5.4.2 Дифференциальная характеристика границы Парето

Переформулируя определение, (x, y) является Парето-оптимумом, если полезность ни одного из потребителей нельзя увеличить, не уменьшая полезность остальных потребителей (при том ограничении, что рассматриваются только допустимые состояния).

Ui0 (xi0) ^ max (x>y)

Ui(xi)^u = Ui(xi), Vi G I, i = iO,

xi G Xi, Vi G I, (Pi0)

gj (yj)^0, Vj G J,

E(xifc - Wife) = E j, Vk G K.

ie/ jeJ

Рассмотрим одну из таких задач для произвольного потребителя io и в предположении, что состояние экономики (X, у) внутреннее в том смысле, что Xj G int Xj Vi G I, применим к ней теорему Куна- Таккера (см. Приложение), предполагая, что функции полезности и производственные функции дифференцируемы. Соответствующий лагранжиан имеет вид (с точностью до постоянных слагаемых)

L = J2 Мг^ + Е Pjgj(у?) + Е Gkyjk - Е- ^jfc)). jei jeJ fceK jeJ jei

По теореме Джона найдутся множители Лагранжа Aj ^ 0 (i G I), pj ^ 0 (j G J) и Gk (k G K), такие что в точке (X, у) производные функции Лагранжа по всем и yjk равны нулю:

dL dUj(Xj)

= Aj - Gk = 0, Vi, k,

dxjk dxjk

dL dj (у,-)

= Pj^- + gk = 0, Vj, k.

dyjk j dyjk

Предположим, что в рассматриваемом состоянии (X, у) градиенты всех функций полезности и производственных функций не равны нулю. Другими словами мы предполагаем, что для каждого потребителя i найдется благо k, такое что du^X^/dXjk = 0, и что для каждого производителя j найдется благо k, такое что dgj (У,)/dyjk = 0. Это предположение гарантирует выполнение условий регулярности теоремы Куна - Таккера.

Для проверки выполнения условий регулярности нужно убедиться, что градиенты всех активных ограничений (т.

Теорема Куна- Таккера утверждает, что можно выбрать множитель Лагранжа Aj0 равным 1 .

Из Aj0 = 1, и из того, что существует благо ko, такое что duj0 (Xj0)/dXj0k0 = 0, следует что Gk0 > 0. Следовательно, как несложно проверить, из условий первого порядка следует, что все Aj > 0 (i G I) и pj > 0 (j G J).

Отсюда, исключая коэффициенты Aj и pj, получим дифференциальную характеристику внутренних (Xj G int Xj Vi G I) Парето-оптимальных состояний:

duj(X j)/dxjk = duj (Xj )/dXjk0 Gk0'

dgj(у j )/dyjk = dgj(y?)/dyjk0 Gk0.

Она означает совпадение предельных норм замещения (трансформации) любых двух товаров k, ko (Gk0 > 0) для всех экономических субъектов. Так на Рис. 5.3 кривые безразличия двух потребителей касаются друг друга.