2.6. Двусторонний поток платежей.

Финансовая операция может предусматривать неоднократные и разновременные переходы денежных сумм от одного владельца к другому.

Рассматривая поток платежей с позиций одного из них, можно считать все поступления к нему положительными величинами, а все его выплаты - отрицательными.

Удобно представить поток платежей в виде графической схемы:

Пример 12. Контракт между фирмой А и банком В предусматривает, что банк предоставляет в течение 3 лет кредит фирме ежегодными платежами в размере 1 млн. долл, в начале каждого года подставку 10% годовых. Фирма возвращает долг, выплачивая 1,2 и 1 млн. долл, последовательно в конце 3, 4-го и 5-го годов.

Какова NPV этой операции для банка? Согласно формуле (2.19) имеем

Поскольку результат положителен, то эта операция является для банка приемлемой.

Требование положительности NPV является обязательным при принятии решения о реализации финансовой операции кредитором. Вместе с тем вычисление NPV не может определить степень рациональности такой операции, что следует учитывать при наличии альтернативной возможности вложения капитала. С этой целью вводится понятие эффективной ставки операции (внутренней эффективности) как значения ставки процента, при которой NPV окажется равной нулю.

Таким образом, если операция предусматривает выплаты C_k(c учетом знака !) в моменты t_k, то эффективная ставка r_ef вычисляется как корень уравнения

При этом начало операции (первая выплата) принимается за начало отсчета времени.

Приведенное определение эффективной ставки любой финансовой операции обобщает данное в п.2.4 определение эффективной ставки простейшей операции (2.11), связанной с предоставлением кредита на сумму S(0) и возвратом долга в сумме S(T), и не противоречит ему.

что совпадает с (2.11).

Приведем практически важный пример оценки эффективной ставки широко распространенной на Западе операции выдачи ссуд под обеспечение собственности на дом или земельный участок (real estate mortgage). Арендная плата за съем дома или квартиры очень высока, поэтому для каждого американца, и, прежде всего, для "нового" американца (иммигранта) , важной является дилемма: тратить деньги на аренду или на покупку собственного дома. При этом наличных денег, необходимых для покупки дома, естественно, нет, и речь может идти только об оплате с помощью ссуды, взятой в банке, выдаваемой под заклад приобретаемой собственности. В случае неуплаты долга эта собственность может быть продана кредиторами, изымающими из вырученной суммы неуплаченный долг.

Как правило, при выдаче ссуды применяется схема полностью амортизированного платежа, при которой долг вместе с процентами полностью выплачивается к концу срока путем периодических платежей.

Пример 13. Выдана ссуда в 120 тыс. долл, на 30 лет под 9% годовых. Должник обязан ежемесячно выплачивать равными долями долг вместе с процентами (фактически имеются в виду месячные проценты в 1/12 от годовых, т. с. 0,75%). Какова сумма месячного платежа? 31

Она рассчитывается из условия, что NPV потока платежей должна быть равна нулю, иначе говоря, указанная в договоре ставка должна совпадать с месячной эффективной ставкой потока платежей.

Если С - сумма платежа в тыс.долл, то должно быть

так что

Общая сумма всех платежей составит 347598 долл.

Иногда применяется схема частичной амортизации.

Пример 14. Ссуда в 10 тыс. долл, выдана под 12% годовых (т. е. под 1 % месячных) и требует ежемесячной оплаты по 130 долл, и выплаты остатка долга к концу срока в 10 лет. Каков остаток долга D?

Поскольку ставка понимается как месячная эффективная, то должно быть выполнено условие

откуда

D-3098,83 долл.

Заключение. Мы установили, что для любой финансовой операции с четко оговоренными сроками и суммами взаимных платежей может быть установлена мера ее эффективности как процент, обеспечивающий равенство нулю чистой приведенной величины потока платежей. Выбирая между различными вариантами возможных финансовых операций, инвестор всегда ориентируется на операцию с высшей эффективной ставкой. 32

Дополнение 1.¹ Непрерывная ставка (сила роста) и дисконт

В теоретическом анализе, а иногда и на практике, когда платежи поступают или изымаются многократно за период оценки работы финансового учереждения, удобно предполагать, что накапливаемые суммы непрерывно меняются во времени. Если S(t) - сумма в любой момент времени t, то ее скорость роста, производная по времени, по определению равна

Отношение скорости роста к текущему значению называется силой роста, интереса (force of interest): т.е. сила роста является производной натурального логарифма изменяющейся суммы S(t). Величина д также может зависеть от времени. Если сила роста 6 (t) задана, то можно найти накопленную за любое время Т сумму:

Сравнивая с исходным определением (п.

При постоянной силе роста 6 (t) =6 = const получаем, что

Дополнение к этой и последующим главам включает теоретический материал, который может быть опущен при первом чтении. 33

іде е - основание натуральных логарифмов (2,71828 и т.д.) или

Если рост r_? вычисляют по заданной годовой ставке г по формуле сложных процентов

то имеется простое соответствие между силой роста и годовой ставкой:

гак что при малых д (до 10%) сила роста и годовая ставка совпадают с точностью до 0,01.

Сила роста очевидным образом связана с дисконт-фактором. По определению дисконт-фактор за время Т равен

так что при постоянном ? имеем

а дисконт-фактор за единицу времени равен

Дополнение!. Сводка формул и обозначений по расчету наращенных и дисконтированных постоянных рент

В мировой финансовой литературе приняты стандартные обозначения для величин, используемых при расчетах с постоянными рентами.

1. Наращенная сумма постоянной ренты с п единичными платежами в начале каждого интервала и ставкой г сложных процентов за интервал к моменту последнего платежа равна

Иногда используется упрощенное обозначение S_n. Имеем

Результат наращивания к концу последнего интервала обозначается

35

2. PV постоянной ренты с п единичными платежами в конце каждого интервала (immediate annuity) и ставкой г сложных процентов за интервал

Иногда используется упрощенное обозначение a_n. Справедлива формула Если приведение осуществляется к моменту 1-го платежа (annuity-due), то PV рассчитывается с помощью формулы 36

Дополнение 3. Вычисление эффективной ставки методом последовательных приближений

Уравнение (2.19) для вычисления эффективной ставки можно записать в виде

Левая часть этого уравнения является заданной функцией дисконт-фактора V. Обозначим ее f (V). Тогда производная этой функции по V равна

При заданном значении V значения f(V), f¹ (V) легко вычисляются. Зададим некоторое начальное значение V