3.5 Задачи к главе

^ 177. Покажите, что невырожденность матрицы

н = ( H(x) Vu(x)\ н \Vu(x)T 0, )

где x = x(p, R) , н - матрица вторых производных функции полезности, является (наряду с другими предположениями) достаточным условием дифференцируемости функции спроса.

^ 178. Восполните доказательство Теоремы 37, доказав, что при сделанных предположениях функция расходов и функция хиксианского спроса являются непрерывно дифференцируемыми по x.

^ 179. Является ли дифференцируемой на положительном ортанте функция спроса потребителя с функцией полезности u(x) = xFx2 + xIx2. (Данный пример показывает, что для диф- ференцируемости спроса недостаточно строгой квазивогнутости, дважды непрерывно диффе- ренцируемости и строгой монотонности.)

^ 180. Усильте Теорему 37, заменив условие отрицательной определенности матрицы Гессе функции полезности H(-) на сильную квазивогнутость функции полезности. Квазивогнутая функция u(x) называется сильно квазивогнутой, если для каждого x из области определения zтH(x)z < 0 для каждого z такого, что zVu(x) =0 и z = 0, где H(-) = V2u(-) - матрица вторых частных производных.

^ 181. Покажите на примере, что функция совокупного спроса, полученная на основе суммирования конечного числа маршаллианских функций спроса, вообще говоря, не удовлетворяет слабой аксиоме выявленных предпочтений.

^ 182. Покажите, что если предпочтения потребителей одинаковы, а представляющая их функция полезности - непрерывная строго вогнутая и положительно однородная первой степени, то функция совокупного спроса удовлетворяет аксиоме выявленного предпочтения. ^ 183. В случае двух товаров спрос задается следующими функциями:

P2 PI R

xi = -, x2 = , x3 = -.

p3 p3 p3

(a) Проверьте что данная система функций спроса удовлетворяет закону Вальраса и однородна нулевой степени по ценам и доходу.

(b) Покажите, что для данной системы функций спроса не выполняется слабая аксиома выявленных предпочтений

^ 184. Докажите, что если предпочтения потребителя монотонны и строго вогнуты, то его функция спроса удовлетворяет слабой аксиоме выявленных предпочтений.