Первообразная и неопределенный интеграл
Напомним, что основная задача дифференциального исчисления заключается в следующем: дана функция F(x), требуется найти ее производную (например, найти предельные издержки, зная суммарные издержки).
При этом, если производная существует в каждой точке х некоторого промежутка Х , то это также некоторая функция f(x) на Х , такая, что f{x) == F'(x). Однако часто приходится решать и обратную задачу: дана функция f(x), требуется найти функцию F(x) такую, что F'(x)= f (x) (например, найти суммарные издержки, зная предельные издержки). Для решения обратной задачи служит операция интегрирования, обратная операции дифференцирования.Определение L Дифференцируемая функция F(;c), определенная на некотором промежутке Х, называется первообразной для функции f(x), определенной на том же промежутке, если для всех х из этого промежутка F'(x)= f (x), или, что то же самое dF(x)=f(x)dx.
Пример. Найти какую-либо первообразную для функции f (.х)=3х2. Функция F(x) = х3 является первообразной для f(x)=3x2, так как F'(x) =(x3)’=Зx2 = f(x).
Нетрудно заметить, что первообразная х3 не является единственной для функции Зх2. В самом деле, в качестве первообразной можно было взять и функции: х3 + 5, х3 - 2 и вообще х3 +С, где С —произвольная постоянная, потому что (х3 +С)'=Зх2. Приведем формулировку теоремы, выражающей основное свойство первообразных.
Определение 2. Совокупность всех первообразных для функции f(x), определенных на некотором промежутке Х, называется неопределенным интегралом от функции f(x) на этом промежутке и обозначается символом f{x)dx (читается: «интеграл от эф от икс де икс»). Если F(x) является первообразной для функции f\x) на промежутке Х, то согласно этому определению имеем f(x)dx = F(x) + С.
Определение 3. Функция f(x) называется подынтегральной функцией, f(x)dx — подынтегральным выражением, х —- переменной интегрирования, символ — знаком
неопределенного интеграла, С — постоянной интегрирования.
Основные свойства неопределенного интеграла. Пусть функция F(x) является первообразной для функции f{x) на некотором промежутке Х , т.е. F\x) == f{x). Тогда по определению f{x)dx = F(x) + С. Имеем следующие свойства:
1) Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции. Имеем:
2) Дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению.
Имеем:
3) Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен этой
функции плюс произвольная постоянная. Имеем:
Свойства 1) и 2) используют обычно для проверки результатов интегрирования.
4) Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла, т.е. если а == const 0,
5) Неопределенный интеграл от алгебраической суммы двух непрерывных функций равен алгебраической сумме интегралов от этих функций в отдельности, т.е.
Для исследования совокупности экономических явлений, следующих одно за другим в известном порядке, используется такой математический инструментарий как ряды. Представляя собой совокупность величин, расположенных в определенной последовательности, ряды позволяют зафиксировать тенденцию какого-либо экономического процесса, описываемого совокупностью последовательных явлений.