§2. Минимизация расходов потребителя при заданном уровне полезности.

E2

E1

X2свойствами сравнимости, транзитивности, рефлексивности, непрерывности, строгой

монотонности и строго выпуклости. Представляющая это отношение предпочтения функция

28

полезности является непрерывной, возрастающей, строго квази-вогнутой и дифференцируемой во всех точках. Бюджетное множество является ограниченным, замкнутым, непустым и выпуклым.

Пусть требуемый уровень полезности U(x1,...,xn) = U>U(0,...,0) = 0. Пусть наша задача имеет решение в виде «внутреннего» минимума, при котором потребитель покупает только положительные, а не нулевые количества всех благ из товарного набора, то есть xi > 0 ∀i.

Проблема минимизации расходов при заданном уровне полезности U имеет следующий вид:

min ( p1

x1+p2x2+... + pnxn) при условии, что

(2.14)

U(x1,...,xn) = Ū

Очевидно, что эта задача аналогична первичной проблеме максимизации полезности, но целевые функции и ограничения у этих двойственных проблем «меняются местами».

(2.15)

L = p 1⋅x1+p2⋅x2

+ ... + pn⋅xn-λ ⋅(U(x1,...,xn)-U)

Необходимым условием (или условием первого порядка) минимума этой функции является равенство нулю всех её частных производных:

∂ x1 ∂ x1

∂ x2 ∂ x2

(2.16)

{

':

∂L

=pn-λ ⋅

∂U(x 1,...,xn)

= 0

' ∂ λ = U-U(x1,...,xn) = 0

Напомним, что в данной системе уравнений p 1,...,pn,U = const. Решив эту систему уравнений, мы

найдём значения x 1*,x2*,...,xn*, которые являются оптимальными количествами каждого из благ, то есть такими количествами, которые минимизируют расходы потребителя на покупку товарного

набора, доставляющего ему полезность U

Разумеется условие первого порядка является лишь необходимым, но не достаточным условием минимума функции. Однако при наличии предпосылки о строгой выпуклости отношения

29

предпочтения условие первого порядка позволяет определить минимум, а не максимум

функции.

Для того, чтобы дать экономическую интерпретацию условию первого порядка, вернёмся к системе (2.16). Произведя несложные преобразования (аналогичные тем, что были в предыдущем параграфе) первых двух уравнений, получаем:

p18U/dx1MU1

(2.17)

Осуществляя подобные преобразования для каждой пары уравнений, получаем в общем виде условие минимизации расходов потребителя при заданном уровне полезности:

(2.18)

Таким образом, в точке оптимального выбора предельная норма замещения одного блага другим должна быть равна соотношению цен этих двух благ.

Функции компенсированного спроса потребителя. При построении модели минимизации расходов мы исходим из предпосылки, что цены благ и требуемый уровень полезности являются постоянными величинами. Однако с течением времени цены на рынке растут или падают, желаемый уровень полезности также может измениться. В зависимости от этого будет меняться и количество каждого из благ, которые потребитель покупает на рынке. Поэтому если вы решите систему уравнений (2.16) в общем виде (не приписывая ценам и требуемому уровню полезности конкретные числовые значения), то оптимальные количества каждого блага предстанут как функции от цен и желаемого потребителем уровня полезности:

(2.19)

{ x 1*=h 1(p 1,p2,...,pn,U)

;

l xn *=hn(p 1,p2,.,pn,U)

Эти функции являются функциями спроса на блага 1,…, n, так как отражают зависимость между количеством благ, спрашиваемых потребителем на рынке, и другими факторами. Заметим, однако, что в отличие от функций спроса, полученных при решении задачи максимизации

30

полезности, когда количество спрашиваемых товаров зависело от цен и от дохода, функции спроса, полученные при решении задачи минимизации расходов, отражают зависимость количества спрашиваемых товаров от цен на эти товары, а также от некоторого фиксированного уровня полезности, на котором должен оставаться потребитель, потребляя тот или иной набор благ. Почему этот спрос называется компенсированным, мы узнаем позже. Хиксианским он называется в честь знаменитого экономиста Джона Хикса.

Важным свойством функций компенсированного спроса является их однородность нулевой степени относительно цен:

(2.20)

\

hn ( α ⋅p1,..., α ⋅pn,U) = α0⋅hn ( p 1,.,pn,U) = hn ( p 1,.,pn,U)

∀ p1,...,pn,U>0и∀числа α>0

Это свойство означает, что если цены всех благ изменятся в α раз, то величина компенсированного спроса потребителя останется прежней при том же самом требуемом уровне полезности.

U: если потребитель хочет достичь более высокого уровня полезности, то он должен потреблять и большее количество благ.

Продемонстрируем однородность нулевой степени относительно цен данных функций для случая двух благ, используя графическое решение задачи минимизации расходов. Рассмотрим рис. 2.2. На графике видно, что при первоначальных ценах (p1,p2) и требуемом уровне полезности U3

наш потребитель выбирает набор (x 1*,x2). Пусть теперь цены обоих благ увеличились в α раз. От

этого наклон бюджетной линии не изменится: α ⋅ p 1 = p . Требуемый уровень полезности тоже не

изменился. Следовательно, не изменился и оптимальный набор потребителя.

Функция расходов потребителя. Если изменится цена на любое из благ в потребительском наборе, или если целью потребителя станет другой уровень полезности, тогда станет оптимальным и другой товарный набор. Эта зависимость может быть представлена как функция расходов потребителя:

(2.21) Emin=p1 ⋅x1*+... + pn⋅x*n=p1 ⋅h1(p1 ,...,pn,U) + + ... + pn⋅hn(p1,.,pn,U) = E(p1,...,pn,U)

31

при pi>0,гдеi = 1,...,n,приU>U(0,...,0).

Здесь ( x 1*,...,xn *) - решение проблемы минимизации расходов при заданном уровне полезности.

Таким образом, функция расходов потребителя - E(p1,...,pn,U) - показывает минимальные

денежные затраты, которые должен сделать потребитель, чтобы достичь некоторого заданного уровня полезности при определённых ценах, сложившихся на рынке.

Легко видеть, что функция расходов является однородной степени 1 по ценам:

E(α ⋅p1,..., α ⋅pn,U) = α ⋅p1⋅x1+... + α ⋅pn⋅xn *=α ⋅E(p1,...,pn,U) (2.22) ∀ p1,...,pn,U>0и∀числаα>0.

Это свойство функции расходов означает, что увеличение цены каждого из благ в α раз

потребует увеличения уровня минимальных расходов потребителя тоже в α раз.

Пример для самостоятельного рассмотрения Предпочтения некоторого потребителя

описываются функцией полезности Кобба-Дугласа: U ( x 1,x2) = x 1 a ⋅ x 12 - a , где 0 0, тогда x является оптимальным набором и в проблеме максимизации полезности, если доход потребителя I = p 1 ⋅ x 1* + ... + pn ⋅ x*.

32

Кроме того, максимальный уровень полезности в этой проблеме в точности равен U - требуемому значению полезности из задачи минимизации расходов.

Из сформулированного только что принципа двойственности можно получить несколько важных тождеств, раскрывающих связь между косвенной функцией полезности и функцией расходов, а также между функциями компенсированного и некомпенсированного спроса:

Vp 1,...,pn>0,I>0иU>0

(2.23) E(p 1,...,pn, V ( p 1,...,pn , I )>I

(2.24) V(p 1,...,pn, E ( p 1,..., pn , U )) = U

(2.25) di (p1,...,pn, I^hi (p1,...,pn, V ( p 1,...,pn, I ))

(2.26) hi (p1,...,pn , U^di (p1,..., pn , E ( p 1,...,pn, U )).

Еще по теме §2. Минимизация расходов потребителя при заданном уровне полезности.:

1. §1. Максимизация полезности при заданном бюджетном ограничении.
2. 33.Положение равновесия потребителя в кардиналистской теории полезности. Правило максимизации полезности.
3. 3.1.3 Задача минимизации расходов и хиксианский спрос
4. 17. Равновесие потребителя: максимизация полезности
5. Экономический анализ расходов на реализацию по общему уровню. Факторы, влияющие на уровень  расходов торговой организации.
6. Теория потребления: потребность, полезность и поведение потребителя.
7. 2.Кардиналистская концепция поведения потребителя 2.1.Общая и предельная полезность блага.
8. 3.1.2 Задача потребителя, маршаллианский спрос, непрямая функция полезности
9. 3. Равновесие потребителя в случае двух продуктов. Бюджетное ограничение потребителя. Условия равновесия потребителя. Реакция потребителя на изменение дохода и цен.
10. 1. Принципы (правила) рационального поведения потребителя. Концепция полезности и потребительский выбор
11. 34. Кривые безразличия. Бюджетное ограничение. Положение равновесия потребителя в ординалистской теории полезности.
12. Отношение предпочтения, функция полезности и бюджетное ограничение потребителя.
13. Данный параграф посвящен изучению того, как изменения условий, при которых рациональный потребитель осуществляет выбор, более конкретно, изменения его бюджетного множества, влияют на этот выбор и благосостояние потребителя.