7.4. Математика. Введение в анализ; дифференциальное и интегральное исчисление; ряды; теория вероятностей

Табличный способ задания функции состоит в том, что для каждого значения аргумента х (из области определения функции) рядом выписывается соответствующее значение у , — получается таблица. Например: х 1,3 1,4 1.5 1,6 1,7 У 2,78 2,96 3,31 3,85 4,63 (при этом, конечно, все х из области определения функции выписать нельзя, и уже поэтому такое задание функции весьма неполно). Из приведенной таблицы .легко себе представить, как ведет себя функция. Пусть, например, х — это время, а. у — это температура. Ясно, что температура со временем повышается, причем чем дальше, тем быстрее, и в определенные моменты времени известны точные значения температуры. Это достоинство табличного способа. Но вот совершенно неизвестно, определена ли эта функция при • х = 1,37? А если определена, то чему равен у при х = 1,37? Таким образом, при табличном способе задания функции почти ничего не известно об области определения этой функции. Для ответа на этот вопрос нужна, помимо этой таблицы, дополнительная информация.

Допустим теперь, что нам известно дополнительно, что функция определена для всех промежуточных значений х. Но как она там изменяется? В приведенном примере как будет изменяться при х, меняющемся от 1,3 до 1,4, какая здесь будет таблица?

Такая: х 1,30 1,32 1,34 1,36 1,38 1,40 У 2,78 2,81 2,84 2,88 2,92 2,96 Или такая: X 1,30 1,32 1,34 1,36 1,38 1,40 У 1,78 2,95 ЗД7 2,62 2,74 2,96 В первом случае ясно, что нагревание идет постепенно, «нормально». А во втором случае с прибором творится что-то странное, явно «что-то не то». Но по первоначальной таблице, ничего не зная о том, откуда эта таблица взялась, выбрать из этих двух возможностей одну, соответствующую действительности, невозможно: оба случая равноправны. В этом большой недостаток табличного задания функций.

Однако в ряде случаев это единственный способ экспериментального изучения окружающих нас закономерностей. В самом деле, что делается, когда ставят опыт? С точки зрения математика здесь изучается зависимость между определенными переменными, другими словами, изучается некоторая функция. При опыте ведутся записи, в простейшем случае отмечается время (аргумент функции) и записывается показание прибора (соответствующее значение функции), т.е. функция задается таблицей. А задача исследователя состоит в том, чтобы по полученной таблице изучить эту функцию.1

Экономические параметры, описывающие деятельность экономических субъектов, подвержены изменению -их числовых значений во времени. В то же время отметим, что исследованием пределов бесконечно малых приращений функций занимаются такие разделы математики, как дифференциальное и интегральное исчисление. Таким образом, представив изменения числовых значений экономических параметров в виде суммы бесконечно малых функциональных приращений, можно использовать при экономических исследования математический инструментарий дифференциального исчисления.

Экономические задачи, решаемые методами дифференциального исчисления

Дифференциальное исчисление — широко применяемый для экономического анализа математический аппарат. Базовой задачей экономического анализа является изучение экономических величин, записываемых в виде функций. В каком направлении изменится доход государства при увеличении налогов или при введении импортных пошлин? Увеличится или уменьшится выручка фирмы при повышении цены на ее продукцию? В какой пропорции дополнительное оборудование может заменить выбывающих работников? Для решения подобных задач должны быть построены функции связи входящих в них переменных, которые затем изучаются с помощью методов дифференциального исчисления.

В экономике очень часто требуется найти наилучшее, или оптимальное значение того или иного показателя: наивысшую производительность труда, максимальную прибыль, максимальный выпуск, минимальные издержки и т.д. Каждый показатель представляет собой функцию одного или нескольких аргументов. Например, выпуск можно рассматривать как функцию затрат труда и капитала (как это делается в производственных функциях). Таким образом, нахождение оптимального значения показателя сводится к нахождению экстремума (максимума или. минимума) функции одной или нескольких переменных. Подобные задачи порождают класс экстремальных задач в экономике, решение которых требует использования методов дифференциального исчисления. Если экономический показатель у нужно максимизировать или минимизировать как функцию другого показателя х (например, задачя на максимум прибыли как функции объема. выпуска), то в оптимальной точке (т.е. в точке максимума) отношение приращения функции у к приращению аргумента х должно стремиться к нулю, когда приращение аргумента стремится к нулю. Иначе, если такое отношение стремится к некоторой положительной или отрицательной величине, рассматриваемая точка не является оптимальной, поскольку увеличив или уменьшив аргумент х, можно изменить величину у в нужном направлении. В терминах дифференциального исчисления это означает, что необходимым условием экстремума функции у = f(x) является равенство нулю ее производной.

В экономике часто приходится решать задачи на экстремум функций нескольких переменных, поскольку экономические показатели обычно зависят от многих факторов. Такие задачи хорошо изучены теорией функций нескольких переменных, использующей методы дифференциального исчисления. Многие задачи включают не только максимизируемую (минимизируемую) функцию, но и ограничения (скажем, бюджетное ограничение в задаче потребительского выбора). Это — задачи математического программирования, для решения которых разработаны специальные методы, также опирающиеся на дифференциальное исчисление.

Важный раздел методов дифференциального исчисления, используемых в экономике, называется методами предельного анализа. Предельный анализ в экономике — совокупность приемов исследования изменяющихся величин затрат или результатов при изменениях объемов производства, потребления и т.п. на основе анализа, их предельных значений. Предельный показатель (показатели) функции у == f (х) — это ее производная (в случае функции одной переменной) или частные производные (в случае функции нескольких переменных).

В экономике широко используются средние величины: средняя производительность труда, средние издержки, средний доход, средняя прибыль и т.д. Но часто требуется узнать, на какую величину вырастет результат, если будут увеличены затраты или, наоборот, насколько уменьшится результат, если затраты сократятся. С помощью средних величин ответ на этот вопрос получить невозможно. В подобных задачах требуется определить предел отношения приростов результата и затрат, т.е. найти предельный эффект. Следовательно, для их решения необходимо применение методов дифференциального исчисления — нахождение производной в случае функции одной переменной и частных производных, если функция зависит от нескольких аргументов.

Так, например, если задана производственная функция: у = f (Х..., х,,... .Хд), где х — объем затрачиваемого i -то ресурса (f=l,...,n), у — максимальный объем выпуска, который можно получить, затрачивая ресурсы соответственно в объемах х^,...,х^...х^, то предельный эффект от использования i -то ресурса ( р,) определяется следующим образом:

Здесь величина p1, дополнительному объему выпуска, который получается в результате затраты дополнительной величины хi. i -го ресурса при неизменных объемах остальных ресурсов.

Показатель предельного эффекта в оптимизационных моделях применяется для нахождения оптимального объема производства при заданных ресурсах, а тарже для определения оптимального распределения ограниченных ресурсов по различным направлениям их использования. Если максимизируемый показатель (например, прибыль) есть разность результата и издержек (в данном случае результат представлен выручкой), то в оптимальной точке предельная выручка должна равняться предельным издержкам. Такое равенство должно выполняться по каждому из факторов, определяющих выручку и издержки, что вытекает из необходимости равенства нулю частных производных прибыли по всем этим факторам. Необходимые и достаточные условия оптимума во многих экономических задачах записываются с помощью частных производных и дифференциалов.

Так, если решается задача на максимум выпуска, описываемого с помощью приведенной выше производственной функции, при наличии ограничения по общему расходу денежных средств на используемые в производстве ресурсы, то в оптимальной точке должны быть равны между собой отношения предельных производительностей ресурсов д. и их цен. Иными словами, для всех ресурсов должен быть одинаков предельный эффект в расчете на единицу дополнительно расходуемых на эти ресурсы денежных средств.

В задаче потребительского выбора отношение предельных полезностей благ должно быть равно отношению их цен. Иначе говоря, предельная полезность в расчете на одну денежную единицу должна быть в оптимальной точке одинакова по всем благам; в противном случае бюджет потребителя мог бы быть перераспределен с увеличением его благосостояния. Таким образом, методы дифференциального исчисления позволяют не только решить различные экономические задачи, но и записать необходимые или достаточные условия оптимума в этих задачах, которые позволяют дать ответ на те или иные конкретные вопросы.

Широко используется в экономическом анализе понятие дифференциала, или главной линейной части приращения функции. Так, если некоторая величина у есть функция двух аргументов х1 и х2, то с использованием дифференциала легко рассчитать предельную норму замены между этими аргументами, т.е. величину, показывающую, сколько нужно фактора 2 для замены одной единицы фактора 1 с сохранением значения функции у .

Предельная норма замены важна в задачах потребительского выбора (взаимозаменяемость благ), в задачах оптимизации производства (взаимозаменяемость труда и капитала) и в ряде других задач. Пусть y=f{x1 x2). Если мы хотим сохранить значение функции у неизменным, то это означает, что приращение у , а значит и его главная линейная часть должны быть равны нулю. Иными словами, о = dy = у'X1 • dX1 + у'X2 • dxX2. Отсюда предельная норма замены — - dx1/dx2 = Y’X2/Y’X1 , то есть равняется отношению частных производных функции у по первому и второму факторам.

Методы дифференциального исчисления широко применяются не только для анализа взаимодействия отдельных экономических факторов, определения их взаимозаменяемости или оптимального сочетания, но и в сложных моделях экономики, в частности — в моделях экономической динамики. Дифференциальное исчисление — это не только аппарат, позволяющий находить решения задач с использованием таких моделей, но и необходимый составной элемент для их построения. Динамические модели применяются для решения таких задач, как определение оптимальной или равновесной траектории развития экономической системы, ее состояний в заданные моменты времени, анализ системы на устойчивость, анализ структурных сдвигов и т.п.

Из рассмотренных направлений применения дифференциального исчисления в экономике важнейшим является вопрос нахождения и анализа взаимосвязей экономических переменных, определяющих функционирование экономического объекта или протекание экономического явления.1

Первообразная и неопределенный интеграл

Напомним, что основная задача дифференциального исчисления заключается в следующем: дана функция F(x), требуется найти ее производную (например, найти предельные издержки, зная суммарные издержки). При этом, если производная существует в каждой точке х некоторого промежутка Х , то это также некоторая функция f(x) на Х , такая, что f{x) == F'(x). Однако часто приходится решать и обратную задачу: дана функция f(x), требуется найти функцию F(x) такую, что F'(x)= f (x) (например, найти суммарные издержки, зная предельные издержки). Для решения обратной задачи служит операция интегрирования, обратная операции дифференцирования.

Определение L Дифференцируемая функция F(;c), определенная на некотором промежутке Х, называется первообразной для функции f(x), определенной на том же промежутке, если для всех х из этого промежутка F'(x)= f (x), или, что то же самое dF(x)=f(x)dx.

Пример. Найти какую-либо первообразную для функции f (.х)=3х2. Функция F(x) = х3 является первообразной для f(x)=3x2, так как F'(x) =(x3)’=Зx2 = f(x).

Нетрудно заметить, что первообразная х3 не является единственной для функции Зх2. В самом деле, в качестве первообразной можно было взять и функции: х3 + 5, х3 - 2 и вообще х3 +С, где С —произвольная постоянная, потому что (х3 +С)'=Зх2. Приведем формулировку теоремы, выражающей основное свойство первообразных.

Определение 2. Совокупность всех первообразных для функции f(x), определенных на некотором промежутке Х, называется неопределенным интегралом от функции f(x) на этом промежутке и обозначается символом f{x)dx (читается: «интеграл от эф от икс де икс»). Если F(x) является первообразной для функции f\x) на промежутке Х, то согласно этому определению имеем f(x)dx = F(x) + С.

Определение 3. Функция f(x) называется подынтегральной функцией, f(x)dx — подынтегральным выражением, х —- переменной интегрирования, символ — знаком

неопределенного интеграла, С — постоянной интегрирования.

Основные свойства неопределенного интеграла. Пусть функция F(x) является первообразной для функции f{x) на некотором промежутке Х , т.е. F\x) == f{x). Тогда по определению f{x)dx = F(x) + С. Имеем следующие свойства:

1) Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции. Имеем:

2) Дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению.

Имеем:

3) Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен этой

функции плюс произвольная постоянная. Имеем:

Свойства 1) и 2) используют обычно для проверки результатов интегрирования.

4) Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла, т.е. если а == const 0,

5) Неопределенный интеграл от алгебраической суммы двух непрерывных функций равен алгебраической сумме интегралов от этих функций в отдельности, т.е.

Для исследования совокупности экономических явлений, следующих одно за другим в известном порядке, используется такой математический инструментарий как ряды. Представляя собой совокупность величин, расположенных в определенной последовательности, ряды позволяют зафиксировать тенденцию какого-либо экономического процесса, описываемого совокупностью последовательных явлений.

Ряды

Решение ряда задач сводится к сложению бесконечного числа слагаемых, т.е. ставится проблема обобщения понятия суммы на этот случай. При этом особое внимание надо обратить на то, что это понятие вводится только для членов последовательности. Ни для какого другого бесконечного множества слагаемых сумма не определяется. Для этого обобщения некоторые свойства обычных сумм сохраняются, а другие пропадают.

Сложить бесконечное число слагаемых так, как это делалось для конечных сумм, — сначала сложить первые два слагаемых, затем к ним добавить еще одно, затем — еще одно и т.д., нельзя — этот процесс никогда не закончится. Поэтому для суммы бесконечного числа слагаемых вводится определение.

Определение 1. Пусть задана последовательность аn. Выражение вида

называется рядом, an — п -м или общим членом ряда. Короче (7.4.2) записывается так:

какой буквой обозначается номер члена ряда — безразлично.

Определение 2. Сумма п первых членов ряда называется п -и частичной суммой ряда, ее принято обозначать sn.

Так, для ряда (7.4.2) п -я частичная сумма

Определение 3. Если последовательность Sn частичных сумм ряда имеет предел s, то ряд называется сходящимся, а число s называют суммой этого ряда и пишут аk = s.

Если последовательность Sn не имеет предела, то ряд называется расходящимся.

Коротко говорят: сумма ряда есть предел его частичных сумм. Если же последовательность частичных сумм не имеет предела (ряд расходится), то ряд не имеет суммы.

Ряд aqn-1 будем называть геометрической прогрессией (как и последовательность членов этого ряда).

Пример 1. Геометрическая прогрессия n-1расходится при /q/ 1, a 0 и сходится при /q/ <1, при этом

Прежде всего найдем п -ю частичную сумму этого ряда. Как известно из школьного курса (при q 1),

Приведем пример, который показывает, что действие с рядами по привьгчньм для конечных сумм правилам может привести к неожиданному результату.

Оказалось, что после такой перестановки слагаемых сумма ряда уменьшилась вдвое (в скобках стоит тот же ряд, с которого мы начали).

Этот пример показывает, что правила действий с рядами не всегда повторяют аналогичные правила действий с конечными суммами. Поэтому при вычислениях с рядами надо опираться только на соответствующие теоремы. Ниже будут сформулированы и доказаны основные (и простейшие) теоремы о рядах. Для начала отметим, что конечную сумму

(у выписанного ряда аn = 0 при всех п > k ). Действительно, частичная сумма ряда (7.4.4) при любом п > k будет sn = а1 + а2 + а3 +... + аk + 0 = а, т.е. постоянна, и потому Sn == a, т.е. ряд (7.4.4) сходится и его сумма равна а.

Теорема 1 (об общем множителе).

Если ряд am сходится, то для любого числа ряд am тоже сходится и

Если ряд am расходится и 0, то и ряд am, расходится.

Коротко говорят: общий множитель можно выносить за знак суммы, умножение на ненулевой множитель не нарушает сходимости (расходимости).

Так как am сходится, то последовательность Sn == a1 + a2 + a3 +... + аn имеет предел и, по определению суммы ряда, am = . Выпишем далее частичную сумму ряда , am:

поэтому limSn = lim Sn = lim Sn == am. Поэтому ряд am сходится и

Для доказательства второй части теоремы предположим, что ряд am сходится. Тогда (по первая части теоремы) сходится ряд 1/ ( am), что противоречит условию теоремы (второй части). Полученное противоречие показывает, что сделанное предположение неверно и потому ряд am расходится.

Теорема 2 (сумма рядов).

Если ряды am и bm сходятся, то сходится ряд (am + bm):

Ряд (am + bm) и ряд (am - bm):будем называть рядом-суммой.

Так как am сходится, то существует lim sn = am , Sn = a1 + a2 + a3 +... + аn . Так как bm сходится, то существует lim bm. Выпишем частичную сумму ряда-суммы:

Sn = (a1 + b1 )+( a2 + b2) +... + (аn+ bn) = (a1 + a2 +….+ an ) +(b1 + b2 +….+ bn)=Sn + m

Поэтому последовательность Sn имеет предел (так как Sn и n имеют пределы), т.е. ряд-сумма сходится:

Пример 3.

Следствие. Если ряд am сходится, а ряд bm расходится, то ряд-сумма (am+bm) расходится.

Действительно, предположим, что ряд-сумма сходится, тогда, по теореме 2, сходится ряд-сумма ((am+ bm )- am) гфотиворечит условию. Следствие доказано.

Заметим еще, что если оба ряда расходятся, то ряд-сумма может оказаться как сходящимся рядом (если, например, bm )=-am, так и расходящимся (если, например, am =bm)

Теорема 3.

Изменение конечного числа членов ряда не нарушает его сходимости (расходимости).

Другими словами, расходящийся ряд остается расходящимся, а сходящийся ряд остается сходящимся, хотя сумма ряда при этом, как правило, изменяется.

Пусть у ряда am как-то изменены первые k членов. При этом получился ряд bm , у которого am =bm при всех от m > k. Положим сm = bm –аm. Тогда ряд сm сходится, так как сm = 0 при всех m > k. Поэтому ряд-сумма (am + сm) == bm сходится, если сходится ряд am и расходится, если расходится ряд am.

Из этой теоремы следует, что при изучении сходимости ряда можно изменять, как нам удобно (или вообще отбрасывать), конечное число членов ряда — на его сходимость (расходимость) это не влияет.

Первый вопрос, который обычно выясняется относительно ряда — сходится он или расходится, а для сходящегося ряда уже можно ставить вопрос о вычислении его суммы (точном или приближенном).

Для ответа на первый вопрос существуют теоремы, которые называются признаками сходимости.

Теорема 4 (необходимый признак сходимости ряда).

Если ряд an сходится, то lim an = 0.

Пусть сумма ряда равна s. Так как sn = sn-1 + an, то

Очень важное замечание. Ниже будет доказано, что ряд 1/n — (его называют гармоническим рядом) расходится, хотя lim 1/n = 0.

Теорема 5 (достаточный признак расходимости ряда). Если lim an или не существует, то ряд an расходится.

Предположим, что ряд an сходится. Тогда lim an = 0 (теорема 4), что противоречит условию теоремы 5. Следовательно, an расходится.

Пример 4. Ряд aqn-1 расходится при и /q/ 1, так как lim aqn-1 . Ряд расходится, так как lim =-2/7 0.

Пример 5. Ряд cos — расходится, так как не существует lim cos

Описание экономических, отношений и процессов посредством совокупности переменных, часть которых изменялась с течением времени и обеспечивала функциональное изменение другой части, искомой в рамках данного экономического исследования, происходит с использованием дифференциальных уравнений, рассмотрением которых мы и займемся.

Дифференциальные уравнения

Решение многих задач экономики сводится к следующему: требуется найти неизвестную функцию у = у(х), если известно уравнение, содержащее : x, y(x), y’(x), …, y(n)(x).

Такие уравнения называются дифференциальными уравнениями.

Определение 1. Дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение вида

Примеры дифференциальных уравнений первого порядка:

Определение 2. Функция называется решением дифференциального уравнения (7.4.9) на интервале I, если для всех х I

F(x, (x), ’(x)))=0. (7.4.10)

Коротко говорят: функция (р удовлетворяет дифференциальному уравнению. Пример 6. Для дифференциального уравнения

функция у = sin х будет решением, так как у'== cos x и

для всех х, т.е. интервалом I здесь является все множество действительных чисел. А функция у = х2 не является решением дифференциального уравнения (7.4.11) ни на каком интервале, так как у’== 2х и равенство

выполнено только для отдельных значений х — нет такого интервала, на котором равенство выполнялось бы для всех х.

Определение 3. Решить дифференциальное уравнение — это значит найти все решения этого уравнения. Совокупность всех решений заданного дифференциального уравнения называется общим решением этого уравнения.

Пример 7. Для дифференциального уравнения

общее решение дается формулой

Пример 8. Все решения дифференциального уравнения

на интервале (- , ) даются формулой

Это есть общее решение заданного уравнения.

Далее мы выпишем некоторые типы дифференциальных уравнений и решим их, т.е. найдем их общее решение.

Определение 4. Дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными уравнение вида

Теорема 1.

Общее решение дифференциального уравнения (7.4.12) дается формулой

Эта формула задает у как функцию от х неявно. Если уравнение (7.4.13) решить относительно у , то получим решение явно.

Для доказательства теоремы надо проверить два факта: 1) каждая функция, удовлетворяющая равенству (7.4.13) на некотором интервале I есть решение уравнения (7.4.12) на интервале J ; 2) каждое решение уравнения (7.4.12) на интервале I есть функция, удовлетворяющая уравнению (7.4.13) на этом интервале I .

1) Пусть функция удовлетворяет уравнению (7.4.13) на некотором интервале I .

Это значит, что для любого х I выполнено равенство

Дифференцируя это тождество на I, получаем g(( (x)) ’= (х), т.е. функция (р есть решение уравнения (7.4.12) на I .

2) Пусть функция (р есть решение уравнения (7.4.12) на интервале J . Это значит, что для любого х I выполнено равенство g{( (x)) ’= (x), и потому

т.е. функция удовлетворяет уравнению (7.4.13) на I .

Пример 9. Решим дифференциальное уравнение

Переписав это уравнение в виде

получаем дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Про сделанное преобразование говорят: «разделим переменные». Далее по теореме 1 выписываем общее решение:

Общее решение получено в неявном виде. Отсюда можно получить общее решение заданного уравнения в явном виде:

Стохастичность, ши вероятностный характер, большинства экономических явлений, рассматриваемых в перспективе, требует, от экономиста использования особого инструментария, позволяющего оценить все возможные варианты развития событий. Для этой цели используется теория вероятностей — раздел математики, изучающий законы случайных явлений и их приложения к явлениям массовым, в том числе и экономическим.

Предмет теории вероятности.

Наблюдаемые нами события (явления) можно подразделить на следующие три вида: достоверные, невозможные и случайные.

Достоверным называют событие, которое обязательно произойдет, если будет осуществлена определенная совокупность условий S . Например, если в сосуде содержится вода при нормальном атмосферном давлении и температуре 20°С, то событие «вода в сосуде находится в жидком состоянии» есть достоверное. В этом примере заданные атмосферное давление и температура воды составляют совокупность условий ,S .

Невозможным называют событие, которое заведомо не произойдет, если будет осуществлена совокупность условий S. Например, событие «вода в сосуде находится в твердом состоянии» заведомо не произойдет, если будет осуществлена совокупность условий предыдущего примера.

Случайным называют событие, которое при осуществлении совокупности условий S может либо произойти, либо не произойти. Например, если брошена монета, то она может упасть так, что сверху будет либо герб, либо надпись. Поэтому событие «при бросании монеты выпал герб» — случайное. Каждое случайное событие, в частности выпадение герба, есть следствие действия очень многих случайных причин (в нашем примере: силы, с которой брошена монета, формы монеты и многих других).

Невозможно учесть влияние на результат всех этих причин;, поскольку число их очень велико и законы их действия неизвестны. Поэтому теория вероятностей не ставит перед собой задачу предсказать, произойдет единичное событие или нет, — она просто не в силах это сделать.

По-иному обстоит дело, если рассматриваются случайные события, которые могут многократно наблюдаться при осуществлении одних и тех же условий S, т.е. если речь идет о массовых однородных случайных событиях. Оказывается, что достаточно большое число однородных случайных событий независимо от их конкретной природы подчиняется определенным закономерностям, а именно вероятностным закономерностям. Установлением этих закономерностей и занимается теория вероятностей.

Итак, предметом теории вероятностей является изучение вероятностных закономерностей массовых однородных случайных событий.

Знание закономерностей, которым подчиняются массовые случайные события, позволяет предвидеть, как эти события будут протекать. Например, хотя, как было уже сказано, нельзя наперед определить результат одного бросания монеты, но можно предсказать, причем с небольшой погрешностью, число появлений герба, если монета будет брошена достаточно большое число раз. При этом 'предполагается, конечно, что монету бросают в одних и тех же условиях.

Методы теории вероятностей широко применяются в различных отраслях естествознания и техники: в теории надежности, теории массового обслуживания, в теоретической физике, геодезии, астрономии, теории стрельбы, теории ошибок наблюдений, теории автоматического управления, общей теории связи и во многих других теоретических и прикладных науках. Теория вероятностей- служит также для обоснования математической и прикладной статистики, которая в свою очередь используется при планировании и организации производства, при анализе технологических процессов, предупредительном и приемочном контроле качества продукции и для многих других целей.

В последние годы методы теории вероятностей все шире и шире проникают в различные области науки и техники, способствуя их прогрессу.

Краткая историческая справка. Первые работы, в которых зарождались основные понятия теории вероятностей, представляли собой попытки создания теории азартных игр (Кардано, Гюйгенс, Паскаль, Ферма и другие в XVI—XVII вв.).

Следующий этап развития теории вероятностей связан с именем Якоба Бернулли (1654—1705). Доказанная им теорема, получившая впоследствии название «Закона больших чисел», была первым теоретическим обоснованием накопленных ранее фактов.

Дальнейшими успехами теория вероятностей обязана Муавру, Лапласу, Гауссу, Пуассону и др.

Новый, наиболее плодотворный период связан с именами П.Л. Чебышева (1821—1894) и его учеников А.А. Маркова (1856—1922) и А.М. Ляпунова (1857—1918). В этот период теория вероятностей становится стройной математической наукой. Ее последующее развитие обязано в первую очередь русским и советским математикам (С.Н. Бернштейн, В.И. Романовский, А.Н. Колмогоров, А.Я. Хинчин, Б.В. Гнеденко, Н.В. Смирнов и др.).

Основные понятия теории вероятностей

Испытания и события.

Выше событие названо случайным, если при осуществлении определенной совокупности условий S оно может либо произойти, либо не произойти. В дальнейшем, вместо того чтобы говорить «совокупность условий S осуществлена», будем говорить кратко: «произведено испытание». Таким образом, событие будет рассматриваться как результат испытания.

Пример 10. Стрелок стреляет по мишени, разделенной на четыре области. Выстрел — это испытание. Попадание в определенную область мишени — событие.

Пример 11. В урне имеются цветные шары. Из урны наудачу берут один шар. Извлечение шара из урны есть испытание. Появление шара определенного цвета — событие.

Виды случайных событий.

События называют несовместными, если появление одного из них исключает появление других событий в одном и том же испытании.

Пример 12. Из ящика с деталями наудачу извлечена деталь. Появление стандартной детали исключает появление нестандартной детали. События «появилась стандартная деталь» и «появилась нестандартная деталь» — несовместные.

Пример 13. Брошена монета. Появление «герба» исключает появление надписи. События «появился герб» и «появилась надпись» — несовместные.

Несколько событий образуют полную группу, если в результате испытания появится хотя бы одно из них. Другими словами, появление хотя бы одного из событий полной группы есть достоверное событие. В частности, если события, образующие полную группу, попарно несовместны, то в результате испытания появится одно и только одно из этих событий. Этот частный случай представляет для нас наибольший интерес, поскольку используется далее.

Пример 14. Приобретены два билета денежно-вещевой лотереи. Обязательно произойдет одно и только одно из следующих событий: «выигрыш выпал на первый билет и не выпал на второй», «выигрыш не выпал на первый билет и выпал на второй», «выигрыш выпал на оба билета», «на оба билета выигрыш не выпал». Эти события образуют полную группу попарно несовместных событий.

Пример 15. Стрелок произвел выстрел по цели. Обязательно произойдет одно из следующих двух событий: попадание, промах. Эти два несовместных события образуют полную группу.

События называют равновозможными, если есть основания считать, что ни одно из них не является более возможным, чем другое.

Пример_16 Появление «герба» и появление надписи при бросании монеты— равновозможные события. Действительно, предполагается, что монета изготовлена из однородного материала, имеет правильную цилиндрическую форму и наличие чеканки не оказывает влияния на выпадение той иной стороны монеты.

Пример 17. Появление того или иного числа очков на брошенной игральной кости— равновозможные события. Действительно, предполагается, что игральная кость изготовлена из однородного материала, имеет форму правильного многогранника и наличие очков не оказывает влияния на выпадение любой грани.

Классическое определение вероятности.

Вероятность — одно из основных понятий теории вероятностей. Существует несколько определений этого понятия. Приведем определение, которое называют классическим. Далее укажем слабые стороны этого определения и приведем другие , определения, позволяющие преодолеть недостатки классического определения.

Рассмотрим пример. Пусть в урне содержится б одинаковых, тщательно перемешанных шаров, причем 2 из них — красные, 3 — синие и 1 — белый. Очевидно, возможность вынуть наудачу из урны цветной (т.е. красный или синий) шар больше, чем возможность извлечь белый шар. Можно ли охарактеризовать эту возможность числом? Оказывается, можно. Это число и называют вероятностью события (появления цветного шара). Таким образом, вероятность есть число, характеризующее степень возможности появления события.

Поставим перед собой задачу дать количественную оценку возможности того, что взятый наудачу шар цветной. Появление цветного шара будем рассматривать в качестве события А. Каждый из возможных результатов испытания (испытание состоит в извлечении шара из урны) назовем элементарным исходом (элементарным событием). Элементарные исходы обозначим через co^cd^o)^ и т.д. В нашем примере возможны следующие б элементарных исходов: w1 — появился белый шар; w2, w3, — появился красный шар; w4, w5, w6—появился синий шар.

Легко видеть, что эти исходы образуют полную группу попарно несовместных событий (обязательно появится только один шар) и они равновозможны (шар вынимают наудачу, шары одинаковы и тщательно перемешаны).

Те элементарные исходы, в которых интересующее нас событие наступает, назовем благоприятствующими этому событию. В нашем примере благоприятствуют событию А (появлению цветного шара) следующие 5 исходов: w2, w3, w4, w5, w6.

Таким образом, событие А наблюдается, если в испытании наступает один, безразлично какой, из элементарных исходов, благоприятствующих А; в нашем примере А наблюдается, если наступит w2, или w3, или w4, или w5, или w6. В этом смысле событие А подразделяется на несколько элементарных событий (w2, w3, w4, w5, w6); элементарное же событие не подразделяется на друтие события. В этом состоит различие между событием А и элементарным событием (элементарным исходом).

Отношение числа благоприятствующих событию А элементарных исходов к их общему числу называют вероятностью события А и обозначают через Р(А).

В рассматриваемом примере всего элементарных исходов 6; из них 5 благоприятствуют событию А. Следовательно, вероятность того, что взятый шар окажется цветным, равна Р(А)=5/6. Это число и дает ту количественную оценку степени возможности появления цветного шара, которую мы хотели найти. Дадим теперь определение вероятности.

Вероятностью события А называют отношение числа благоприятствующих этому событию исходов к общему числу всех равновозможных несовместных элементарных исходов, образующих полную группу. Итак, вероятность события А определяется формулой

где т — число элементарных исходов, благоприятствующих А; п — число всех возможньк элементарных исходов испытания.

Здесь предполагается, что элементарные исходы несовместны, равновозможны и образуют полную группу. Из определения вероятности вытекают следующие ее свойства:

Свойство 1 Вероятность достоверного события равна единице.

Действительно, если событие достоверно, то каждый элементарный исход испытания благоприятствует событию. В этом случае те = п, следовательно,

Свойство 2. Вероятность невозможного события равна нулю.

Действительно, если событие невозможно, то ни один из элементарных исходов испытания не благоприятствует событию. В этом случае т = 0, следовательно,

Своиство_3. Вероятность случайного события есть положительное число, заключенное между нулем и единицей.

Действительно, случайному событию благоприятствует лишь часть из общего числа элементарных исходов испытания. В этом случае 0 < т < п, значит, 0 < т / п < 1, следовательно,

Итак, вероятность любого события удовлетворяет двойному неравенству

7.5. Информатика

основы функционирования ЭВМ; персональные ЭВМ; вычислительные системы; вычислительные сети; языки программирования экономических задач

Стремительное возрастание роли информационной сферы, рост способов ее автоматизации привело к созданию компьютеров и в целом компьютеризации науки и общества. Компьютеризация стала неотъемлемой частью и экономического пространства. Различение последовательности проявления целостного воспроизведения информационной сферы через различные этапы ее автоматизации происходит в рамках рассмотрения основ функционирования ЭВМ.

Вся .информация в компьютере кодируется с помощью чисел. Мы в своей жизни используем десятичную систему счисления. Систему, в которой все возможные числа выражаются с помощью десяти цифр от нуля до девяти. Эта система настолько естественна для нас, что возникает вопрос: «Разве может быть по-другому?»

Процессор обрабатывает информацию, которая представлена в виде электрических сигналов. Поэтому очень удобно для процессора кодировать числа с помощью всего двух состояний: есть напряжение или нет напряжения сигнала. Присутствие напряжения называют уровнем логической единицы, отсутствие — уровнем логического нуля. Почему логического? Потому что на самом деле мы подразумеваем 0 или 1 под уровнем напряжения. Если в вашей квартире отключили электричество, то можно сказать, что в розетке присутствует уровень логического нуля.

Таким образом, процессор кодирует все числа с помощью всего двух цифр 0 и 1. Это называется двоичной системой счисления. Человечество не сразу пришло к десятичной системе. В качестве основной причины, почему люди используют десятичную систему счисления, ученые называют десять пальцев на обеих руках. Скорее всего, это так. Но предположим, что у нас в распоряжении всего две цифры 0 и 1. Можно ли выразить все числа с помощью всего двух цифр? Можно. Ниже показан пример соответствия десятичной и двоичной систем. Десятичная система 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Двоичная система о 1 10 11 100 101 110 111 1000 1001 1010 1011 Переход от одной системы счисления к другой можно продемонстрировать на примере десятичного числа 12, которое в двоичном выражении выглядит так: 1100.

В этом примере числа раскладываются на разряды. Число 1100 состоит из четырех разрядов, которые пронумерованы от нуля до трех, а число 12 — из двух.

Процессор Pentium может за один прием передавать 32-х разрядные двоичные числа, то есть в процессор входит 32 провода для одновременной передачи 32-х разрядов. Двести восемьдесят шестые процессоры могли передавать за один прием только 16 разрядов.

Поэтому 32-х разрядный процессор при передаче данных работает как минимум в два раза быстрее 16-ти разрядного.

Один 0 или одна 1 называется битом. Другими словами, один разряд двоичного числа называется битом. Восемь бит образуют байт. Объемы хранимой информации в компьютере измеряются именно в байтах. 1024 байт образуют один килобайт, который обозначается как 1 Кб. Именно 1024, а не 1000, так как система счисления двоичная, а не десятичная. 1024 Кб образуют один мегабайт — 1 Мб. На обычном трехдюймовом диске может быть записано 1 457 664 байт или округленно — 1,44 Мб.

Много это или мало? Символы алфавита в компьютере кодируются с помощью одного байта, таким образом, на дискете может быть записано почти полтора миллиона текстовых символов, книга почти в тысячу страниц! К сожалению, сегодня это очень мало. На дискете может поместиться всего 17 секунд качественного стереозвука. Цветное изображение формата А4 может занимать более 20 Мб. Для хранения информации таких объемов используют CD-ROM диски. Отметим, что емкость CD-ROM диска составляет более 600 Мб.

В последнее время наметилась тенденция при подсчетах емкости дисков и памяти округлять килобайт до 1000 байт, «втискивая» таким образом килобайты и мегабайты в привычную десятичную систему.

На жестком диске компьютера может храниться любая информация: программы, текстовые документы, графические изображения, видеоклипы, звуки и т.д. и т.п. Удивительно, но все это богатство информации кодируется с помощью всего двух логических состояний: включено или выключено, единица или ноль. Каким же образом это достигается?

Кодирование текста

Кодирование текста осуществляется с помощью специальных программных кодовых таблиц. Каждому символу латинского и русского алфавита соответствует свое уникальное восьмибитовое число, т.е. байт. Можете называть это число номером. Для символов латинского алфавита кодовая таблица одинакова для всех компьютеров и всех операционных систем. Для русского языка это не так. Для операционной системы DOS [ДОС] 1 используется одна кодовая таблица, а для Windows [Виндоуз или Уиндоуз] — другая. Таким образом, русские тексты, созданные в DOS, нельзя просматривать в Windows без специального преобразования.

Это связано с тем, что разработчики этих операционных систем — американцы, и они изначально не заботились о том, чтобы было удобно работать с русским алфавитом в любой операционной системе. Зато они позаботились о том, чтобы латинский алфавит был жестко стандартизован, и разработали код ASCII [АСКИИ] — American Standard Code for Information Interchange (Американский стандартный код для информационного обмена).

Это набор восьмибитовых чисел, который жестко определяет 128 символов с кодами от 0 до 127, сюда входят символы латинского алфавита, а коды от 128 до 255 предназначены для кодирования символов национальных алфавитов других стран. В этом наборе также стандартизированы коды некоторых клавиш, например. Tab и Enter.

Когда вы нажимаете клавишу С на клавиатуре вашего компьютера, специальной программе передается номер нажатой клавиши. Но не код символа «С». Программа просматривает кодовую таблицу и находит, что полученному номеру нажатой клавиши соответствует код символа «С». Затем программа может передать код символа «С» видеокарте, которая генерирует поточечное изображение символа «С» на экране монитора

(Рис.7.5.1).

Таким образом, соответствие между нажатой клавишей и изображением символа на экране чисто программное. Более того, внешний вид изображения символов на экране также определяется с помощью программы. Такая программа называется драйвером клавиатуры и экрана.

Драйвер — это программа-посредник между оборудованием и другими программами. Назначение драйвера клавиатуры и экрана заключается в том, чтобы вычислить код символа по кодовой таблице, соответствующий номеру нажатой клавиши, создать изображение символов на экране монитора в соответствии с кодом вычисленного символа и передать код символа, соответствующего нажатой клавише, другим программам, например, текстовому редактору. Раньше для DOS не было драйверов клавиатуры, поддерживающих русский алфавит, поэтому использовались драйверы отечественных разработчиков-программистов. Эти драйверы немного отличаются друг от друга, в результате такие символы, как точка, запятая, вопросительный знак и некоторые другие могут находиться на разных клавишах при использовании разных драйверов. Но это не мешает обмениваться текстами между компьютерами.

В настоящее время это соответствие для русского алфавита стандартизировано и является одной из функций всех русифицированных операционных систем.

Таким образом, тексты хранятся на диске или в памяти в виде чисел и программным способом преобразовываются в изображения символов на экране.1

Использование для реализации взаимодействия с информационной сферой в рамках персонального доступа к информатизации компьютеров, воспроизводящих такие условия доступа к информационной сфере, которые обеспечивают пользователю независимость, конфиденциальность, привело к широкой популярности персональных компьютеров, в том числе и среди экономистов.

Распакуем коробки и соберем компьютер

После того, как вы принесли коробки с системным блоком, монитором, клавиатурой, мышью и принтером из магазина домой или на работу, необходимо собрать компьютер, т.е. соединить проводами все части компьютера. Не волнуйтесь, это довольно простая процедура. Вряд ли вы сможете сделать что-нибудь не так. Главное не торопитесь и не применяйте силу, все разъемы вставляются достаточно легко. Внимательно посмотрите на заднюю стенку системного блока, примерный вид стенки представлен на рис. 7.5.2.

Вы обязательно увидите панельки с разъемами для подключения всех ваших устройств. Каждый разъем с двух сторон снабжен болтами, а ответная часть гайками, чтобы можно было надежно зафиксировать соединение. Обратите внимание, что все разъемы имеют форму трапеции, поэтому соединяются однозначным способом.

Сначала подключим монитор. К нему должны прилагаться два кабеля: один сетевой,. второй высокочастотный для передачи видеосигнала. Часто кабели жестко приделаны к монитору, но иногда подключаются к нему с помощью разъемов. Если сетевой кабель не имеет обьряюй сетевой вилки, а вместо нее непонятный разъем с тремя штырьками — это означает, что кабель надо воткнуть в разъем с тремя гнездами, который расположен на задней части системного блока.

В этом случае монитор будет включаться и выключаться вместе с компьютером, что очень удобно. Высокочастотный кабель монитора надо подключить к разъему с 15 гнездами, которые расположены в 3 ряда. Обычно этот разъем находится на своей панельке один.

Подключите клавиатуру. Достаньте мышь. Посмотрите на разъем, который находится на ее проводе. Он может быть девятиштырьковый, что бывает чаще всего, или двадцатипятиштырьковый. Воткните его в соответствующее гнездо. Некоторые мыши имеют круглый маленький разъем, похожий на разъем клавиатуры. Просто найдите соответствующее гнездо.

Если у вас есть звуковая карта, то загляните в ее паспорт, чтобы правильно определить гнездо для подключения колонок. Гнездо для колонок обычно помечено надписью Speakers [Спикере] или что-то в этом роде.

После подключения к компьютеру принтера и включения его в сеть на принтере должна загореться лампочка с надписью On-line [Он-лайн] — подключено (в зависимости от . типа принтера возможные варианты: Ready [Рэди] — готов, Selected [Силектид] — выбран). Если лампочка с одним из указанных названий есть, но она не горит, то вставьте бумаги/или попробуйте нажать кнопку с таким же названием, что и лампочка.

Если это не помогло, читайте описание к вашему принтеру, возможно, что оно на русском языке.

В самую последнюю очередь подключите сетевой шнур, но перед этим убедитесь» что выключатель компьютера (иногда выключатель имеет надпись Power) на лицевой панели системного блока поставлен в положение «выключено», что соответствует надписи «Off» [Оф] или «О». Сначала воткните сетевой шнур в системный блок и только затем в сеть.

Еще раз проверьте надежность всех соединений. Теперь можно включать и начинать учиться, играть или работать.1

Информационная сфера, отличаясь наличием большого объема информационных данных и их взаимосвязей, для оперативного вовлечения ее в сферу практической жизнедеятельности человека, в том числе и экономической, требует осуществления ее упорядочения, структуризации, систематизации. Для понимания последовательности реализации данного требования в курсе информатики для экономистов включено рассмотрение вычислительных систем.

Функциии операционной системы

В работе любой программы всегда можно выделить три этапа: ввод информации, обработка информации и вывод результатов. Для ввода информации можно использовать клавиатуру и мышь; обрабатывается информация процессором; вывести результаты можно на диск, экран или принтер. Ввод и вывод информации во всех программах происходит , одинаково с использованием одних и тех же устройств. Поэтому имеет смысл один раз написать программы ввода-вывода для каждого устройства и многократно использовать вместо того, чтобы писать их заново в каждой отдельной программе. Программы ввода-вывода являются неотъемлемой частью операционной системы. Это первая функция операционной системы — обеспечить другие программы единым и стандартным доступом к устройствам ввода-вывода информации.

Во время работы на компьютере вы можете запускать различные программы. Запуск других программ можно назвать второй функцией операционной системы. Чтобы запустить программу, необходимо дать команду операционной системе: «Выполнить данную программу». В ответ вместо запуска программы вы можете получить: «Не моту выполнить программу из-за нехватки памяти». Так строится диалог между вами и компьютером, который сразу после загрузки компьютера осуществляется с помощью операционной системы и который может быть продолжен прикладными программами при их запуске. Диалог между человеком и компьютером — это третья функция операционной системы. В некоторых операционных системах, например, Windows, вы можете выполнять несколько программ одновременно. Причем программы могут взаимодействовать друг с другом. Как могут несколько программ выполняться на одном процессоре одновременно? Дело в том, что на выполнение каждой программы отводится маленький отрезок времени, так называемый квант, по истечении которого начинает выполняться следующая программа, затем следующая и так по кругу. Таким образом, создается иллюзия, что все запущенные программы работают параллельно. Одновременное выполнение нескольких программ очень удобно, например, вы можете копировать текст и рисунки из одной программы в другую. Так вот, управление выполнением одной или нескольких одновременно запущенных программ и обменом информацией между ними — четвертая функция операционной системы.

Что такое файловая система

При работе операционной системы возникает необходимость как-то обозначить или назвать устройства, с помощью которых осуществляется ввод или вывод информации, чтобы была возможность обращаться к ним из прикладных программ. Например, в DOS и Windows дисководы обозначаются буквами латинского алфавита с двоеточием А:, В:, С: и т.д. Эти имена называются логическими, т.е. подразумеваемыми. Причем символы А: и В: всегда обозначают флоппи-дисководы. Следует отметить, что ваш единственный жесткий диск может быть разбит на несколько частей, каждой из которых присвоено отдельное логическое имя. Поэтому, например, логические диски С: и D: могут представлять собой две части одного и того же жесткого диска.

На одном диске может быть записано множество программ, текстов, рисунков. Чтобы как-то различать их, также используются имена. Любая информация, записанная на диске под отдельным именем, называется файлом, что в переводе означает «подшивка». Имена файлов формируются в различных операционных системах по-разному. В операционной системе DOS, а следовательно, и графических оболочках Windows 3.1 и Windows ЗЛ1 имя файла состоит максимум из 8-ми символов. Можно использовать буквы, цифры и символы: $ @ & # ! % () — _~. Строчные и прописные (большие и маленькие) буквы не различаются. Следует отметить, что некоторые версии DOS не позволяют использовать русские буквы в названиях файлов. Другие символы, такие, как пробел, плюс, двоеточие и т.д., применять не разрешается. К имени любого файла через точку может быть добавлено необязательное расширение из трех символов: ZAPISKA.TXT, где ZAPISKA — это имя, ТХТ — расширение, которое обычно указывает тип содержимого файла. Например, расширения ЕХЕ [Экзе] и СОМ [Ком] содержат файлы с кодами программ.

Ниже приводятся примеры правильных и неправильных имен файлов для операционной системы DOS и графических оболочек Windows 3.1 и Windows 3.11.

В отличие от DOS в Windows 95 и Windows NT вы можете создавать имена длиною до 255 символов и при этом использовать в имени пробелы. Это огромное преимущество, сравните ZAPISKA.DOC и Записка о неотложных делах на завтpa.DOC.

Каталоги

Файлы на дисках объединяются в каталоги, или директории. Каталоги—это записи на дисках, которые содержат имена файлов и других каталогов. Таким образом, каталог нечто вроде ящика с названием, в котором находятся ваши книги-файлы. При этом в ящике, кроме книг, могут быть и другие ящики с книгами. Самый главный каталог, в котором находятся все другие каталоги на любом диске, обозначают косой чертой «\» и называют корневым. Почему корневым? Потому что вложенные каталоги образуют структуру, напоминающую дерево, которое растет вниз. На Рис. 7.5.3 представлено дерево каталогов в том виде, в каком оно часто отображается в различных программах. Каталоги DOS, FAX, GAMES и DOCUM находятся в корневом каталоге «\». Каталоги IN и OUT находятся в каталоге FAX, такие каталоги часто называют подкаталогами, или поддиректориями. В то же время директория FAX называется родительской для директорий IN и OUT.

Каталоги — это средство для наведения порядка. Вместо того, чтобы сваливать все файлы вместе на одном диске, лучше и удобнее для поиска разместить их «по полочкам», т.е. по каталогам: игры в одном каталоге, бухгалтерия в другом, документы в третьем и т.д. Имена каталогов образуются точно так же, как и имена файлов. Расширение у каталогов обычно отсутствует.

Путь к файлу и полное имя файла

Предположим, что на диске С: в подкаталоге LEVELS в файле с именем IGRA.EXE находится наша любимая игра. Подкаталог LEVELS расположен в подкаталоге PRINCE, который в свою очередь находится в каталоге GAMES.

В этом случае говорят, что C:\GAMES\PRINCE\LEVELS является полным путем к файлу IGRA.EXE, a C:\GAMES\PRINCE\LEVELS\IGRA.EXE — полньм именем файла нашей любимой игры. Обратите внимание, С:\ является обозначением корневого каталога на диске С: (рис.7.5.4).

Обозначение последовательных и параллельных порто

вКак вы уже знаете, в компьютере есть несколько устройств, которые называют портами. Так как в компьютере может быть несколько параллельных и последовательных портов, то в DOS и Windows последовательные порты обозначаются как СОМ1:, COM2:, COM3: и т.д., а параллельные — LPT1:, LPT2: и т.д.1

Необходимость реализации последовательного постадийного взаимодействия пользователя с информационной сферой структурированной таким образом, что информация отображается через информационные линии, систематизированные особым образом, приводит ко все более широкому применению вычислительных сетей, в том числе и в экономическом пространстве.

Интарнет-весь мир на рабочем столе

Представьте себе, что ваш друг находится в США или Новой Зеландии. У него и у вас есть компьютер и модем1. Тогда с помощью сети Интернет вы можете легко и быстро обмениваться текстами, рисунками и другой информацией, причем довольно дешево в смысле денег и не выходя из квартиры. Этот способ общения называется электронной почтой. Для подключения к сети Интернет вам надо найти фирму, которая за умеренную плугу даст вам специальную программу и номер телефона для выхода в сеть и сетевой адрес. Такие фирмы называют провайдерами, от английского provide — снабжать, обеспечивать. Если вы еще не купили модем и хотите подключиться к сети Интернет, спросите у провайдера, какие модемы стоят у него, и купите себе такой же. В этом случае связь будет более надежной и быстрой, так как современные модемы различных производителей не всегда хорошо работают друг с другом. Далее вы, используя модем и программу, подключаетесь к компьютеру провайдера и через него можете общаться со веем миром. При этом не надо платить за международную телефонную связь. Телефонные линии часто называют коммутируемыми линиями связи, так как для подключения абонента используются коммутации или переключения на телефонной станции, что вносит сильные помехи и ограничивает скорость передачи информации. Отметим; что компьютеры различных провайдеров связаны друг с другом не телефонными линиями, а высокоскоростными каналами связи: прямыми соединениями без коммутаций, спутниковыми радиоканалами и т.п.

Что можно делать в Интернете, кроме передачи и получения электронной почты? В Интернете существуют так называемые конференции, в них могут размещаться новости, анекдоты, коммерческие предложения и любая другая информация, которая может быть определенному кругу людей. Например, ученые из разных стран, но работающие над одной е той же проблемой, могут обмениваться информацией через конференции в Интернете. Чтобы подписаться на получение информации из определенной конференции, надо просто послать электронное письмо (или, проще говоря, текст) с командой subscribe (подписка) в адрес этой конференции. После этого при каждом входе в Интернет вы будете получать заголовки новых статей или разделов, появившихся в конференции с момента вашего последнего подключения. Просматривая список заголовков, вы можете пометить нужные темы и отослать список обратно в адрес конференции, чтобы получить статьи отмеченных, тем целиком. При этом вы сами можете посылать свою информацию в конференции. Другой вариант получения новостей заключается в том, чтобы вставить свой адрес в так называемые списки рассылки. Тогда вся информация, посланная в адрес списка рассылки, будет автоматически рассылаться всем заинтересованным адресатам. Использование конференций — один из самых лучших способов завести новых друзей в любых точках земного шара. Существуют тысячи конференций на любые темы — от туризма до обсуждения новых видеофильмов. Для поиска нужной конференции можно послать запрос на так называемый информационный сервер, специальный компьютер, который знает, где и что находится в сети Интернет.

Практически все фирмы-разработчики программного обеспечения распространяют демонстрационные версии своих новых программ через Интернет. Если вы хотите поиграть в новейшую игру или познакомиться с новейшей программой, связанной с вашей профессиональной деятельностью, все это можно получить из Интернета. В Интернете представлены электронные каталоги многих крупных библиотек мира, а также издательств и книготорговых фирм. Вы можете заказать себе нужную книгу, не отходя от компьютера. Более того, торговля в Интернете развивается, и вы можете попробовать заказать себе многие товары по почте, но для этого у вас должна быть кредитная карта.

Работать в сети Интернет довольно просто. Для этого разработан специальный интерфейс, который называется WWW или World Wide Web [Уолд Уайд Вэб] — всемирная паутина. С помощью WWW информация с удаленного компьютера выглядит у вас на экране в виде текста с рисунками. Причем в текст включены так называемые перекрестные ссылки: специальные слова, словосочетания и рисунки, которые можно выбирать мышью. Например, выбрав с помощью мыши словосочетание «отдых на Багамских островах», вы перейдете на следующую страницу текста, которая содержит выбранную- тему. Вы как бы листаете страницы книги, не замечая того, что информация с одной страницы передана вам с компьютера США, а с другой страницы — с компьютера во Франции. Говорят, что сеть Интернет знает ответы на любые вопросы. Если не на все, то наверное, на большинство.1

Особая организация последовательности взаимодействия пользователя с информационной сферой, описывающей экономическое пространство, приводит к необходимости фиксации особого способа программирования, учитывающего специфические требования экономиста к структуризации необходимой информации и способам ее обработки и хранения. Таким образом, в -курсе информатики для экономистов предусмотрено обязательное рассмотрение языков программирования экономических задач,

Первой проблемой, с которой сталкиваются лица, принимающие решения в оргсистемах, является невозможность априорного описания универсума состоянии объекта управления А и фактическая невыполнимость требования разделимости описаний объекта. управления и окружающей среды,

Вторая проблема выработки решений оргсистемах порождается нарушением аксиомы наблюдаемости. В социально-экономических, политических процессах постановка научных экспериментов исключена. Для того, чтобы решение задачи принятия стало наукой требуется, чтобы отражение G не просто существовало, а было бы всюду однозначно определенным на множестве AxWxXxa*xT. Необъективность отображения G уже порождает свой круг проблем. И все гораздо сложнее, когда мы не можем ничего предложить в качестве (пусть неоднозначного) отображения G. Отсутствие отображения G, всюду однозначно определенного на AxWxXxa*xT, в специальной литературе принято обозначать неформсигизуемостъю процессов или неполной формализуемостъю.

Третья проблема — ограниченная управляемость организационных систем. Проявляется ограниченная управляемость в том, что не всякая цель достижима (т.е. даже при Т) или достижима с желаемой точностью.

Четвертая, проблема — многокритериальность оценок и выбор решений в оргсистемах (многокритериальность решений) Многокритериальность решений в оргсистемах принципиально неустранима в силу того, что данная система всегда есть элемент более широкой макросистемы: предприятие входит в ведомство, ведомство в определенный сектор экономики, государство живет в мировом сообществе и т.д.

Многокритериальность и отмеченные ранее неоднозначности решений породили специфическую часть в процедурах решений в оргсистемах, отсутствовавшую при управлешш механическими системами и объектами. А именно появились две части: выработка (подготовка) решения и принятие решения.

Пятая, проблема — редкая повторяемость в целом ситуаций, в которых принимаются решения в оргсистемах, хотя отдельные их черты и могут быть относительно устойчивы. Суть проблемы в том, что при отсутствии строгих методов вычисления субъективных вероятностей нельзя использовать алгебраические операции и другие операции высшей математики, в которых соответствующие оценки считаются точными числами. Нарушение этого принципа означает негласную подмену одних понятий другими. Требуется разработка специальных процедур, дающих возможность использовать в оценке достоверности результатов функционирования оргеистем неточные знания о вероятностях • отдельных событий.

Шестая проблема — большая значимость фактора времени. Это предъявляет жесткие требования к продолжительности процедур подготовки и принятия решений в оргсистемах.

Остальные проблемы являются производными от рассмотренных. Их решение так же важно, как и решение перечисленных, и потому они должны быть в поле зрения специалистов. Формулировки и методы решения производных проблем можно найти в специальной литературе. Мы сосредоточимся на путях решения нами сформулированных проблем, сведя их в комплексную проблему: подготовка и принятие решений в человеко-машинных системах происходит в условиях неопределенности данных, многокритериальное™, редкой повторяемости в целом ситуаций, жестких требований к оперативности средств поддержки. Под неопределенностью данных понимается полное, или неточное, или фрагментарное знание о законах функционирования объектов управления, неполное или неточное знание необходимых характеристик состояния подведомственной оргеистемы и окружающей среды на момент выработки и принятия решения. Фрагментарность знаний о законах функционирования оргеистемы не позволяет построить математическую модель процесса как всюду однозначно определенного отображения (неполная формализуемость).

Для принятия решения необходимо уметь:

а) формировать (генерировать) конкурирующие варианты (проекты) решения х и универсум решений X;

б) прогнозировать развитие событий в окружающей среде и результаты функционирования данной системы на произвольный момент времени Т в будущем — следствия S решения х — S (Т, х); для этого надо уметь строить модель G функционирования системы в окружающей среде и использовать ее для прогноза следствий решений;

в) сравнивать ценность разных вариантов многокритериального решения (векторное оценивание);

г) выбирать наилучший вариант решения из заданного их множества при наличии противоречивых оценок по нескольким частным критериям и устанавливать факт отсутствия вариантов более ценных, чем выбираемый для исполнения (векторная оптимизация).

При этом теория принятия решения исходит из аксиомы: в условиях многокритериалъности и неопределенности объективная обусловленность и очевидность единственного решения — событие невозможное.

Задача прогнозирования традиционно является объектом теории исследования операций. Задача в) во всех известных исследованиях возлагается на человека. Собственно предметом теории принятия решений являются задачи а) и г). Существующие подходы решают эти две задачи, используя следующую абстрактную постановку. Считается известным перечень частных критериев К;, i = 1,m, где m — число таких критериев, с помощью которых осуществляется оценка качества решений. При заданных ао, wq, x(to), Т и а* можно получить с помощью модели G, результаты функционирования системы S(T, х) == (S1, S2,..., Sn) как функции времени Т и решения, Sj == Sj (Т, х), j == 1,n Результаты — следствия Sj имеют свою вероятность наступления р. Это несовместные события, образующие полную группу. Каждому следствию SJ может быть поставлен свой набор интервалов значений частных критериев Кi = 1,m, одним из которых может быть вероятность наступления pj. Одно от других следствие отличается значениями хотя бы одного из частных критериев, не считая вероятности наступления.

В результате следствие S __ К(х) = (К (х), К (х), ... К (х)), где _ — эквивалентность. Задача сравнения решений сводится к сравнению кортежей (К (х), j 1,п) при разных х. Задачи а) и г) также сводятся к операциям с кортежами (К (х), j == 1,п). Известны два подхода к решению задач а) и г). В первом подходе обе задачи решаются раздельно.

Во втором подходе фактически решается задача г), но одновременно получается оптимальное решение.

В первом подходе очередной вариант, конкурирующий с ранее полученным, является результатом решения задачи

х = arg (consti - : Ki(x) consti+, i=l,m);

consti -, consti + заданные константы, i=l,m, ранее не использованные в этой процедуре, при условии, что соответствующий вектор (К(х), 1 = 1,m) является парето-оптимальной оценкой. Последнее требование является гарантией того, что данный вариант х будет конкурентоспособным с любым возможным. Меняя consti - и consti; + для разных i, можно сформировать множество проектов решения, имеющих преимущества по одним критериям и уступающим по. другим критериям. Ставка в этом подходе делается на возможность разумного задания желаемых и реально достижимых значений частных критериев (т.е. consti -, consti + ) и ограниченности числа представляющих интерес вариантов решения х. Далее, если множество конкурирующих вариантов, конечно, и имеет достаточно мало элементов, то совсем необязательно иметь интегральную функцию . качества решения. Достаточно уметь сравнивать по ценности пары вариантов. Ориентиром для задания величин consti; -, consti + являются количественные характеристики области цели а*. В окрестности, цели строится ш-мерная сеть с определенным шагом по каждому частному критерию. Константы const-, const являются узлами такой сети.

Главные проблемы данного подхода состоят в построении функций Ki(x). Если они имеют аналитический вид, то решение задачи принятия решений получается простыми методами, хорошо известными в высшей математике и исследовании операций. Чаще- всего получить такие функции не удается. В лучшем случае они оказываются заданными алгоритмически, т.е. существует некий алгоритм, позволяющий заданному решению х поставить в соответствие число К(х). Чаще всего этот алгоритм может быть реализован лишь с помощью компьютера. В общем случае функция ki(х) не является гладкой, выпуклой или вогнутой. В силу этого данную задачу можно решать лишь для частных случаев. С возникновением когнитивного моделирования появились методы, позволяющие использовать трудноформализуемые знания для получения зависимостей Кi(х). В частности, имеются алгоритмы формирования решений, стабилизирующие неустойчивые в смысле Лагранжа слабоформализуемые процессы организационного управления.

В целом этот подход хорошо согласуется с практикой принятия решений в органах управления народным хозяйством. Формирование конкурирующих вариантов (парето-оптимальных) является содержанием подготовки решения. Выбор одного из них — этап принятия решения.

Во втором подходе формирование вариантов решения в явном виде отсутствует. Оно совмещено с векторной оптимизацией. Краеугольным камнем этого подхода является построение так называемой функции полезности. Функция полезности решения х, обозначаемая далее как U(x), есть отображение U:X->Re, при котором xU(x)