2.3.3. Операции над размерностями

В шкале отношений названия единиц измерения, как правило, обозначают эталон, с которым сравнивается измеряемый объект. Так, утверждение «длина стержня равна 7 м» буквально означает, что длина стержня в 7 раз превышает длину, равную 1 650 763,73 длины волны в вакууме излучения, соответствующего переходу между уровнями 2р10 и Ъйъ атома криптона 86. Допустимому преобразованию в этом смысле соответствует изменение эталона: длину, например, можно измерять не в метрах, а в сантиметрах, километрах и т. д.— допустимое преобразование подобия осуществляет переход от одного эталона к другому. Логически выбор эталона произволен, и в этом смысле следует отличать изменение выбора эталона от изменения самого эталона. Так, первоначально (в 1791 г.) метр определялся как 1,10~7 части четверти длины парижского меридиана. Замена «меридианного» эталона метра «криптоновым» эталоном не означает, конечно, изменение единицы измерения.

В теории размерностей с названиями единиц измерения оперируют так же, как с обычными величинами; при этом названия единиц измерения или размерности заключаются в вывернутые квадратные скобки.

Рассмотрим утверждение

х + у - z - 0, (2.28)

где х, г/, z измерены в шкалах отношений, т. е. с точностью до допустимых преобразований

х' = У' = ауУ» z' = azZ-

В общем случае эти шкалы могут быть одинаковы (ах = = ау = az, т. е. все величины имеют одну и ту же размерность) или различны (величины имеют разные размерности). Подвергнем переменные в (2.28) допустимому преобразованию. Тогда имеем

F{x\ у', z') = ахх + ауу — azz. (2.29)

Если размерности всех переменных одинаковы, то (2.28) адекватно. Это означает, что суммирование величин одинаковой размерности допустимо

)х[ + ]х[ = ]х[.

Пусть будут размерности различны. Из (2.29) и (2.28) получаем

ах av

— хЛ—- у = х + у,

az az

что неверно при ах Ф ау Ф az. Следовательно, (2.28) неадекватно, если ]х[ф ]у[ф Ы. Таким образом, получаем правило: суммировать величины, измеренные в разных единицах измерения (например, складывать метры и килограммы), нельзя.

Рассмотрим теперь утверждение

х.у -Z = 0. (2.30)

Все переменные по-прежнему измерены в шкалах отношений. Подвергая (2.30) допустимому преобразованию, получаем

У\ z') = <*х'Х'Сіу'у — az-z.

Из (2.30) следует, что F(x\ у\ z') = 0

только, если единицы измерения переменных хх у И Z связаны

ах'ау = az

или, в терминах размерностей, если размерность величины z равна произведению размерностей величин х и у:

]z[ = ЫЛу\. Пусть, например, х и у —длины, тогда

}Z[ = ]м[- ]м[ - ]м2[,

т. е. z имеет размерность площади. Пусть теперь ]х[ = = ]у[ = ]чел.[. Получаем, что ]z[ = ]чел.2[ — «человек в квадрате». Как можно интерпретировать переменную z? Каково ее экономическое содержание? Ответ на этот вопрос, т. е. решение проблемы Сатуновского был получен ранее: интерпретируемыми являются числовые утверждения, а не отдельные арифметические операции.

Рассмотрим, наконец, утверждение

x*yfi - z = О, (2.31)

где аир измерены в абсолютной шкале, х, у, z — в шкалах отношений.

Нетрудно видеть^ что это утверждение адекватно, если размерности связаны соотношением

Ы = ]*[*•№

В общем случае размерностью величины z называют [47], [394] одночлен вида

М=]*і[аЧ*2[а2 ...» (2.32)

где ]xt[ — і-я фундаментальная размерность; а і — ве- щественноз число, имеющее размерность единицы; ]at[ = = ]1[, т.

Фундаментальная размерность — это размерность, которая не выражается через другие. Выбор фундаментальных размерностей и их числа в значительной степени произволен и определяется соображениями удобства. Так, в физике существует много различных систем единиц измерения: например, в СГС системе фундаментальными величинами являются длина, масса и время, а фундаментальными размерностями — см, грамм, сек.; в международной системе СИ — семь фундаментальных размерностей и т. д. [47], [274].

В экономике не существует стандартных систем единиц; высказываются мнения, что выделить раз и навсегда некоторый набор фундаментальных размерностей невозможно [47]. В принципе это верно. Например, в одних случаях требуется различать тонны мяса и тонны стали, и, следовательно, это будут две различные единицы измерения, а в других — такого различия делать не требуется. Важно только, чтобы в рамках одной модели размерности количественных переменных были бы согласованы, т. е. необходимо использование не просто размерностных переменных, а систем единиц измерения.

В настоящее время предложено несколько более или менее различных систем единиц в экономике. С. М. Вишнев предлагает использовать в качестве фундаментальных следующие величины: живой труд, количество продукции, деньги, астрономическое время [34]. Г. Е. Эдельгауз несколько расширяет эту систему единиц, вводя такие величины, как живой труд определенной профессии, квалификации и интенсивности, выраженный в единицах рабочей силы (1 работник); потребительная стоимость данного назначения и качества, выраженная в натуральных единицах (киловатт, метр и т. п.), деньги в единицах валюты данной страны (руб., например) и астрономическое время [484]. В. А. Бинкин и В. И. Черняк предлагают использовать в расчетах эффективности управления систему физических единиц Вартини — Кузнецова, в которой две фундаментальные размерности — длина и время; ими получены важные и интересные результаты в анализе характеристик эффективности управления (в особенности транспортом) [47].

Г. Е. Эдельгауз приводит ряд примеров анализа размерностей для выявления ошибок в построении моделей, показателей и т. п. [484]. К сожалению, этот ряд можно продолжить.

В [399] приведен показатель «чистая продукция на 1 рубль производственных ресурсов» — ЭЧп, который «является одним из обобщающих показателей эффективности использования массы производственных ресурсов, участвующих в создании продукции в определенной отрасли промышленности:

9 Чп

дчп~фТо~FV

где Чп — сумма чистой продукции, получаемой в данном периоде в действующих (плановых) ценахА тыс. руб.;

ф — среднегодовая стоимость основных производственных фондов, тыс. руб.; Оф — среднегодовая сумма нормируемых оборотных средств, тыс. руб.; Зф — фонд оплаты труда промышленно-производственного персонала, включая выплаты из фонда материального поощрения за данный период, тыс. руб.» [399, с. 85].

Показатель явно несостоятелен. Это становится ясным, как только исправляются ошибки в определении размерностей переменных и делается попытка уравнять размерности. Но проведем сначала содержательный анализ этого показателя.

Подозрение вызывает знаменатель, а именно то обстоятельство, что суммируются фонд зарплаты и среднегодовой уровень нормируемых оборотных средств: зарплата входит в нормируемые оборотные средства (незавершенное производство, готовая продукция на складе и т. п.). Получаемся что-то вроде повторного счета зарплаты («что-то вроде», а не просто двойной счет, так как это суммирование, как будет показано ниже, неадекватно).

Сделаем несколько допущений об изменении объема основных производственных фондов и уровня нормируемых оборотных средств. А именно пусть нет в течение года ни ввода, ни выбытия основных производственных фондов, так что их величина в течение года постоянна. Это значит, что Ф — средняя по времени величина основных производственных фондов не зависит от периода осреднения. Аналогичное допущение сделаем и относительно уровня нормируемых оборотных средств. Конкретно предположим, что объем выпуска (реализации) — величина постоянная в течение года (выпуск один и тот же каждый месяц, каждую декаду, каждый день и т. п.) и продолжительность оборота в течение года не изменяется. Третье предположение такого же рода сделаем относительно зарплаты, а именно предположим, что фонд месячной зарплаты — одна и та же величина для каждого месяца и т. д.

Вычислим теперь показатель Эчп для периода, равного месяцу, а не году. В соответствии со сделанными предположениями получаем, что Зф (месяц) = Зф/12, Чп (месяц) — Чп/12, Ф (месяц) = Ф, Оф (месяц) = Оф. Следовательно,

о / - ч чп/12

Эчп (месяц) = ф+0ф + 3ф/12. В общем случае показатель Эчп? вычисляемый на периоде времени продолжительности Т, равен

Эчп(Т)= Ф+Оф+Зф/Т

и может быть установлен произвольным образом соответствующим выбором Т. Например

Эчп(Т) 1 при Т -> О, Эчп(Т) 0 при Т оо.

Этот же результат можно получить значительно проще, в результате анализа размерностей. Имеем следующие размерности:

уровни — ]Ф[ = ]руб. [, ]Оф[ = ]руб. [;

потоки — ]ЧП[ = ]руб./год[, ]3Ф[ = ]руб./год[.

В знаменателе суммируются разные размерности:

]Ф[ + ]Оф[ + ]3Ф[ = ]руб. [ + ]руб./год [,

что недопустимо.

Здесь может последовать возражение: размерности чистой продукции и фонда зарплаты — руб., как в [467, с. 85], а не руб./год. Поэтому остановимся на этом вопросе подробнее.

Размерность объема основных производственных фондов ]Ф[ = ]руб.[. Норма амортизации на реновацию ПА,Р в соответствии с [467, с. 135] определяется равенством

Кп-Л + Лр А'р~ кп.тсл '

где Кп — первоначальная стоимость основных производственных фондов; JI — ликвидационная стоимость; JIP — расходы, связанные с ликвидацией основных производственных фондов после окончания срока их службы; Тсл — срок службы.

Имеем

]ф[ = ]кп[ = ]Л[ = ]ЛР[ - ]руб. [, ]ТСЛ[ = ]год[. Следовательно,

]^[ = ]г1РдИРУб.1=]1/Г0Д[- Норма амортизации равна сумме нормы амортизации на

реновацию и капитальный ремонт [399, с. 135], следовательно,

]пА[ = ]1/год[. Сумма амортизационных отчислений А равна [399, с. 137]

А = пА-Ф. Следовательно,

]А[ = ]1/год [ • ]руб. [ = ]руб./год[. Чистая продукция определяется равенством [399, с. 28] Ч = В - М - А,

где В — валовая продукция, М — материальные производственные затраты.

Вычитать, складывать и приравнивать друг к другу ]\:ожко только величины одной размерности, следовательно,

]Ч[ = ]В[ - ]М[ = ]А[ - ]руб./год[.

Полная себестоимость продукции Сп равна [399, с. 328]

Си = М + 3(1 + Зн/100) + Сцр + Сор + СвР,

где М — затраты на материалы; 3 — основная и дополнительная зарплата производственных рабочих; Зн — процент отчислений на соцстрах; СцР, Сор, СвР — цеховые, общезаводские накладные и внепроизводственные расходы.

Исходя из требования: приравнивать, складывать и вычитать величины одной размерности, получаем

]3П[ = ]3[ = ]М[ = ]руб./год[,

что и требовалось доказать.

Таким образом, анализ размерности позволяет найти ошибку в формуле для величины Эчп-То обстоятельство, что размерности не уравнены в знаменателе и, следовательно, величине Эчп нельзя приписать никакую размерность, свидетельствует о бессодержательности этого показателя.

Анализ размерностей используется в физике и технике не только как средство контроля, но и как довольно эффективный эвристический метод построения моделей объектов, процессов и т. п. Здесь, правда, необходимо отметить существенное отличие условий применения анализа размерностей в экономических науках от физики и техни- ки [58], [394], [479]. В экономических науках интервал абстракции не фиксирован; например, суммирование весов (кг) может в одних случаях иметь смысл, а в других — нет. Это отличие особенно наглядно проявляется при анализе размерностей индексов роста.

Рассмотрим для примера индекс Ласпейреса [15], [409]

, (2.33)

і

где cit, ct о — цены продукта і в году t ив году 0 соответственно; qit, qi0 — объемы производства продукта і в году t и в году 0 соответственно.

Каждое произведение cioqit имеет размерность ]руб.[, такую же размернозть имеет и каждое произведение cioqio. Следовательно, iL — величина безразмерная. Пусть

і к* lK=v

где ік — индекс роста основных производственных фондов; К0 — объем основных производственных фондов в году 0; Kt — объем основных производственных фондов в году t в ценах года 0.

Ясно, что ]Kt[ = Шо[. Следовательно, величина ік тоже безразмерная. Тогда, если некоторая величина х также измерена в абсолютной шкале, то выражение

1к + lL = х (2.34)

будет адекватно. Ясно, однако, что дело обстоит сложнее,— мы снова лицом к лицу сталкиваемся с проблемой, которую, как показано выше, поднял Л. М. Сату- новский. Суммирование индексов непонятно. Что означает индекс z^? Пусть он равен, например, 1,3. Это означает, что объем выпуска года t в ценах года 0 равен 1,3 объемов выпуска года 0. Последняя фраза полностью совпадает с ответом на вопрос: что такое 7 метров? (см. выше). А это, в свою очередь, означает, что объем выпуска года 0 является эталоном, с которым сравнивается объем выпуска года Z, таким же эталоном, как платиновый метр в Палате мер и весов или длина волны определенного сорта излучения криптона, объем выпуска года 0 в данном случае не что иное, как единица измерения. Следовательно, утверждение «іь = 1,3» бук- вальчо следует читать так: «объем выпуска года t равен 1,3 объемов выпуска багового года 0». Если базовый год изменится, то изменится, в оэщем случае и iL:

2 сіВЧи і' _ J

lL — ^ •

2j ciLQiB і

К сожалению, индекс Ласпейреса (и другие индексы такого же рода) в оэщем случае не транзитивен [15], поэтому нельзя утверждать, что он измеряется с точностью до преобразования подобия. Но все же приписать «размерность» индексу iL так, как это сделано выше, можно. Аналогичные рассуждения справедливы и для индекса ік: ему тоже можно приписать размерность. В результате утверждение (2.34) оказывается неадекватным, так как его истинность изменяется при изменении базового года при вычислении iL и ік. Это обстоятельство необходимо учитывать при построении моделей, особенно в теории производственных функций. В целом же проблема сводится к проблеме адекватности числовых высказываний; при этом необходимо иметь не только формальное, но и операциональное определение шкалы, в которой представлена переменная.