Основные положения экономики благосостояния

Введем в рассмотрение множество (физически) допустимых состояний Р(щ^):

^(Щ^) = {(х, У I Е X < Е y + , х^О , y е Yj}

iel jeJ

Здесь и далее под (х, у) понимается (xi, ..., хи; у, ..., jm).

^ Определение 9. Говорят, что допустимое состояние экономики {ж, j} СТрОГО / \ доминирует (по Парето) состояние {х,у}, если х/ >-,¦ Л', для любого потребителя i. ;

^ Определение 10. Говорят, что точка {ж, j} принадлежит Слабой границе / ^ ПаретО (WP), если не существует строго доминирующей ее допустимой точки, / \ т.е. /

х WP={(x, у)е 2XG?) I $ (х, у)е V(со^): д* xt Vie/} ;

^ Определение 11. Говорят, что допустимое состояние экономики {jti, ..., х„; у, / \ ..., ут} Доминирует (по Парето) другое допустимое состояние {дсь ..., х„; у\, ..., / \ j-'m}, если л', У/Xi для любого потребителя i и существует /'о такой, что л'/;, л-,-,.. ^

^ Определение 12. Допустимую точку {jci, ..., х„; у, ...,ут) называют Парето- / ^ ОПТИМальНЫМ состоянием экономики, если не существует доминирующей ее / \ другой допустимой точки. Множество Парето-оптимальных состояний называют / J (сильной) границей Парето (V): /

^ V={(x, j>)e Х>((И?) | $ (х, у)е Дсо^): ж, у xt Vie/, 3 i0e I: xk У x!o}. ;

2

2) Если предпочтения каждого участника полустрого монотонны- и непрерывны, то все точки сильной границы Парето, компоненты которых строго положительны, также принадлежат и слабой границе Парето. Доказательство':

Очевидно, что по определению границы Парето V и слабой границы Парето WP имеем включение V с WV. Таким образом нам остается показать, что WV с V. Пусть это не так, т.е. существует допустимое распределение (У, у) е WP и (У, у) Й V. По определению границы Парето существует другое допустимое распределение (X, у) такой, что С У, Cc i V iel и 3 i0el х1о yio У го. Заметим, что х1о Ф 0,т. е существует к такой, что Cciok > 0.

Хго(п) = Хго - n e

Xi(n) = Xi + n(n -1) e V i Ф /0

По свойству строгой монотонности, имеем х i(n) У i X,-(n) Vi Ф i0 Vn, отметим, что

* . *

по свойству непрерывности предпочтений найдется такое n такое, что xio(n ) Уго хго. Таким образом, мы нашли допустимое распределение (X, у) которое строго доминирует допустимое распределение (У, у), чего быть не может, так (X, у) принадлежит слабой границе Парето.

Доказательство этого утверждения оставляется в качестве упражнения.

Утверждение 8. (Первая теорема благосостояния)

Вальрасовское равновесие (X, у,р) всегда принадлежит слабой границе Парето (X, у) е WP.

Вальрасовское равновесие (X, у, р) при условии локальной ненасыщаемости предпочтений всегда принадлежит сильной границе Парето: (X, у) е V.

Доказательство:

Эта часть теоремы доказывается по аналогии со 2-й частью и оставляется в качестве упражнения.

Предположим, что (X, у) Й V. Тогда существует допустимое состояние экономики (X, у), такое что X, yi X,Vi и существует потребитель i0, такой что Хго Уго Хго.

Поскольку Хго Уго Xго, то рХг> рХго, поскольку Хго — решение задачи потребителя, чего не могло бы быть, если бы набор Хго был допустимым.

Покажем теперь, что из Xi Уi X,Vi следует, что рхс1 > рХ^ Пусть это не так и для некоторого потребителя iРХ, < ру-. Существует достаточно малая окрестность точки Xj-, для точек которой все еще выполнено рх,- < рХ,-. По локальной ненасыщаемо-

2 Предпочтения называются полустрого монотонными, если из следует, что ХУ у.

сти в этой окрестности существует набор Xci, такой что Xi yi Xi. Это противоречит тому, что Xi— оптимум в задаче потребителя.

Просуммируем полученные неравенства по всем г:

E iPXi > E ipXi.

Поскольку у максимизирует прибыль на Yj, то py py j. Просуммируем эти неравенства по всем j:

EjРУ.j >Ej Py j.

При локальной ненасыщаемости выполнен закон Вальраса (бюджетное ограничение выходит на равенство).

pXi = p&i A Ej Yij py j.

Просуммировав по всем потребителям, получим

E i pXI =E i (pm + E. Yij ppy J) = E i p®i + E. (E i YIj) py J =

= E i p®i a E j ppy j.

В результате получим цепочку соотношений

E i pXi > E i pXi = E i p®i a E j ppy j >E i p®i a E j py j.

С другой стороны, состояние (X, у) допустимо и выполнены материальные балансы:

E i Xi < E i од a E j yj.

Домножив на (неотрицательные) цены, получим

E i pXi < E i p®i a E j py j.

Получили противоречие. Значит, (X, j) e V.

Утверждение 9. (Вторая теорема благосостояния)

Пусть предпочтения потребителей выпуклы, непрерывны и локально ненасы- щаемы, технологические множества каждого производителя выпуклы и по крайней мере одно удовлетворяет свойству свободы расходования.

Тогда если (X, j)) — оптимальное по Парето состояние и Xi > О V/, то существуют цены p, такие что (X, y, p) является равновесием Вальраса при некотором распределении собственности oi и Yij-

Доказательство:

Введем ряд обозначений которые нам понадобятся в дальнейшем для доказательства этого утверждения.

Обозначим множество лучших чем Xi точек (для потребителя г) через

L+i(?i) = {Xi ^ О | Xi У i Xi}.

Поскольку предпочтения потребителей выпуклы, то, как несложно показать, L+i(Xi) также выпуклы и, значит, их сумма

L++(X) = E i L+i(?i) = {E i Xi | Xi > О, Xi У i Xi} выпукла. Кроме того, L+i(Xi) непусты по локальной ненасыщаемости, значит и L++(X) непусто.

Множество

Ye + ЮЕ = Е; Yj + ЮЕ = {Е,- у + ЮЕ I уj е Yj}. тоже является выпуклым в силу выпуклости технологических множеств и непустым, так как ему принадлежит точка Е j у j + Юе.

Поскольку (X, у) — оптимум Парето, то множества ?++(Х) и Ye + Юе не имеют общих точек:

/++(Х) П (Ye + ЮЕ ) = 0.

Предположим, что существует общая точка zе/++(cC) и zе Ye + Юе. Это означало

бы, что существует состояние экономики (х, у), такое что х, е X,, х, У, X, Vi, у- е Yj

Vj, Е i х, = z и Е- у j + Юе = z. Тем самым мы нашли бы допустимое состояние экономики, которое доминирует оптимальное по Парето состояние (X, у), чего быть не может.

Поскольку множества /++(Х) и Ye + Юе выпуклы, непусты и не пересекаются, к

ним применима теорема об отделимости.

pz ^ г, если z е /++(Х)

и

pz < г, если z е Ye + Юе. Пусть х — такой набор допустимых потребительских наборов, что х, У , X, Vi. Покажем, что рЕ г х г > г.

Из локальной ненасыщаемости У г следует, что для любого натурального числа n в окрестности х, существует набор х", такой, что х" У х, и х"е 11/„(х,), где 11/„(х,) — шар с центром х, и радиусом 1/n. Заметим, что последовательность х" сходится к х,. Поскольку х" У х, У X,, то рЕ г х" ^ г. Переходя к пределу по n, имеем рЕ г х, > г.

Покажем, что р ^ 0. Пусть это не так, и существует благо к, такое что p<0. Рассмотрим некоторый вектор у е Ye + Юе. Существуют у-е Yтакие что Еj У- = У. По условию теоремы существует предприятие ji, технологическое множество которого характеризуется свободой расходования. Для этого предприятия - tek е Yгде ek

— к-й единичный орт, t — положительное число. Поэтому Z - tek е Ye + Юе. Для Z выполнено ру < г. Можно подобрать достаточно большое t, так что р(У - tek) > г. Но

— k 1Г

это противоречит тому, что z - te е YE + Юе.

Поскольку X, ) XX, Vi (по рефлексивности отношения предпочтения), то рЕ г CC, ^ г. С другой стороны, так как Е; у + Юе е Ye + Юе, то р Е j у + р Юе < г.

Поскольку состояние (хх, j)) является допустимым, то Е г X, < Е; у + Юе. Домно- жив на р ^ 0 имеем

р Е г X, < р Е - у- + рюЕ.

Получим цепочку неравенств

г < р Е i XXi < р Е-у- A РЮЕ < г.

откуда РЕ i -X,=р (Е-- .у; A ЮЕ) = г.

Возьмем р в качестве цен равновесия и покажем, что (X, у, р) является равновесием.

Покажем сначала, что при этих ценах прибыль каждого предприятия jo максимальна в точке у,. Пусть у h е Yjo. Тогда у h A Е-Ф-о у A ЮЕ е YE A ЮЕ и выполнено

р fe A Емо у1 A ЮЕ) < р (Е-- у A ЮЕ) = г.

Отсюда ру-о^ ру-,.

Теперь покажем, что при ценах р полезность каждого потребителя io максимальна в точке cxo. Пусть Xio е X, и Xio Уго Хг„. Покажем, что этот лучший набор стоит дороже, чем Xio в ценах р.

Так как (cCi, ..., хг-о, ..., Хи) не хуже для каждого потребителя, чем X, то

рхг, A рЕ !*io хе, > г=рЕ i хе,.

Поэтому рхго ^ рХго. Нам нужно показать, что неравенство здесь строгое. Предположим, что рхго = рХго. Поскольку Xio >0 и рФ0, то существует допустимый набор х. , такой что рх.< рХго = рХго (например, х = аХго, 0<а<1). Рассмотрим выпуклые комбинации ах. A (1-а)xio, ае[0,1]. По непрерывности предпочтений найдется достаточно малое положительное а, такое что

// / X., = ах A (1-а) Хго Уго Хго.

//

Набор потребительских наборов (cCi, ..., х. , ..., Хи) не хуже для каждого потреби// /

теля, чем X, откуда рх A рЕ ш„ XX, > г = рЕ г XX,. Но, с другой стороны, рх. < рХг,. Получили противоречие. Значит, рхк >рХк.

Таким образом, мы доказали, что (X, у, р) является равновесием Вальраса. В качестве распределения собственности можно взять, например,

р-Х г р-Х г w.

Ю- = Е ~ ЮЕ и Ъ = Е - VJ.

р / - S Х s р / - S Х S

Замечание: Отметим, что утверждение теоремы остается справедливым, если заменить свободу расходования для технологического множества некоторого производителя на монотонность предпочтений некоторого потребителя.

Пусть предпочтения индивидуума задаются непрерывными функциями полезности. Сопоставим каждому индивидууму такое неотрицательное число а,, такое, что

Ea = 1. Введем в рассмотрение функцию ua(x) = Eaй(X) Рассмотрим теперь сле-

iel iel

дующую экстремальную задачу: Задача поиска оптимума Парето. ua(x) ^ max

E Xi < E y A ю^ , (*)

ie I j e J

yj e Y xt> О.

Утверждение 10.

Если (X, y) - решение задачи (*), то (X, y) e WV, а если, кроме того, aj>0, то (X, y) e V.

Пусть функции полезности и(.) непрерывны и вогнуты, технологические множества Yj выпуклы. Тогда если (X, y) e WV, то найдутся такие неотрицательные

a (Eai = 1), что (X, y) будет решением задачи (*).

iel

Доказательство:

Пусть (X, y) - решение задачи (*) и (X, y) ? WV. Тогда найдется такое допустимое состояние (У, у) e ©(ю^) (отметим, что ©(ю^) есть допустимое множество для задачи (*)), что u(xi) > u(Xi) V iel. По определению функции ua(.) имеем, что ua(X) > ua(X). Таким образом, получили противоречие с тем, что (X, y) - решение задачи (*). Доказательство для случая аг>0 полностью аналогично.

Пусть (X, y) e WV. Введем обозначение u(x) = (ui(xi),..., un(Xn))'. Введем в рассмотрение следующее множество:

2 = {% eM" | 3 (x, y) e ©(ю^): V < u(x)}.

Множество 2 непусто, так как u(X) e 2. Покажем, что 2 — выпуклое множество. Пусть V e 2 и v" e 2. Это означает, что существуют допустимые состояния экономики (X, y') e ©(ю^) и (X', y") e ©(ю^), такие что V < u(X) и V' < u(X'). Покажем, что

pv A (1-P)V'e 2, где pe(0,1).

Несложно показать, что

(px A (1-P)X',py A (1-P)j '') e ©(ю^).

Так как u j(.) — вогнутые функции, то

u(pX A (1-p)X') > pu(x') A (1-p)u(X').

Это означает, что PV A (1-p)v'' < u(pX A (1-p)X'), т.е. PV A (1-p)v''e 2.

Множество u(X) A M++ = {Ve M" | Vi > ui(xXi) Vi} также является непустым и выпуклым.

Поскольку (х, у) е WP, то иП(и(х) + К2+) = 0, в противном случае мы нашли бы допустимое состояние экономики, в котором каждый потребитель имел бы большую полезность, чем в (X, у).

По теореме об отделимости существует разделяющая эти два множества гиперплоскость, т.е. существуют вектор ае К", аФ0 и число 3, такие что

av < 3 при v е U и av > 3 при v е и(х) + К2+.

Покажем, что а>0. Предположим, что существует i, для которого аг<0. Тогда если v е и(х) + К2+, то v + te1 е и(х) + К2+, где t — положительное число, е1 — i-й орт. Мы всегда можем подобрать достаточно большое t, чтобы выполнялось a(v + te1) < 3. Но это противоречит тому, что v + te1 е и(х) + К2+.

Рассмотрим последовательность vn = и(х) + 1/п 1, где 1 — вектор, состоящий из единиц. Поскольку vn е и(х) + K2+Vn, то avn > 3. Переходя к пределу, получим a и(х) > 3. С другой стороны, и(х) е U и a и(х) < 3, т.е. a и(х) = 3.

Возьмем в качестве а вектор a/E^j. Не существует пары (х, у) е ©(ю^), такой

что EaiUi(xi) > Еа1м1(х1). Действительно, для любой пары (х, у) е ©(ю^) выполнено и(х) е U, откуда "$(х) < 3 = au(x). Разделив это неравенство на E4, получим аи(х)

< аи(х). Это означает, что (х, у) является решением задачи (*). ¦

Удобным инструментом для иллюстрации введенных понятий является «ящик Эджворта». Ящик Эджворта — это диаграмма, которая позволяет наглядно представить экономику с 2 потребителями, 2 благами, в которой множества допустимых

потребительских наборов имеют вид х^0 и х2^0. На этой диаграмме потребление

1 2

го участника (х1, х1) представляется в обычной системе координат, а потребление

1 2 1 2

го участника (х2, х2) — в перевернутой с центром в точке (ю^, ю^), если смотреть

из системы координат 1-го участника. Если балансы по благам в рассматриваемой точке х выполнены, то точка (х1, х1) в первой системе координат совпадет с точкой (х2, х2) во второй системе координат, что позволяет изобразить х одной точкой на данной диаграмме.

Чтобы можно было представить себе структуру равновесия, удобно воспользоваться графиками кривых безразличия и множеств лучших точек участников.

Напомним, что кривая безразличия i-го участника, соответствующая точке х1, есть множество /1(х1) = {х^0 | и1(х1) = и1(х1)} . Множество точек, не худших, чем точка Xi, есть множество /^(х^ = {х1-^0 | и1(х1-) ^ и1(х1)}.

В терминах этих кривых точка х есть Парето-оптимум рассматриваемой экономики, если не существует допустимой точки х, такой что х1е/1(хi), х2е/2(х2) и выполнено по крайне мере одно из соотношений х1^/1(х 1), х2?/2(х2).

Точка х принадлежит слабой границе Парето, если не существует допустимой точки х, такой что х1е/|(х1), х2еЬ21(х2), х1^/1(х1) и х2?/2(х2).

Для того, чтобы точку ж можно было реализовать как равновесие, необходимо (но в общем случае недостаточно), чтобы существовала прямая, проходящая через эту точку, такая что она разделяет множества Zi(jti) и Z^x). Наклон этой прямой равен отношению цен. Сама эта прямая является общим для обоих потребителей бюджетным ограничением.

Рассмотрим несколько примеров модели экономики обмена (или распределения) на ящике Эджворта. В каждом из них построим слабую и сильную границы Парето и рассмотрим взаимосвязь между ними.

Пример 1. Оба потребителя ценят только первое благо:

1 1 U\ = .1 и U2 = .2

В этом случае любая точка ящика Эджворта принадлежит слабой и сильной границе Парето.

Каждую из точек можно реализовать как равновесие, при этом р =0. Пример 2. Первый потребитель ценит только первое благо, второй второе:

WP

только

i2 ^р

В этом случае правая и нижняя стороны ящика Эджворта составляют слабую границу Парето, а правый нижний угол — сильную Парето-границу. Сильную границу Парето можно реализовать как равновесие при любых ценах.

Пример 3. Потребители имеют линейные функции полезности с положительными коэффициентами:

XеР = ^Р

Пример 4. Потребители имеют функции полезности

Ui = lnv1 A In.? и U2 = .2 + .2. .2 1 к 2
.| * • TV

V .*

\

• •

\Х.*** + ~

x z^)

/2(.

•

• Р
| >
f 2
Х2 Пример 5. Первый потребитель имеет функцию полезности с "толстой" кривой безразличия

12 .1.1 < 2

2 < Х1Х1 < 3 12 XlXl ^ 3

Ui :

12 Х1Х1 — 1

и

U2 = A

12 .1 .1

Данная ситуация представляет собой контрпример к 1-й теореме благосостояния и показывает важность условия локальной ненасыщаемости. Точки в заштрихованной области правого рисунка можно реализовать как равновесие, но они не являются Парето-оптимальными.

Пример 6. Первый потребитель насыщаем

U = - (xi - 1)2 - (xl - 1)2

и

и = 2 х2 A х2.

Пример 7. Потребители имеют функции полезности и = xi A y]xi

и

и = Х2.

Эта экономика представляет собой контрпример ко 2-й теореме благосостояния, когда оптимум Парето не внутренний. Правый нижний угол ящика Эджворта (X) представляет собой оптимум Парето, но не может быть реализован как равновесие ни при каких ценах. Разделяющая гиперплоскость существует: -2 = 0, но при ценах _pi=0 и р2>0 набор Х1 не является решением задачи 1-го потребителя, так как полезность не ограничена сверху.

Пример 8. Контрпример ко 2-й теореме благосостояния.

1-й потребитель имеет невыпуклые предпочтения и Парето-оптимальную точку X нельзя реализовать как равновесие — не существует прямой, которая бы разделя-

Тесты и задачи для самостоятельного решения

1. Пусть в ситуации Примера 1 (U1 = .1, U2 = .2) совокупные начальные запасы экономики положительны Ю?>0. Покажите формально, что:

1 2

а) Любая точка ящика Эджворта (х1е [0, w^]x[0, ю^]) принадлежит слабой и сильной границе Парето.

б) Каждую из точек ящика Эджворта можно реализовать как равновесие, и при этом р2=0.

i2

Пусть в ситуации Примера 2 (u1 = xl, u2 = x2) совокупные начальные запасы экономики положительны (ю^>0). Покажите формально, что:

i i 2 2 i i 2

а) Правая (xi=w^, xie [0, ю^]) и нижняя (xie [0, а?], xi=0) стороны ящика Эд-

l 2

жворта составляют слабую границу Парето, а правый нижний угол (дс i = (ю^, — сильную Парето-границу.

б) Сильную границу Парето можно реализовать как равновесие при любых неотрицательных ценах.

Пусть, как и в Примере 3, потребители имеют линейные функции полезности с положительными коэффициентами,

и1 = a^ A p^x? и U2 = a2x2 A p2x2,

совокупные начальные запасы экономики положительны (ю^>0). Продемонстрируйте формально, что сильная и слабая граница Парето совпадают в этой экономике. Найдите их в зависимости от значений коэффициентов.

i 2 i 2

Пусть в ситуации Примера 4 (u1 = lrn^ A lm? u2 = x2 A x2) совокупные начальные запасы экономики положительны (ю?>0). Продемонстрируйте формально, что сильная и слабая граница Парето совпадают в этой экономике. Найдите их в зависимости от величины начальных запасов.

В ситуации Примера 5 при достаточно больших совокупных начальных запасах найдите формально сильную и слабую границы Парето и множество точек, которые можно реализовать как равновесие. Как соотносятся между собой эти три множества?

i 2 2 2 i 2

В ситуации Примера 6 (u1 = - (x? - 1) - (x? - 1) , u2 = 2 x2 A x2) при достаточно

больших совокупных начальных запасах найдите формально границу Парето и множество точек, которые можно реализовать как равновесие.

l I 2 2

В ситуации Примера 7 (u1 = x? A "\yxb u2 = x2) при положительных совокупных начальных запасах найдите формально границу Парето и множество точек, которые можно реализовать как равновесие.

Покажите, что в экономике обмена прирост начальных запасов потребителя может привести к падению его полезности в точке равновесия.

Указание. Рассмотрите экономику с двумя товарами и двумя потребителями с одинаковыми предпочтениями, описываемыми следующей квазилинейной функцией полезности

u(x) = -n/X! A x2,

рассмотрите сравнительную статику потребителя 1 в зависимости от изменения начальных запасов ю1 и ю2.

9. Предположим, что в экономике обмена с непрерывными, строго выпуклыми и строго монотонными квазилинейными сепарабельными предпочтениями происходит перераспределение начальных запасов. Покажите, что если начальные запасы потребителя возрастают, то его полезность не может упасть.

а) Рассмотрим снова передачу ресурсов от первого потребителя ко второму, как и

выше, но на этот раз предпочтения не квазилинейные предположите, что передаваемое количество мало и что изменение (относительное) равновесной цены мало. Покажите, что полезность потребителя 1 может упасть. Проинтерпретируйте с точки зрения соотношения между эффектом замены и эффектом дохода.

б) Покажите, что в экономике с двумя товарами и двумя потребителями этот пара

докс может произойти только в случае единственности равновесия. (Подсказка: Покажите, что если передача начальных запасов потребителя 1 ведет к уменьшению его полезности тогда в первоначальной ситуации должно существовать еще одно равновесие с еще более низким уровнем полезности у потребителя 1).