2.3. Количественные переменные и анализ размерностей
Требование операциональности определения количественной переменной не сводится, конечно, к утверждению, что каждой операции над числами должна обязательно соответствовать некоторая естественная операция 11.
Пусть, например, t — время, X — константа, имеющая размерность, обратную времени, так что Xt — величина безразмерная. Какая «естественная» операция соответствует следующей операции над числами: ехр (Xt)? Экспоненты такого рода часто встречаются в физике, биологии, в теории экономического роста и т. д. Можно дать отвег: так как Xt безразмерно (а в правильно построенных моделях так обычно и бывает), то ехр (Xt) = у является адекватным утверждением, т. е. утверждением, адекватность которого не зависит от выбора единиц времени. Но можнозаписать
=
тогда мы возвращаемся к вопросу, что это значит. Речь идет о том, что некоторое число возводится в степень, равную, например, 10 годам: ехр (t). Очень четко эта проблема была в свое время сформулирована JI. Сатуновским. Разбирая «методологические пороки» функции Кобба- Дугласа Y = АСаЬ13, где Y — объем национального дохода, С — основной капитал, L — затраты труда, А, а, Р — параметры, JI. Сатуновский, в частности, отмечал: «Нельзя представить, каким образом перемножение стоимости основных производственных фондов и численности работников может давать показатель, соответствующий содержанию объема продукции. Смысл функции Кобба- Дугласа не становится вразумительнее и оттого, что факторы производства предварительно возводятся в степени а и Р, ибо показатели производственных фондов и рабочей силы имеют реальное содержание только в первой степени...» [392, с. 103]. «Нет также доказательств допустимости вообще возводить в степень такие экономические показатели, как производственные фонды, число работников и т. п. Какое экономическое содержание имеет, например, число работников народного хозяйства в квадрате, стоимость производственных фондов в квадрате или в какой- либо иной степени?» [392, с.
106].Для того чтобы показать, что эта проблема носит общий характер, приведем еще один пример — вывод формулы Уилксона, или «закона квадратного корня» в теории управления запасами (см., например, [36], [360], [469]).
81
6 Р. Л. Раяцкас, М К. Пларуноп
Пусть программа выпуска деталей обрабатывающим цехом в течение планово-учетного периода продолжительности Т равна N шт. деталей (одного наименования). Сборка потребляет эти детали равномерно; дефицит де- талей на сборке недопустим. Затраты производства складываются из следующих элементов:
с — затраты на запуск партии деталей (размерность — ІРУб. I);
s — себестоимость детали (] руб./шт.[);
г] — норматив платы за фонды и нормируемые оборотные средства (]1/год[).
Обозначим размер партии деталей как п. Общие затраты Z состоят из затрат на запуски партий деталей в производство
cN/n ]руб. [
и потерь от замораживания оборотных средств в запасах деталей:
sv)Tn/2 ]руб.[?
если Т имеет размерность ]год[, т. е.
Z = cN/n + sx\Tn/2. (2.16)
Дифференцируя по п и приравнивая производную к нулю, получаем
-cN/n2 + y\sT/2 = 0, (2.17)
откуда находим оптимальный размер партии деталей
= (2.18)
Подставив этот результат в (2.16), получаем
ZonT = /2 NTr\sc. (2.19)
Закону квадратного корня (2.18) в экономической литературе повезло значительно больше, чем функции Кобба — Дугласа, о которой можно встретить, например, такого рода высказывания: «Несмотря на обстоятельную и убедительную критику производственной функции, сконструированной буржуазными экономистами Коббом и Дугласом, в литературе еще встречаются высказывания отдельных ученых о полезности и возможности ее использования в практике социалистического планирования» [392, с. 101]. О формуле Уилксона так не говорят; но все вопросы, которые JI. Сатуновский задал по поводу экономического смысла арифметических операций над экономическими показателями (численность, фонды и т. п.), имеют точно такой же смысл и значение также в случае закона квадратного корня.
Можно спросить, напримері что значит извлечение квадратного корпя из N — годовой программы выпуска деталей в (2.18)? Каков экономический смысл произведения затрат на запуск на себестоимость детали — cs — в (2.19)? Наконец, что означает показатель 1 In в (2.16) или показатель п2 в (2.17)?Сведение вопроса к абсурду, конечно, не ответ на вопрос. Но в данном случае границу, за которой начинается абсурд, обозначить трудно. Действительно, (2.19) можно записать в виде, совпадающем формально с функцией Кобба — Дугласа: (2.20)
^опт — Ac S ^ ,
где А = ViNTr).
А теперь можно задать вопрос, каким образом произведение затрат дает в результате затраты, и сделать вывод, что смысл (2.20) не становится вразумительнее от того, что затраты с и s возводятся в степень 1/2.
Ответ на этот вопрос и на возражение такого типа может быть дан, как это уже отмечалось ранее, исходя из понятия адекватности числового утверждения и в результате анализа размерностей в случае количественной шкалы.
2.3.2. Анализ размерностей и адекватность
Количественное высказывание можно представить в одной из следующих форм: (2.21) (2.22) (2.23)
F(x±, х2, ..., ai, а2, ...) = 0, F(xv х2, а1У а2, ...) >0, F(xu х2, ..., а2, ...) > 0, где xt — переменные, представленные в числовой форме (не обязательно в количественной шкале); at — параметры (константы), также представленные в числовой форме; их численные значения определены с точностью до допустимых преобразований
Количественное выражение адекватно (т. е. функция F (.,.) имеет смысл), если его истинность не изменяется после допустимых преобразований аргументов, т. е. если истинным является одно из утверждений (2.21)—(2.23), 6*
83 то истинным будет и соответствующее утверждение
' = о [>0,
гДе (Фіа) — множество допустимых преобразований соответствующих переменных; — множество допустимых преобразований параметров.
В [469, с. 123—130] излагается метод оценки значимости целей (предприятия, фирмы, ЛПР и т.
д.), составной частью которого яляется сравнение важности некоторого результата с конъюнкцией некоторых других результатов, что приводит к неравенствам видаЩ + и2 >и3,
где ut — важность (значимость, полезность) результата і. Запишем это утверждение в форме (2.22):
иі + Щ ~ Щ >0. (2.24)
Пусть значимости измеряются в количественной шкале интервалов, т. е. с точностью до преобразования:
и' = аи + h, а >0,
причем масштаб а и начало отсчета Ь одинаковы для всех і. Подвергая в (2.24) переменные ut допустимому преобразованию, получаем
аих + h + axz + h — ai3 — Ь = а{их + и2 — и3) + h
— выражение, которое при некоторых значениях параметра Ь не может быть приведено к виду (2.24); например, если
h <а(щ + Щ — и3), то получаем утверждение, противоположное (2.24): Щ + и2 — и3 С 0.
Следовательно, утверждение (2.24) неадекватно, а операции суммирования и вычитания бессмысленны, если Ui измеряются в шкале интервалов. Если же ut измеряются в количественной шкале отношений, т. е. с точностью до преобразования
и' = аи, го (2.24) адекватно, а суммирование осмысленно:
аих + аи2 — аи3 = a(ut + и2 — и3) >0. Утверждение
(2.25)
адекватно и в количественной шкале интервалов Получаем вывод, который не так уж тривиален: несмотря на то что в шкале интервалов операции суммирования и вычитания бессмысленны, операция осреднения в этой шкале имеет смысл, а утверждения вида (2.25) в этой шкале адекватны. Собственно говоря, этот вывод и является решением проблемы Сатуновского: об осмысленности отдельной арифметической операции над отдельной переменной сказать ничего нельзя, следует оценивать осмысленность (адекватность) числового утверждения в целом, а не по частям.
Рассмотрим функцию Кобба — Дугласа
Y =
Переменные Y, С, L определены каждая с точностью до преобразования подобия
Y' = ayY, С' = асС, L' = аьЬ.
Записывая функцию Кобба — Дугласа в виде (2.19), получаем (2.26)
ACXL* - Y = 0. Подвергая переменные С, L, Y допустимым преобразованиям, имеем
А (acCf {abLf - aY. Y = А/аус&аІСГЬ* - Y.
Последнее равенство обращается в нуль, если допустимые преобразования связаны, а именно если
либо если значение параметра А зависит от конкретных значений параметров допустимых преобразований aY, ас и aL, т. е. если параметр А тоже размерная величина.
Первый случай имеет местоа если aY — ас = aL = 1, т. е. если все переменные представлены как безразмерные величины, например как индексы роста. Однако это решение проблемы не является единственным и приемлемым во всех случаях (см. анализ размерностей в теории производственных функций в [345]).
Рассмотрим второй случай. Подберем константу Л, зависящую от параметров допустимых преобразований aY, ас, aL, но не от У, С, L, так чтобы (2.26) стало адекватным. Если такой подбор осуществим, то в переменных У', Z/, С' уравнение (2.26) будет записано в виде
A (CV(L'f - У' = О,
причем А' не обязательно равно А.
В результате допустимого преобразования (2.26) переходит в
A\acCf{aLbf - aY Y = 0. (2.27)
Если положить
A' Y Л
А ~~ а 6 ' aCaL
то (2.27) будет эквивалентно (2.26) для всех неотрицательных значений аг, ас, аь. Получаем, что в данном случае допустимые преобразования <р переменных функции Коб- ба — Дугласа определяют допустимое преобразование я|) параметра А:
Истинность утверждения (2.26) не изменяется, если в (2.26) допустимым преобразованием aYY, асС, аьЬ и ^(Л) подвергнуты переменные У, С, L и параметр Л, следовательно, утверждение (2.26) адекватно, т. е. все арифметические операции в (2.26) имеют смысл.
То обстоятельство, что допустимые преобразования переменных и параметров в числовых высказываниях (2.21) —(2.23) могут оказаться связанными, делает необходимым выделение так называемых фундаментальных размерностей.