2.5. Оценка потоков платежей

Многие финансовые контракты, в том числе контракты, оформленные в виде рыночных ценных бумаг, предусматривают не однократную выплату в конечный момент, а многократные выплаты в различные промежутки времени.

Приведем самый простой пример.

Пример 11. На счет в банке вносится сумма 10 тыс. долл., однако не сразу, а в течение 10 лет равными долями в конце каждого года. Какой будет сумма на счете после 10 лет?

Конечно, эта сумма окажется больше 10 тыс. долл., поскольку на счет заносятся и проценты, которые все время присоединяются к имеющейся сумме.

В конце 1-го года окажется 1 тыс. долл. В конце 2-го года иа нее будут начислены проценты и добавится еще 1 тыс. долл.

1+1-H•.

В конце 3-го года

l + (l+r) [(l?(l+r))]

Конечный результат можно представить в виде:

Если раскрыть скобки, то получим

Но тот же результат можно получить, рассуждая иначе: 1-й взнос пролежит 9 лет и возрастет до (1 + г) , 2-й - 8 лет и возрастет до (1 + г)⁸ и т.д., вплоть до последнего взноса, который поступил в конце 10-го года.

Замечая, что наращенная сумма (в тыс. долл.) выражается в виде суммы геометрической прогрессии с показателем 1+г, запишем окончательно

При г-0,04 (4%-ая ставка) имеем S(10) - 12 тыс. долл.

Рассуждения при решении этого примера применимы и в общем случае:

наращенная сумма (future value) от ежегодных платежей п одинаковой величины С¹ при сложной процентной ставке г равна

где использовано стандартное обозначение для коэффициента наращивания

В некоторых пособиях (см., например, [15 ]) даны специальные таблицы для определения значений S_{n r} при равных п и г, но в настоящее время его можно быстро вычислить с помощью простого калькулятора.

Рассмотрим произвольный поток платежей, задаваемый последовательностью выплат величиной C_t в моменты времени

Такая система называется постоянной финансовой рентой, или аннуитетом (annuity).

Тогда сумма, наращенная к моменту Т ? t_N, равна

іде r_t - относительный рост за любой период длительностью t.

Это общее выражение может быть упрощено для любой конкретной схемы платежей и процентных начислений.

Наращенная сумма (future value) определяется путем приведения всех платежей с учетом роста к конечному моменту действия контракта (или к моменту последнего платежа).

Во многих ситуациях представляет интерес приведение всех платежей к исходному данному моменту с учетом дисконтирования платежей, приходящих в будущем. Результат приведения называется современной или приведенной величиной (present value, PV).

Если, как и в п.2.1, обозначить дисконт-фактор V_t за любой период от исходного момента до произвольного момента t прихода платежа суммой С_к, то для современной величины платежей C?_t, k -1,...,N, которые придут в моменты t_k, k- 1, ... N, получаем выражение

В частности, для постоянной ренты с поступлением в конце каждого года и ежегодным начислением по ставке г имеем за п лет

так что 28

Смысл PV очень прост: это начальная сумма, вложив которую под те же проценты, можно обеспечить возможность выплаты из нее всех рентных платежей.