6.5 Представление суммарного спроса посредством модели репрезентативного потребителя

Очень часто при изучении моделей частного равновесия бывает удобно использовать предположение о том, что суммарный спрос порождается решением задачи одного потребителя. В том случае, когда такой потребитель существует, его называют репрезентативным потребителем.

Покажем, что в экономике EQ репрезентативный потребитель всегда существует.

Пусть xi(p) - вектор спроса i-го потребителя на первые l благ при ценах p. Тогда суммарный спрос всех потребителей равен

X(p)= ? хг(р).

iei

В этих обозначениях репрезентативный потребитель будет порождать своими предпочтениями суммарный спрос X(p).

Покажем что репрезентативный потребитель в этих условиях существует, причем его предпочтения на множестве потребительских наборов (x, z), х ^ 0, могут быть представлены квазилинейной функцией полезности вида:

u(x, z) = v(x) + z.

Рассмотрим следующую задачу (задачу максимизации суммы полезностей от потребления 1-го блага при фиксированном количестве X этого блага):

У>(хг) ^ max

( * Гр Л Гр

iei

? xi < X, (Ф)

iei xi ^ 0.

Тогда в качестве v(x) мы можем взять значение этой задачи при x = x. Покажем, что X(p) является решением задачи репрезентативного потребителя с функцией полезности, u(x, z) = v(x) + z, при любом векторе цен p > 0.

Предположим противное. Как мы видели, задачу представительного потребителя в случае квазилинейных предпочтений можно записать в эквивалентной форме:

v(x) - px ^ max.

Пусть существует x ^ 0, такой что

v(x) - px > v(X(p)) - px(p).

При этом, так как X(p) = Еiei xi(p), и xi(p) допустимы в задаче (Ф) при x = X(p), то должно быть выполнено

v(x) - px > ?vi(x*(p)) - p? Xi(p).

iei iei

Заметим, что v(x) = Eiei Vi(xi), где (x 1,..., xm) - решение задачи (Ф) при x = x. Таким образом имеем

?vi(xi) - p?xi ^ ? vi(xi) - px > Evi(xi(p)) - ^Exi(p).

ieI ieI ieI ieI ieI

Но это означает, что по крайней мере для одного из потребителей выполнено

Vi(xi) - pxi > Vi(xi(p)) - pxi(p),

что противоречит оптимальности набора xi(p). Докажем, что

v(X(p)) = Е Vi(xi(p)), iei

другими словами, индикатор благосостояния в экономике с одним представительным потребителем упорядочивает интересующие нас состояния экономики так же, как и индикатор благосостояния первоначальной экономики.

Предположим противное. Случай v(X(p)) < ^ieiVi(xi(p)) невозможен, тaк как x^(p) допустимы в задаче (Ф) при x = X(p). Поэтому предположим, что существует p такое, что

v(X(p)) > Е Vi(xi(p)).

iei

Пусть (xi,..., xm) - решение задачи (Ф) при x = X(p). По определению v(X(p)) = ^^i Vi(xi). Значит,

Е Vi(xi) > Е Vi(xi(p)).

iei iei

С другой стороны,

Е xi < X(p) = Е xi(p).

iei iei

Умножим на p:

pExi ^ ^Exi(p).

iei iei

Складывая два неравенства, получаем