7.4.1 Задачи

^ 382. Предпочтения судовладельца описываются функцией полезности типа Неймана- Моргенштерна с элементарной функцией полезности от богатства x вида u(x), причем u(-) имеет положительную убывающую производную.

Пусть вероятность аварии равна 0,02 и известно, что он застраховался на сумму $9000. Возможно ли, что цена страхования на $1 равна $0,02 ? Если нет, то больше или меньше, чем $0,02 ? Объясните.

Пусть цена страхования на $1 равна $0,02 и известно, что он застраховался на сумму $11000. Возможно ли, что вероятность аварии равна 0,02 ? Если нет, то больше или меньше, чем 0,02 ? Объясните.

(C) Пусть вероятность аварии равна 0,01 и известно, что цена страхования на $1 равна $0,02. Возможно ли, что он застраховался на сумму $10000? Если нет, то больше или меньше, чем $10000 ? Объясните.

^ 383. Предположим, что в ситуации задачи 381 на с. 253 золотоискатель не купил прогноз, а застраховался на сумму в $300 на случай отсутствия золота и купил участок. По какой цене продавались страховые контракты?

^ 384. Приведите пример, когда оптимальным является страхование на полную сумму ущерба при том, что цена страховки не является актуарно справедливой.

^ 385. Пусть в экономике с риском с одним физическим благом предпочтения потребителя- рискофоба представимы функцией Неймана - Моргенштерна. Покажите, что предельная норма замещения блага в состоянии мира s на благо в состоянии мира t убывает при росте его потребления в состоянии мира s и равна отношению вероятностей этих состояний, когда потребление одинаково.

^ 386. Пусть в экономике с риском цены благ пропорциональны вероятностям состояний мира.

Докажите, что рискофоб, предпочтения которого представимы функцией Неймана - Моргенштерна, выберет такой набор, что потребление каждого блага не зависит от состояние мира.

(Б) Продемонстрируйте, что обратное утверждение неверно, приведя соответствующий контрпример.

Продемонстрируйте, что предположение о том, что потребитель - рискофоб, существенно, приведя соответствующий контрпример.

^ 387. Пусть в экономике с риском при ценах p потребитель с локально ненасыщаемыми предпочтениями выбрал набор x. Рассмотрим потребительский набор, равный ожидаемому потреблению, т. е. X = ses ^sxs и "агрегированный" вектор цен p = ses Ps. (А) Покажите, что px Z Yses Psxs.

(Б) Покажите, что если потребитель является рискофобом и в равновесии потребление хотя бы одного из благ различно хотя бы в двух состояниях мира, то неравенство строгое.