6.6 Задачи к главе

^ 353. Докажите вторую часть Теоремы ?????.

^ 354. ?? а) Постройте контрпример с вогнутыми функциями Vi(-) и выпуклыми функциями Cj(?), который бы показывал, что условие Zi > 0 Vi существенно в первой части Теоремы ?????.

?? б) Постройте контрпример, который бы показывал, что условие выпуклости функции издержек существенно в первой части Теоремы ?????.

^ 356. Покажите, что в случае квазилинейной экономики без ограничений на квазилинейное благо ( EQ ) Парето-граница в координатах полезностей Ui представляет собой гиперплоскость вида J2iei Ui = const.

^ 357. ??? Докажите Теоремы ??, ?? и 83. ^ 358. Докажите, что при Xk (pk) > 0 выполнено

Xfcpk) = _dCSi(p) _ dCSik(Pk)

dpk dpk

^ 359. Пусть (x, y) - допустимое состояние квазилинейной экономики, и p ^ 0 - некоторый вектор цен, причем xi является решением задачи потребителя при ценах p, и

p ? xi = p ? у^.

iei jeJ

Докажите, что

?ui(xi, zi) = W(x, y) + ? Wi ieI ieI

^ 360. В экономике два блага (l + 1 = 2) и два потребителя, имеющие функции полезности uI = Y/Xi +zI и U2 = 2у/X2+z2. Найдите функцию полезности репрезентативного потребителя. ^ 361. Решите предыдущую задачу с функциями полезности uI = -3/x3 + zI и U2 = - 3/x<] + z2 .

^ 362. Потребители (i = 1,..., m) имеют квазилинейные функции полезности вида (A) ui = 2ai^xi + zi, (B) ui = -a2 Xi + zi, (C) Ui = 2ai ln xi + zi.

Найдите функцию полезности репрезентативного потребителя в каждом из случаев. ^ 363. Пусть предпочтения потребителей представляются квазилинейными сепарабельными функциями полезности. Тогда без потери общности можно считать, что в экономике два блага (l + 1 = 2). Пусть xi(p) - спрос на первое благо i-го потребителя при ценах p, D(p) = Exi(p) - суммарный спрос потребителей на первое благо, и p(x) = D-1(x) - обратная функция спроса. Предположим, что функция p(x) является непрерывной и убывающей при x ^ 0. Докажите, что если

x

v(x) = p(q)dq, 0

то v(x) + z является функцией полезности репрезентативного потребителя. ^ 364. В ситуации предыдущей задачи функция спроса на благо имеет вид

D

= 4p2o

Найдите функцию полезности репрезентативного потребителя.

^ 365. Пусть в экономике имеется 2 блага и цена 2-го блага равна 1. Функция спроса потребителя на 1-е благо является линейной убывающей функцией цены этого блага и не зависит от дохода. Покажите, что предпочтения потребителя можно представить квазилинейной функцией полезности. Найдите эту функцию полезности.

^ 366. Пусть в экономике имеется l + 1 благо и цена (l + 1) -го блага равна 1. Функция спроса потребителя на каждое из первых l благ является убывающей функцией цены этого блага и не зависит от дохода и цен остальных благ. Покажите, что предпочтения потребителя можно представить квазилинейной сепарабельной функцией полезности. Как найти эту функцию полезности на основе функции спроса?