Дифференциальные уравнения

Решение многих задач экономики сводится к следующему: требуется найти неизвестную функцию у = у(х), если известно уравнение, содержащее : x, y(x), y’(x), …, y(n)(x).

Такие уравнения называются дифференциальными уравнениями.

Определение 1. Дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение вида

Примеры дифференциальных уравнений первого порядка:

Определение 2. Функция называется решением дифференциального уравнения (7.4.9) на интервале I, если для всех х I

F(x, (x), ’(x)))=0. (7.4.10)

Коротко говорят: функция (р удовлетворяет дифференциальному уравнению. Пример 6. Для дифференциального уравнения

функция у = sin х будет решением, так как у'== cos x и

для всех х, т.е. интервалом I здесь является все множество действительных чисел. А функция у = х2 не является решением дифференциального уравнения (7.4.11) ни на каком интервале, так как у’== 2х и равенство

выполнено только для отдельных значений х — нет такого интервала, на котором равенство выполнялось бы для всех х.

Определение 3. Решить дифференциальное уравнение — это значит найти все решения этого уравнения. Совокупность всех решений заданного дифференциального уравнения называется общим решением этого уравнения.

Пример 7. Для дифференциального уравнения

общее решение дается формулой

Пример 8. Все решения дифференциального уравнения

на интервале (- , ) даются формулой

Это есть общее решение заданного уравнения.

Далее мы выпишем некоторые типы дифференциальных уравнений и решим их, т.е. найдем их общее решение.

Определение 4. Дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными уравнение вида

Теорема 1.

Общее решение дифференциального уравнения (7.4.12) дается формулой

Эта формула задает у как функцию от х неявно. Если уравнение (7.4.13) решить относительно у , то получим решение явно.

Для доказательства теоремы надо проверить два факта: 1) каждая функция, удовлетворяющая равенству (7.4.13) на некотором интервале I есть решение уравнения (7.4.12) на интервале J ; 2) каждое решение уравнения (7.4.12) на интервале I есть функция, удовлетворяющая уравнению (7.4.13) на этом интервале I .

1) Пусть функция удовлетворяет уравнению (7.4.13) на некотором интервале I .

Это значит, что для любого х I выполнено равенство

Дифференцируя это тождество на I, получаем g(( (x)) ’= (х), т.е. функция (р есть решение уравнения (7.4.12) на I .

2) Пусть функция (р есть решение уравнения (7.4.12) на интервале J . Это значит, что для любого х I выполнено равенство g{( (x)) ’= (x), и потому

т.е. функция удовлетворяет уравнению (7.4.13) на I .

Пример 9. Решим дифференциальное уравнение

Переписав это уравнение в виде

получаем дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Про сделанное преобразование говорят: «разделим переменные». Далее по теореме 1 выписываем общее решение:

Общее решение получено в неявном виде. Отсюда можно получить общее решение заданного уравнения в явном виде:

Стохастичность, ши вероятностный характер, большинства экономических явлений, рассматриваемых в перспективе, требует, от экономиста использования особого инструментария, позволяющего оценить все возможные варианты развития событий. Для этой цели используется теория вероятностей — раздел математики, изучающий законы случайных явлений и их приложения к явлениям массовым, в том числе и экономическим.