3.1. Уравнения в экономических моделях 3.1.1. Типы уравнений

Экономикочматематические модели строятся для того, чтобы по значениям одних переменных можно было определять значения других переменных. Это кажется банально, но, как будет показано ниже, повторение некоторых банальных истин все еще необходимо.

Не претендуя на исчерпывающую классификацию, выделим некоторые основные типы уравнений в экономических моделях. Приводимая классификация отличается от классификации уравнений в экономических моделях, например JI. Йохансена [189, т. 1], тем, что здесь акцент сделан на методологическую сторону дела.

А. Уравнения-определения. Например, фондоотдача равна (3.1)

/ = , где q — объем выпуска; К — объем основных производственных фондоз;

производительность труда выражается как (3.2)

Р = q/L, где L — численность занятых и т. д. Характерной особенностью таких уравнений является то, что искомая величина (например, / или Р) не может быть измерена неза- висимо от определяющих величин (g, К и L в нашем случае).

Б. Уравнения состава. К таким уравнениям относятся, например, известная формула

СТ = с + v + т, (3.3)

где СТ — стоимость продукта; с — перенесенная стоимость; и — стоимость необходимого продукта; т — стоимость прибавочного продукта.

Уравнение для численности промышленно-производ- ственного персонала

L — Luр -f- LB -f- Z/HTp,

где Lup — численность основных производственных рабочих; LB — численность вспомогательных рабочих; LHTP — численность ИТР и служащих.

Уравнение состава описывает разложение некоторого объекта (СТ и L в наших примерах) на сумму компонент.

L = (3-4)

г

может быть неверным, если допускается совместительство (например, в сфере обслуживания).

В. Уравнение распределения. В качестве примеров можно назвать такие уравнения, как

НД = ФП + ФН,

где НД — национальный доход; ФП — фонд потребления; ФН — фонд накопления;

П = В + Ппр,

где П — прибыль промышленного предприятия; В — взносы в госбюджет; Ппр — прибыль, остающаяся в распоряжении предприятия.

97

7 Р. Л. Раяцкас, М. К. ІІлакуног.

Эти уравнения описывают распределение некоторого результата по различным направлениям. Формально они похожи на уравнения состава: и в Б и в В по одну сторону равенства — сумма переменных. Различие между уравнениями состава и уравнениями распределения иллюстрируется на рис. 3.1.

В отличие от уравнений состава, которые могут выполняться или не выполняться, уравнения распределения являются тождествами, т. е. если учтены все направления распределения некоторого результата, они справедливы по определению. Отметим, что тождествами являются и уравнения-определения.

Г. Уравнения преобразования. Эти уравнения описывают связь между некоторым воздействием на объект и результатами этого воздействия, в частном случае — связь между затратами и результатами. Типичным примером уравнения преобразования является производственная функция

q = F(K, L), (3.5)

где К, L — объемы привлеченных ресурсов; К — объем основных производственных фондов; L — численность производственных рабочих; q — объем выпуска.

В качестве другого примера на первый взгляд быть может, менее типичного, назовем функцию полезности

и = и(х), (3.6)

где х — величина некоторого продукта; и — полезность, измеренная в порядковой или количественной шкале.

Уравнение (3.6) описывает преобразование стимула (некоторое количество продукта х) в состояние субъекта (предпочтение или уровень полезности, если полезность измеряется в количественной шкале).

Отметим, что уравнения преобразования в отличие от всех ранее перечисленных типов уравнений описывают причинно-следственные связи, которые осуществляются посредством некоторого реально имеющегося механизма.

Д. Уравнения поведения иіили принятия решений. Типичными примерами таких уравнений являются функции спроса и предложения. От уравнений преобразования они отличаются тем, что здесь на стимул реагирует со- знающий субъект или группа субъектов (лицо, принимающее решение по терминологии системного анализа), которые имеют свободу выбора между различными вариантами действий. Фактически на решения могут оказывать влияние многие иррациональные факторы (мода, предрассудки и т. п.). Некоторые из них (традиции, например) делают решения относительно устойчивыми, что сближает уравнения, которые их описывают, с уравнениями преобразования. Однако существенно здесь то обстоятельство, что решения могут быть, по крайней мере в принципе, изменены мгновенно, в то время как, например, свойства абстрактной технологии не могут быть изменены произвольным образом.

Перечисленные типы уравнений не исчерпывают всех возможностей, но, как нам представляется, любое уравнение, являющееся частью некоторой экономико-математической модели, может быть приведено в результате соответствующих преобразований к уравнению одного, и только одного из перечисленных выше типов. Так, например, в [276] рассматривается зависимость вида

? = ф(ї, К), (3.7)

где q — объем выпуска; К — объем основных производственных фондов; L — численность.

Назвать это уравнение уравнением преобразования, по- видимому, нельзя: вряд ли объем выпуска и фонды преобразуются в людей; однако объем фондов и объем выпуска могут быть преобразованы плановиком — лицом, принимающим решение, в желательную численность или в численность, необходимую для обеспечения заданного объема выпуска при заданных объемах фондов. Но поскольку в [276] переменная L определена как фактическая численность, такое определение типа уравнения (3.7) не годится. Нетрудно видеть, что, решая (3.7) относительно q, мы получаем производственную функцию (3.5), т.

В качестве отдельного типа JL Йохансен выделяет балансовые уравнения, которые практически являются комбинацией уравнений перечисленных выше типов. Балансовые уравнения часто встречаются в экономико-математических моделях, например объединение уравнений состава национального дохода

7*

99

НД = W + D, где W — сумма первичных доходов населения, занятого в сфере материального производства; D — первичные доходы предприятий в сфере материального производства, и распределения национального дохода НД = ФІІ + ФП, позволяют получить балансовое уравнение

W + D = ФН + ФП. (3.8)

Балансовые уравнения отличаются от тождеств; например (3.8) может в общем случае не выполняться в силу различия между потребленным и произведенным национальным доходом, и для балансировки в (3.8) в этом случае необходимо ввести еще по крайней мере одну переменную, характеризующую изменение накопленных ресурсов.

Некоторую специфику имеет балансировка во времени. Например, динамика изменения основных производственных фондов описывается часто уравнением вида

К = -аК + /, (3.9)

где а — коэффициент, характеризующий скорость выбытия основных производственных фондов; I — интенсивность инвестиций, которое получено из балансового уравнения вида

K(t + ДО = K(t) - aK{t)At + /(ОД*. (3.10)

Здесь aK(t)At — величина выбывших за время At основных производственных фондов; I(t)At — величина инвестиций за время At.

Балансировка в этом случае эквивалентна записи уравнения сохранения: объем основных производственных фондов в момент времени t + At равен их объему в некоторый предыдущий момент t минус выбытие фондов за промежуток времени величины At плюс ввод новых фондов за это время At. Согласно нашей классификации уравнение (3.10) будет уравнением состава (состава основных производственных фондов в момент времени t + At).

Приведем в качестве иллюстрации простейшую модель поведения производственно-экономической системы. Введем следующие переменные:

q — объем выпуска продукции; К — объем основных производственных фондов; L — численность персонала; Р — производительность труда; w — средняя зарплата; П — прибыль; В — взносы в госбюджет; Ппр — прибыль, остающаяся в распоряжении предприятия; М — объем материальных затрат; V — ввод в действие основных производственных фондов.

В этих переменных простейшая модель может быть записана, например, так:

q = F(K, L) (3.11) —

производственная' функция — уравнение преобразования;

М = g(q) (3.12) —

уравнение преобразования, описывающее расход материалов в зависимости от объема выпуска; в модели сделано не совсем реалистическое предположение о том, что система материально-технического снабжения работает бесперебойно;

П = q - wL - iK - М, (3.13)

здесь і — удельные капитальные издержки; (3.13) — уравнение-определение;

К = —аК -b V (3.14) —

уравнение, аналогичное (3.9), полученное, как показано ранее, из уравнения состава

V(t) = I(t - т), (3.15)

где т — время освоения инвестиций /, —

уравнение преобразования;

Р = q!L (3.16) —

уравнение-определение;

П = В + Ппр (3.17) —

уравнение распределения;

w = n-P (3.18) —

уравнение поведения, здесь п — коэффициент, устанавливаемый (так же как и правило (3.18)) лицом, принимающим решение.

3.1.2. Графическое изображение уравнений и моделей

Часто (практически всегда, когда это возможно) полезным оказывается представление уравнений и систем уравнений модели в виде структурной схемы. Хотя способы такого представления довольно подробно описаны в литературе (см., например, [360], [449]), в экономической литературе структурные схемы, к сожалению, встречаются все еще редко.

В основе структурных схем лежит символика операционного исчисления. Все переменные модели подвергаются преобразованию Лапласа (реже — Фурье), что позволяет представлять операции дифференцирования и интегрирования прообразов как алгебраические операции умножения и деления образов на некоторые константы. О

-аК+1

Рис. 3.2. Структурная схема выражения {—аК + I) Конкретно операция дифференцирования по времени

x(t) представляется как операция Dx, операция интегри-

t

рования по времени J х dt представляется как операция

о

x!D; задержка x(t — т)— как #-ехр (—тD) и т. п. На структурной схеме переменные изображаются стрелками, а операторы помещаются в прямоугольники так, как это показано в табл. 3.1.

Построим для примера структурную схему уравнения (3.9). В пространстве образов оно выглядит следующим образом:

DK = -аК + Т.

Отсюда, оперируя с D как с обычной константой, находим

К = ±(-аК + 1). (3.19)

Структурная схема выражения в скобках приведена на рис. 3.2. Структурная схема правой части (3.19) приведена на рис. 3.3.

Дуга на рис. 3.3, соответствующая переменной К, встречается 2 раза. На правильно построенной структурной схеме каждой переменной соответствует только одна дуга, которая, однако, может ветвиться.

На рис. 3.4 показана структурная схема, соответствующая этому условию.

Дадим теперь начальное условие (оно необходимо, чтобы интегрировать уравнение (3.9)) К(0) = К0. Результат показан на рис. 3.5. Таблица 3.1. Обозначения на структурных схемах Обозначение

Операция

Содержание z = х + у

z = х — у у = ах

У = * t

у = J xdt

О

у (О = *(* - т) г/ = <р(*)

IX

z= ху

-XI

z = х!у *(0) - сложение переменных

вычитание переменных

умножение на константу а

дифференцирование:

интегрирование:

задержка на время т:

нелинейность общего вида

умножение переменных

деление переменных

подача начальных условий

3-

~х *

© » Ш

- Ну

X /у

11 Представление уравнения или системы уравнений в виде структурной схемы не единственно в силу неединственности записи уравнения или системы уравнений. 1L ' + а ИЛ К Рис 3.5. Структурная схема уравнений К = =—аК + /, К (0) = К0 Действительно, вместо (3.19) можно записать DK + аК = /, (3.20)

откуда К =

I.

D + a'

Структурная схема этого уравнения показана на рис. 3.6.

Однако при всех этих преобразованиях неизменным остается одно, как раз то, что делает структурные схемы особенно полезными для анализа экономико-математических моделей: наглядное различие между эндогенными и экзогенными переменными модели. Так, на рис. 3.4 и на рис. 3.6 переменная I — вход системы (3.9) преобразуется в переменную К — выход системы (3.9). В терминах струк- Рис. 3.6. Структурная схема уравнения К — / К =—аК +/ J) + CL турных схем экзогенной является такая переменная, что дуга, соответствующая ей на структурной схеме, не выходит ни из какого прямоугольника, соответствующего некоторому оператору, остальные переменные являются эндогенными. Это различие между экзогенными и эндогенными переменными сохраняется при преобразовании схемы на рис. 3.4 в схему на рис. 3.6: экзогенная переменная — /, эндогенная переменная — К.

Приведем в заключение структурную схему системы (3.11)—(3.18), она показана на рис. 3.7. Ясно, что некоторые затруднения вызвало уравнение (3.18). Оно преобразовано следующим образом:

В = аП, Ппр = П - В,

где а — доля прибыли, вносимой в госбюджет; принято, что а — постоянная величина (стабильный норматив).

ОТМЄЇЙМ, что в при нципе уравнение (3.18) можно изобразить так, как это сделано на рис. 3.8.

Однако такое представление будет ошибочным, поскольку переменная П уже определена уравнением (3.13).

Все приведенные выше структурные схемы представляют модели с непрерывным временем. В экономической

литературе наряду с такими моделями используются системы конечно-разностных уравнений, т. е. модели с дискретным временем. Такие модели тоже можно изображать с помощью структурных схем, используя вместо оператора дифференцирования D оператор сдвига V или конечной разности Д. В этом случае уравнение

z{t) = x(t — 1)

представляется как

z =

а уравнение

y(t) = x(t) - x(t - 1) -

как уравнение

у = х — Vx = (1 — V)^

или

у = Ах.

Ясно, что Д = 1 — V.

Операция Д — взятие конечной разности — аналогична (но не совпадает) операции дифференцирования. Аналогом интегрирования будут операции

ИЛИ

1

* = Т У'

Нетрудно видеть, что между операторами сдвига и за- держки существует связь, а именно

V = следовательно, Д = 1 —

Это делает единообразными способы представления уравнений с дискретным и непрерывным временем в виде структурных схем.

Язык структурных схем позволяет просто и наглядно представлять в графической форме сложные системы уравнений и тем самым значительно упрощает их анализ. Существуют и другие языки для графического представления уравнений, например, язык, разработанный Дж. Форре- стером [449], [450].