5. Представление суммарного спроса посредством модели репрезентативного потребителя

Очень часто при изучении моделей частного равновесия бывает удобно использовать предположение о том, что суммарный спрос порождается решением задачи одного потребителя. В том случае, когда такой потребитель существует, его называют репрезентативным потребителем.

Покажем, что в экономике репрезентативный потребитель всегда существует.

Пусть жДр) — вектор спроса г-го потребителя на первые I благ при ценах р.

x(p) = Y,xt(p).

iel

В этих обозначениях репрезентативный потребитель будет порождать своими предпочтениями суммарный спрос Х(р).

Покажем что репрезентативный потребитель в этих условиях существует, причем его предпочтения на множестве потребительских наборов (ж, z), х > 0, могут быть представлены квазилинейной функцией полезности вида:

и(ж, z) = v(x) + z.

Рассмотрим следующую задачу (задачу максимизации суммы полезностей от потребления 1-го блага при фиксированном количестве х этого блага):

}]'¦.[х.) > шах

iel

J2xtiel

ж,>0

Тогда в качестве v(x) мы можем взять значение этой задачи при ж = ж. Покажем, что X(р) является решением задачи репре-

зентативного потребителя с функцией полезности, и(х, z) = v(x) + г, при любом векторе цен р > 0.

Предположим противное. Как мы видели, задачу представительного потребителя в случае квазилинейных предпочтений можно записать в эквивалентной форме: v(x) - рх —> max^Q. Пусть существует х > 0, такой что

v(x) - рх > v(X(p)) - рХ(р).

При этом, так как Х(р) = Ежг(р)> и xi(p) допустимы в задаче

iei

(Ф) при х = Х(р), то должно быть выполнено

v(x) -рх > T,vt(xt(p)) - pT,xt(p).

iei iei

Заметим, что v(x) = гДе хт) — решение задачи

iei

(Ф) при х = х. Таким образом имеем

T,Vi(Xi) - pY,Xi > Ei'i(Xi) р Х> Y,i>i(Xi(p))- pT,Xi(p).

iei iei ie I iei iei

Но это означает, что по крайней мере для одного из потребителей выполнено

vt(xt) - рхг > Vt(xt(p))- рхг(р), что противоречит оптимальности набора ж;(р).

Докажем, что

v(X(p)) = Y,v,(xt(p)),

iei

другими словами, индикатор благосостояния в экономике с одним представительным потребителем упорядочивает интересующие нас состояния экономики так же, как и индикатор благосостояния первоначальной экономики.

Предположим противное.

iel

можен, т.к. х;(р) допустимы в задаче (Ф) при ж = Х(р). Поэтому предположим, что существует р такое, что

iei

Пусть (жь ..., хт) — решение задачи (Ф) при ж = Х(р). По определению v(X(p)) Значит, iei

iel iel

С другой стороны,

Х(р) =T,Xi(p).

iel ie I

Умножим на p:

pT,xt< pT,xt(p).

iel ie I

Складывая два неравенства, получаем

Т,1'г(Хг) - pY,Xt > Т,1'г(Хг(р)) - pT,Xt(p).

ie I ie I ie I ie I

Получили требуемое противоречие.

Задачи

Докажите вторую часть Теоремы 9.

а) Постройте контрпример с вогнутыми функциями г>Д ) и выпуклыми функциями с-(-), который бы показывал, что условие zt >0 Vi существенно в первой части Теоремы 9.

б) Постройте контрпример, который бы показывал, что условие выпуклости функции издержек существенно в первой части Теоремы 9.

Докажите Теорему 10.

Покажите, что в случае квазилинейной экономики Па- рето-граница представляет собой гиперплоскость вида

Eui = const

iel

Докажите Теоремы 12, 13 и 14.

Докажите, что при хк(Рк) >0 выполнено

dcs,(p)_ 9CSM ~ ЭА - дРк ¦

Пусть (ж, у) — допустимое состояние квазилинейной экономики, и р > 0 — некоторый вектор цен, причем ж; является решением задачи потребителя при ценах р, и

pT,Xi = pT,yj

ie I je J

Докажите, что

Т,Щ(хг, ZT) =W(x,y) + Y,at

ге I iei

В экономике два блага (/+1 = 2) и два потребителя, имеющие функции полезности щ = + zx и и2 = 2yfx~2 + z2. Найдите функцию полезности репрезентативного потребителя.

Пусть предпочтения потребителей представляются квазилинейными сепарабельными функциями полезности. Тогда без потери общности можно считать, что в экономике два блага (I + 1 = 2). Пусть Xj{p) — спрос на первое благо г-го потребителя при ценах р,

D(p) = Y,Xi(p) —

iei

суммарный спрос потребителей на первое благо, и р(х) = D\x) — обратная функция спроса. Предположим, что функция р(х) является непрерывной и убывающей при х > 0. Докажите, что если

X

v(x)=\p(q)clq,

о

то v(x) + z является функцией полезности репрезентативного потребителя.

В ситуации предыдущей задачи функция спроса на благо имеет вид

D(P)= 4^.

Найдите функцию полезности репрезентативного потребителя.

Как показывают теоремы благосостояния, мир совершенной конкуренции достаточно просто и хорошо устроен: каждое равновесие оказывается (при естественных предположениях) Па- рето-оптимальным и каждое оптимальное по Парето состояние экономики можно реализовать (при подходящем перераспределении начальных запасов, прав собственности, налогах и т.д.) как равновесие.

Анализ естественно начать с наиболее простого для анализа случая несовершенного рынка, когда имеется всего один производитель рассматриваемого продукта.