Ряды

Решение ряда задач сводится к сложению бесконечного числа слагаемых, т.е. ставится проблема обобщения понятия суммы на этот случай. При этом особое внимание надо обратить на то, что это понятие вводится только для членов последовательности.

Сложить бесконечное число слагаемых так, как это делалось для конечных сумм, — сначала сложить первые два слагаемых, затем к ним добавить еще одно, затем — еще одно и т.д., нельзя — этот процесс никогда не закончится. Поэтому для суммы бесконечного числа слагаемых вводится определение.

Определение 1. Пусть задана последовательность аn. Выражение вида

называется рядом, an — п -м или общим членом ряда. Короче (7.4.2) записывается так:

какой буквой обозначается номер члена ряда — безразлично.

Определение 2. Сумма п первых членов ряда называется п -и частичной суммой ряда, ее принято обозначать sn.

Так, для ряда (7.4.2) п -я частичная сумма

Определение 3. Если последовательность Sn частичных сумм ряда имеет предел s, то ряд называется сходящимся, а число s называют суммой этого ряда и пишут аk = s.

Если последовательность Sn не имеет предела, то ряд называется расходящимся.

Коротко говорят: сумма ряда есть предел его частичных сумм. Если же последовательность частичных сумм не имеет предела (ряд расходится), то ряд не имеет суммы.

Ряд aqn-1 будем называть геометрической прогрессией (как и последовательность членов этого ряда).

Пример 1. Геометрическая прогрессия n-1расходится при /q/ 1, a 0 и сходится при /q/ k ). Действительно, частичная сумма ряда (7.4.4) при любом п > k будет sn = а1 + а2 + а3 +... + аk + 0 = а, т.е. постоянна, и потому Sn == a, т.е. ряд (7.4.4) сходится и его сумма равна а.

Теорема 1 (об общем множителе).

Если ряд am сходится, то для любого числа ряд am тоже сходится и

Если ряд am расходится и 0, то и ряд am, расходится.

Коротко говорят: общий множитель можно выносить за знак суммы, умножение на ненулевой множитель не нарушает сходимости (расходимости).

Так как am сходится, то последовательность Sn == a1 + a2 + a3 +... + аn имеет предел и, по определению суммы ряда, am = . Выпишем далее частичную сумму ряда , am:

поэтому limSn = lim Sn = lim Sn == am. Поэтому ряд am сходится и

Для доказательства второй части теоремы предположим, что ряд am сходится. Тогда (по первая части теоремы) сходится ряд 1/ ( am), что противоречит условию теоремы (второй части). Полученное противоречие показывает, что сделанное предположение неверно и потому ряд am расходится.

Теорема 2 (сумма рядов).

Если ряды am и bm сходятся, то сходится ряд (am + bm):

Ряд (am + bm) и ряд (am - bm):будем называть рядом-суммой.

Так как am сходится, то существует lim sn = am , Sn = a1 + a2 + a3 +... + аn . Так как bm сходится, то существует lim bm. Выпишем частичную сумму ряда-суммы:

Sn = (a1 + b1 )+( a2 + b2) +... + (аn+ bn) = (a1 + a2 +….+ an ) +(b1 + b2 +….+ bn)=Sn + m

Поэтому последовательность Sn имеет предел (так как Sn и n имеют пределы), т.е. ряд-сумма сходится:

Пример 3.

Следствие. Если ряд am сходится, а ряд bm расходится, то ряд-сумма (am+bm) расходится.

Действительно, предположим, что ряд-сумма сходится, тогда, по теореме 2, сходится ряд-сумма ((am+ bm )- am) гфотиворечит условию. Следствие доказано.

Заметим еще, что если оба ряда расходятся, то ряд-сумма может оказаться как сходящимся рядом (если, например, bm )=-am, так и расходящимся (если, например, am =bm)

Теорема 3.

Изменение конечного числа членов ряда не нарушает его сходимости (расходимости).

Другими словами, расходящийся ряд остается расходящимся, а сходящийся ряд остается сходящимся, хотя сумма ряда при этом, как правило, изменяется.

Пусть у ряда am как-то изменены первые k членов.

Из этой теоремы следует, что при изучении сходимости ряда можно изменять, как нам удобно (или вообще отбрасывать), конечное число членов ряда — на его сходимость (расходимость) это не влияет.

Первый вопрос, который обычно выясняется относительно ряда — сходится он или расходится, а для сходящегося ряда уже можно ставить вопрос о вычислении его суммы (точном или приближенном).

Для ответа на первый вопрос существуют теоремы, которые называются признаками сходимости.

Теорема 4 (необходимый признак сходимости ряда).

Если ряд an сходится, то lim an = 0.

Пусть сумма ряда равна s. Так как sn = sn-1 + an, то

Очень важное замечание. Ниже будет доказано, что ряд 1/n — (его называют гармоническим рядом) расходится, хотя lim 1/n = 0.

Теорема 5 (достаточный признак расходимости ряда). Если lim an или не существует, то ряд an расходится.

Предположим, что ряд an сходится. Тогда lim an = 0 (теорема 4), что противоречит условию теоремы 5. Следовательно, an расходится.

Пример 4. Ряд aqn-1 расходится при и /q/ 1, так как lim aqn-1 . Ряд расходится, так как lim =-2/7 0.

Пример 5. Ряд cos — расходится, так как не существует lim cos

Описание экономических, отношений и процессов посредством совокупности переменных, часть которых изменялась с течением времени и обеспечивала функциональное изменение другой части, искомой в рамках данного экономического исследования, происходит с использованием дифференциальных уравнений, рассмотрением которых мы и займемся.