1. Математическое приложение

Свойства однородных функций

Напомним, что функция ф (А): К ^ К называется однородной степени а, если для любого положительного числа t выполнено

Ф (TA-) = ^Ф (а).

Теорема 1.

Е ^df=аф (A)-

Теорема 2. Если дифференцируемая функция ф (А) однородна степени а, то ее дф(А)

производная v i однородна степени а - 1.

Теоремы о неподвижной точке

Теоремы отделимости

Теорема 6. (теорема Минковского)

Теорема Юнга

Пусть имеются непустое замкнутое выпуклое множество Сс!° и точка же I" не принадлежащая С. Тогда найдется вектор а е I", а Ф 0, и два различных числа Ъ1, Ъ2

е I, Ъ1 > Ъ2, такие что выполнены неравенства:

"

Eat xt> bi

i= 1

и

E^t yt < b2 Vy е С.

i= 1 Теорема 7. Пусть имеются два непустых выпуклых множества С1, С2 с I не имеющие об щих точек. Тогда найдется вектор а е I", а Ф 0, и число Ъ е I, такие что выполнены неравенства: и Eat xt > Ъ Vx е С1.

i=i "

Eat yt < Ъ Vy е Съ

i= 1 Теоремы Куна-Таккера

Пусть имеется задача максимизации с ограничениями ф(х) ^ max

V/*) > 0 j = 1, ..., m (*)

ж е I"

Функцией Лагранжа (лагранжианом) этой задачи называют следующую функцию:

L(x, X) = ф(х) < Е, X V,(x), где (j = 1, ..., m) — множители Лагранжа.

Говорят, что задача (*) удовлетворяет условию Слейтера, если существует точка x е I", такая что

V/(x) > 0 j = 1, ..., m.

Пусть функции Ф(А) и %(А) (j = 1, ..., т) являются вогнутыми и дифференцируемыми и задача (*) удовлетворяет условию Слейтера. Тогда допустимая точка задачи (*) х является оптимальной тогда и только тогда, существует вектор множителей Лагранжа Хе К, такой что выполнены следующие условия Куна-Таккера (условия дополняющей нежесткости):

ЭДА, X)

эА-2 ЭА А =

ЭДА, X)

ЭА ЭДА, X)

эх X = °.

В микроэкономическом анализе широко используется класс утверждений (называемых теоремами об огибающей) следующего типа: Рассмотрим класс задач, зависящих от параметра а. Ф(х1, ..., хп, а) ^ max

у/хь ...,хп, а) = °, j = 1, ..., т. (**)

Теорема 10.

Пусть А(а) — решение задачи (**), Х(а) — множители Лагранжа, соответствующие решению, и /(а) = ф(А(а), а).

Предположим, что в точке ао выполнены следующие свойства:

функции ф(.) и вогнуты и дифференцируемы,

решение задачи существует и единственно и функция А(.) дифференцируема, Тогда выполняется соотношение

d/ Эф ^ Эу,-

1а(ао) = Эа (А(ао), ао) < Ъ X/ао) ^а (А(ао), ао).

Теоремы о непрерывности решений задачи оптимизации

Теорема 11.

Пусть А (р) - множество решений задачи и(A)^maxx Р А^ в(р),

А е X,

где ре К+, ХсК, Х-замкнутое, выпуклое и ограниченное множество и 0еХ Функция и(.,.) непрерывна и строго квазивогнута на X.

Если функция в(р) непрерывна и положительна при р = /х, , то функция А (р) непрерывно в окрестности точки р.

Все эти теоремы являются вариантами известного утверждения Бержа:

Теорема 15.

(Многозначное) отображение, которое ставит в соответствие параметру X множество точек, которые являются решениями следующей экстремальной задачи: u(x, X)^maxX x е ДХ)

является полунепрерывным сверху в точке X, если отображение X(X), и функция u(x, X) непрерывны в окрестности этой точки.

Напомним, что непрерывность многозначного отображения является следующим обобщением непрерывности функции: отображение X(X) является полунепрерывным сверху в точке X, для всякого е>0 существует 8>0 такое, что е-окрестность множества X(X) содержит множества X(X) для всех X из 8-окрестности X; отображение X(X) является полунепрерывным снизу в точке X, для всякого е>0 существует 8>0 такое, что для всех X из 8-окрестности X е-окрестность множеств X(X) содержит X(X). Отображение называется непрерывным, если оно непрерывно сверху и снизу одновременно.

Заметим, что поскольку постоянное отображение непрерывно, непрерывность (полунепрепрерывность сверху) функции (отображения) предложения гарантируется при существовании решения задачи потребителя (поскольку функция прибыли непрерывна как функция цен).