x*(p_*), i = l.

Кроме того, можно заметить, что эти уравнения, фактически, задают обратные функции спроса вида p*(x-) для всех благ, кроме l-го /если функция спроса обратима??/.

Эти рассуждения приводят к следующим дифференциальным уравнениям:

ds

т-= Р*(Ж1,... ,x_1), i = 1,...,l - 1.

dx*

Решая их, восстановим функцию s(-).

3.C. Интегрируемость функций спроса: восстановление предпочтений 118

Пример 25:

Пусть l = 3 и спрос на первые два блага задается следующими функциями:

Х1(Р1 ,Р2) = г1-, Х2(Р1,Р2) = 1

Р1Р2 YW2
Соответствующие обратные функции спроса имеют вид

p1(x1,x2) = x-3/4x2/4, p2(x1,x2) = x1/4x-3/4. Решив дифференциальные уравнения (их можно решать по аналогии с Примером ?? ниже.)

ds -3/4 1/4 ds 1/4 -3/4
9X1 =X Х2 , dx2 =X Х2 ,

получим

s(x1, x2) = 4X1/4^1/4 + const.

Чтобы выполнялось s(0, 0) = 0, константа должна быть равна нулю. Окончательно получаем следующую квазилинейную функцию полезности:

u(x1, x2, x3) = 4X1/4X1/4 + x3. Д

Особенно простой задача восстановления предпочтений оказывается, если известно (дополнительно к квазилинейности), что функция полезности сепарабельна, т.

1-1
u(x1,... ,x) = X Si(xi) + x. i=1

Условия первого порядка для задачи потребителя в предположении, что потребитель при рассматриваемых ценах и доходах предъявляет спрос на все блага (x(p, R) > 0), а цена последнего блага равна единице, имеют вид

si(xi(p)) = Pi.

Эти уравнения, фактически, задают обратную функцию спроса вида Pi(xi). При этом спрос на каждое благо зависит только от его цены, т. е. Xi(p) = Xi(pi). Проинтегрировав уравнения si = Pi(xi), получим следующие выражения для функций Si(-):

Г Xi

Si(xi) = / Pi(t)dt + si(0). ?Jo

Интеграл в этом соотношении является так называемым потребительским излишком, поэтому

Si(xi) = CSi(xi) + Si(0)

и

1-1
u(x1,..., x) = X ) + x + const.

i=1
Таким образом, если предпочтения представимы квазилинейной функцией полезности, то по спросу (предварительно обратив его) можно восстановить непосредственно функцию полезности.

Другой подход к восстановлению квазилинейной функции полезности состоит в восстановлении соответствующей непрямой функции полезности. При таком подходе тождество Роя

- ^ / ^ Xi(p,R)

рассматривается как система дифференциальных уравнений.

Учитывая вид функции спроса, получаем, что непрямая функция полезности имеет вид

1-1
v(p-, 1, R) = s(xI(p_fc),..., x_I(p_i)) + R -J2PiXi(p-).

i=1
При этом = 1, и не зависит от R. Поэтому, интегрируя l - 1 уравнение тож

дества Роя по p1, ..., pi_1 соответственно, мы можем получить (с точностью до константы интегрирования) искомую функцию v(-, ?). Соответствующие интегралы будут равны изменению потребительского излишка как функции цен.

Если предпочтения квазилинейные и сепарабельные, то непрямая функция полезности имеет вид

1_1 1_1
v(p,R) - Y^ Si(xi(pi)) + R - YIPiXi(Pi).

i=1 i=1
Из тождества Роя получаем соотношение:

x ,(" л - dv(p,R) = dVi (p л Xi(Pi) = - dpi = - dpi(pi)

где Vi(pi) - Si(xi(pi)) - pixi(pi), и, следовательно,

гdv- Г

hi dpi Jpi

откуда

r

vi(pi) - lim vi(pi) - / xi(t)dt,

jpi

или

г

vi(pi) - + const.

pi

Интеграл в последнем соотношении есть по определению потребительский излишек как функция цены:

г

CSi(pi) - Xi(t)dt.

pi

Отсюда

1_1 1_1 v(p, R) - X Vi (pi) + R - X CSi(pi) + R + const.

i=1 i=1
Знание непрямой функции полезности и системы функций спроса позволяет нам сопоставить каждому потребительскому набору, который может быть выбран как наилучший при некоторых ценах p и доходе R, значение полезности по следующему правилу: u(x(p, R)) - v(p, R). Однако данное правило задает полезность не всех наборов, а только для наборов из области значений функции спроса. Эту проблему мы еще обсудим ниже в случае функции полезности общего вида.