7.1. Оценка денежных потоков во времени

Принципы расчёта временной стоимости денег имеют множество применений - от составления графиков выплаты кредитов и до решений о приобретении нового оборудования. На самом деле из всех понятий, используемых в области финансов, ни одно не является столь важным, как временная стоимость денег, или, иначе говоря, анализ будущих Денежных потоков, привеДённых (Дисконтированных) к настоящему моменту времени.

Один из наиболее важных инструментов в анализе с учётом будущих периодов - это временные графики, которые используются аналитиками, с тем чтобы помочь в представлении того, что происходит с определённой проблемой, а затем - в формулировании её решения. Чтобы проиллюстрировать понятие линии временного типа, рассмотрим следующую диаграмму.

Момент 0 на графике означает нынешний момент времени; момент 1 - это момент через один период, или конец периода 1; момент 2 - это время через два периода в будущем, или конец периода 2, и т.д. Другими словами, момент 1 представляет собой конец года 1, но также представляет и начало года 2, поскольку первый год только что закончился. При этом часто периодами являются годы, но могут быть использовать и другие временные интервалы, такие как полугодовые периоды, кварталы, месяцы или даже дни.

Потоки денежных средств располагаются над отметками времени, а процентные ставки - над графиком. Если процентная ставка остается постоянной в течение всех периодов, то её показывают только в первом периоде, но если она изменяется, то все её значения отображаются на соответствующих участках графика. Оттоки денег обозначаются отрицательными цифрами, а притоки - положительными. Неизвестные потоки денежных средств обозначаются вопросительными знаками.

Здесь процентная ставка составляет 5 % в течение первого периода, но она вырастает до 10 % в течение второго периода. Поскольку начальные 100

196

ден.ед. - это приток наличных средств, происходящий сегодня, они идут со знаком плюс. В конце второго периода взамен придется заплатить неизвестную сумму, - и ее отметим со знаком минус. Если процентная ставка остаётся постоянной в течение всех периодов, то показываем её только в первом периоде, но если она изменяется, то отображаем все её значения на соответствующих участках линии временного типа.

Будущая стоимость денег.

Рубль, полученный сегодня более ценен, чем рубль, который будет получен в будущем, потому что, если он уже имеется, его можно вновь вложить в бизнес, получить проценты и в будущем получить большую сумму, чем один рубль.

Процесс перехода от текущей (приведённой) стоимости (PV) к будущей стоимости (FV), называется наращением сложного процента. Чтобы проиллюстрировать его, предположим, что вы сегодня положили в банк 100 ден.ед., которые будут приносить вам по 5 % дохода ежегодно, причём предполагается ежегодно доносить на вклад проценты, полученные в предыдущем году.

Сначала выясним, сколько можно получить в конце первого года? Для этого понадобятся следующие обозначения:

PV - текущая стоимость, или начальная сумма на вашем счёте. В нашем примере PV = 100 ден.ед.

i - ставка процентов, которую банк будет начислять на ваш счёт за год. В нашем примере i = 5%, или, в десятичных долях i = 0,05.

INT - сумма процентов в рублях, которые будете получать каждый год: INT = Начальная сумма xi. В нашем случае, процент доходности умноженное

на INT = 100 х 5% = 5 ден.ед.

FVn - будущее значение, или конечная сумма на вашем счёте в конце n лет, после того как на счёт будут начислены последние положенные проценты.

В нашем примере n = 1, поэтому FV1, можно вычислить следующим образом:

ден.ед.

В общем виде будущее значение изначального единовременного платежа в конце n лет можно определить с помощью следующей формулы:

FVn = PV x (1+i)ⁿ = PV x FVIFi,n , (7.1)

Последний член формулы (7.1) определяет множитель наращения для i и n, FVIFi,nчерез (1+i)ⁿ.

Формулу (7.1) и большинство других формул для временной стоимости денег, а также вытекающие из нее формулы для отдельных параметров можно рассчитать тремя способами: численным методом, используя обычный калькулятор, с помощью финансового калькулятора или с помощью компьютерной электронной таблицы. Большая часть работы в финансовом менеджменте выполняется с помощью финансового калькулятора или компьютера, но при изучении основных понятий лучше всего решать задачи обычным способом, пользуясь обыкновенным калькулятором.

Графическое представление процесса наращивания сложного процесса представлено на рисунке 7.1.

Рис. 7.1. Соотношение между будущей стоимостью, процентными ставками и периодом времени

На рисунке 7.1 показано, как ден.ед. (или любая другая первоначальная сумма) нарастает с течением времени при различных процентных ставках. Чем выше процентная ставка, тем выше темпы роста. На самом деле процентная ставка сама является темпом роста: если положенная в банк сумма приносит 5% дохода, то средства на счёте будут увеличиваться как раз со скоростью 5% за период. Заметьте также, что понятие временной стоимости денег можно применить к любой другой возрастающей переменной - к выручке фирмы, доходу в расчёте на одну акцию, вашей будущей зарплате или чему-нибудь ещё.

Текущая (приведённая) стоимость.

Предположим, у вас имеются свободные денежные средства, и у вас есть возможность приобрести ценную бумагу, по которой вы получите 127,63

ден.ед.

альтернативной ставкой доходности, или ставкой дохода, который вы можете получить при выборе альтернативного варианта инвестировании денег с аналогичным риском. Сколько вы при данных условиях были бы готовы заплатить за такую ценную бумагу?

Из примера расчёта будущей стоимости, приведённого в предыдущем разделе, мы увидели, что начальная сумма в 100 ден.ед. вложенная на 5 лет под 5 % годовых, будет стоить 127,63 ден.ед.. Поэтому вам должно быть безразлично, получить ли 100 ден.ед. сегодня или 127,63 ден.ед. через пять лет. 100 ден.ед. в данном случае определяется как текущая (настоящая, приведённая) стоимость (PV), суммы в 127,63 ден.ед., получаемой через пять лет при альтернативной ставке 5 %. Если бы цена предлагаемой вам ценной бумаги была ниже 100 ден.ед., вам бы следовало её купить, потому что так вы можете получить свои 127,63 ден.ед. «дешевле», чем при использовании альтернативного варианта инвестирования. Наоборот, если цена этой ценой бумаги составляла выше 100 ден.ед., вы не должны покупать её, потому что у вас остается шанс вложить только 100 ден.ед., чтобы через пять лет получит те же 127,63 ден.ед., что и по ценной бумаге, - вы должны будете использовать его. Если бы цена бумаги составляла ровно 100 ден.ед., вам было бы безразлично купить ли ценную бумагу или отказаться от покупки. Следовательно, 100 ден.ед. можно считать справедливой или равновесной, ценой этого актива.

В общем, текущая ( приведенная) стоимость единовременной выплаты, производимой через n лет в будущем, -это сумма, которая, если бы имелась

в наличии сегодня, наросла бы в будущем до соответствующего значения. Поскольку сумма в 100 ден.ед. нарастёт при альтернативной процентной ставке 5% до 127,63 ден.ед. через пять лет, 100 ден.ед. - это текущая стоимость 127,63 ден.ед., выплачиваемых через пять лет при ставке 5%.

Определение приведённой стоимости (PV) называется

дисконтированием, и этот процесс является обратным для начисления сложных процентов - если вы знаете PV, вы можете вычислить и FV, и наоборот.

Чтобы составить формулу дисконтирования, мы перепишем выражение для будущей стоимости (7.1):

Теперь мы выразим PV из него следующими несколькими способами:

Последнее выражение в формуле (7.2) указывает на то, что коэффициент дисконтирования для i и n (PVIFi,n) обратен множителю наращения и

Фактически, чтобы получить PV = 100, мы делим 127,63 рубля на 1,05 пять раз.

Графическое представление процесса дисконтирования представлено на рисунке 7.2.

Рис. 7.2. Отношение между текущей стоимостью, процентными ставками и

На рисунке 7.2 показано, как стоимость, равная одному рблю (или любой другой фиксированной величине), которая должна быть получена в будущем, уменьшается с ростом срока до его получения и ростом процентных ставок.

На⁰х^,2о⁵ ждение процентных ставок и времени будущего платежа.

Наращение сложного процента и дисконтирование - взаимосвязанные процессы, и мы на самом деле работаем с одной и той же формулой (1) - (2) как для FV, так и для PV.

В этой формуле четыре переменные: PV, FV, i и n, и если нам известны значения любых трёх из них, из соответствующего уравнения можно найти четвёртую. До сих пор считали значения процентной ставки i и числа лет n до выплаты известными, а теперь попытаемся найти именно их.

Нахождение процентной ставки i.

Предположим, что вы можете приобрести ценную бумагу 78,35 ден.ед. и она принесёт вам 100 ден.ед. через пять лет. В этом случае вы знаете значения PV, FV и n и хотите найти значение ставки доходности i, которую вы получите, если купите ценную бумагу. Такие задачи решаются

200

следующим образом.

Строится временной график:

Нахождение срока до выплаты «n».

Аналогично можно решить и задачу о нахождении срока до выплаты, если известно, что вклад на сумму 78,35 ден.ед., положенный под 5% годовых с капитализацией процентов, в результате нарастёт до 100 рублей. Вот как выглядит эта ситуация:

Будущая стоимость аннуитета

Аннуитет - это последовательность равных платежей, которые производятся через фиксированные интервалы времени на протяжении заданного срока. Например, выплата 100 ден.ед. в конце каждого из трёх последующих лет - это трёхлетний аннуитет. Если платежи производятся в конце каждого периода, как это обычно и происходит, аннуитет называется обычным, или отсроченным аннуитетом (постнумерандо). Купонные платежи по облигациям, кредиты на покупку автомобилей, а также студенческие кредиты устанавливаются в виде обычных аннуитетов. Если же платежи производятся в начале каждого периода, годовой взнос называется ускоренным аннуитетом (пренумерандо). Платежи за аренду квартиры, премии по страхованию обычно представляют собой ускоренные аннуитеты. Поскольку обычные аннуитеты встречаются на практике чаще, то под термином «аннуитет», если не будет оговорено иное, мы будем понимать

201

именно обычный аннуитет.

Обычные аннуитеты (постнумерандо).

Обычный (отсроченный, постнумерандо) аннуитет, состоит из ряда равных платежей, осуществляемых в конце каждого периода. Если бы вы клали по 100 ден.ед. в конце каждого года в течение трех лет на депозит, приносящий 5% годовых, какова была бы сумма вашего счёта через три года? Чтобы ответить на этот вопрос, мы должны найти будущее значение аннуитета, FVAn. Отметим, что предполагается, что на каждый платеж, осуществленный в период n, производится начисление сложных процентов, начиная с периода n+1.

Временный график наращенной суммы аннуитета в условиях постнумерандо:

где FVAn - будущее значение аннуитета;

PMT - величина аннуитета;

FVIVAi,n- коэффициент наращения аннуитета.

Первая строчка (7.3) представляет собой формулу (7.1), применённую к каждому отдельному платежу аннуитета. Другими словами, на каждый платёж начисляется сложный процент, а степень показывает число периодов, в течение которых производится это начисление. Например, поскольку первый платёж производится в конце года 1, проценты будут начислены в годы со 2 до n, а степень будет равна n-1, сложный процент второго платежа образуется в годы с 3 до n, или на протяжении n-2 периодов, и т.д. Последний платёж совершается в конце срока аннуитета, поэтому начисление процентов

202

уже не производится.

В дальнейшем в формуле (7.3) мы используем известную из школьной алгебры формулу суммы геометрической прогрессии. Этот вид формулы (3) оказывается особенно полезным, если у вас под рукой нет финансового калькулятора. Наконец, в конце мы видим, что будущая стоимость аннуитета равна величине годового платежа, умноженной на множитель будущего значения обычного аннуитета который, в свою очередь, равен сумме геометрической прогрессии.

1. Численное решение.

Применяя формулу (7.3), получаем, что будущая стоимость вклада, описанного выше, составит:

203

Ускоренный аннуитет (пренумерандо)

Если бы три платежа по 100 рублей рассмотренные в предыдущем примере производились в начале каждого года, то, как мы уже писали, аннуитет назывался бы ускоренным (пренумерандо). На временном графике каждый платёж сдвигался бы на период ранее, потому что на его сумму начислялись бы проценты за время на один год больше.

Временный график наращенной суммы аннуитета в условиях пренумерандо:

1. Численное решение

С использованием формулы (4) расчёт будущей стоимости ускоренного аннуитета для нашего случая выглядел бы так:

Текущее приведённое значение аннуитета.

Предположим, вам предложено выбрать между двумя альтернативными вариантами: 1) трехлетним аннуитетом с выплатами по 100 ден.ед. в год или 2) единовременной выплатой сегодня. У вас нет потребности в деньгах на ближайшие три года, поэтому, если вы выберете ежегодные выплаты, вы сможете инвестировать полученные суммы на банковский депозит, приносящий 5% годовых. Аналогично единовременно выплаченную сумму вы также положите на банковский счёт. Какой при этих условиях должна быть сумма единовременного платежа, чтобы выбор любого из вариантов был бы для вас равнозначным?

Обычный аннуитет (постнумерандо).

Если платежи совершаются в конце каждого года (аннуитет обычный), то их приведённое значение на временном графике будет выглядеть так:

Пр и вед⁺ ённое значение обычного аннуитета PVA3 равно 272,32 ден.ед.. Пред86с,т3а8вим формулу для расчёта PVAn:

(PVIFAi,n) может быть найден как множитель его будущего значения FVIVAi,n (см. формулу (7.3)), выделенный на коэффициент наращения (1+і)^пза период действия аннуитета.

1. Численное решение

Используя (5) для приведённого значения нашего аннуитета, находим:

~ ?------------------------------------------ ■ ------------------------------------------------

Ускоренный аннуитет (пренумерандо)

Аналогично случаю обычного аннуитета, на временном графике платежи по ускоренному аннуитету будут выглядеть следующим образом.

Временной график:

Поскольку поступления происходят раньше, чем в случае обычного ан⁹н⁰у^,7и⁰тета, PV ускоренного оказывается выше, чем обычного:

1. Численное решение

Применяя приведённую формулу к нашему случаю, получаем:

Аннуитеты: нахождения процентной ставки, числа периодов выплаты или их суммы.

Иногда бывает необходимо находить процентную ставку, число периодов или сумму платежей для данного аннуитета. Например, предположим, что вы можете взять компьютер у производителя в лизинг. Срок лизинга составляет 36 месяцев, и вы должны будете вносить лизинговые платежи в размере 780 ден.ед. в конце каждого месяца. В качестве альтернативы вы рассматриваете

205

вариант немедленной покупки компьютера за 19880,13 ден.ед. В любом случае по истечении 36 месяцев компьютер будет находиться в вашей собственности, и никакие платежи больше не потребуются. Вам хотелось бы знать, какую «процентную ставку» заложил производитель в лизинговые платежи: если она окажется слишком высокой, вы, вероятно, предпочтете не брать компьютер в лизинг, а купите его сразу.

Чтобы решать подобные задачи, мы будем использовать основное финансовое уравнение:

Заметьте, что некоторые из стоящих в левой части уравнения слагаемых должны быть отрицательными. В уравнении пять переменных: n, i, PV, PMT и FV. Обычно в задаче оказываются известными четыре из них и требуется найти пятую. Например, в задаче с лизингом компьютера известно, что n = 36, PV= 19880,13 (это значение положительно, поскольку вам удастся сэкономить эту сумму, если вы решите брать компьютер в лизинг, а не покупать его), РМТ = - 780 это значение отрицательно, поскольку оно представляет сумму, которую вы должны будете выплачивать каждый месяц, если компьютер будет взят в лизинг) и FV = 0 (по окончании срока лизинга платежи не предполагаются). Следовательно, в нашем случае уравнение имеет вид:

Если бы вы рассматривали в качестве основного вариант покупки компьютера, то платёж в размере 19880,13 ден.ед. оказался бы отрицательной величиной PV, а ежемесячные платежи были бы положительными - они были бы вашим доходом. В обоих случаях требуется найти значение n- месячной процентной ставки.

Если вы не используете финансовый калькулятор или электронную таблицу, единственным способом решить это уравнение для i ,будет метод подбора. Однако при наличии финансового калькулятора вы просто вводите значение четырёх известных переменных (N=36, PV = 19880,13, PMT = -780, FV = 0) и затем нажимаете клавишу неизвестной пятой: в данном случае вы получаете i = 2. Поскольку это месячная процентная ставка, и она соответствует 12x2% = 24% годовых, то возможно, она покажется вам завышенной, и вы предпочтёте купить компьютер, а не брать его в лизинг.

При использовании электронной таблицы Excel в данном случае следует воспользоваться функцией НОРМА.

НОРМА (Число_ периодов; Выплата; ПЗ; БЗ; Тип = НОРМА (36, -780, 19880,13; 0;0).

Результат равен 0,02, или 2%.

Если же вас интересует срок, в течение которого придется вносить лизинговые платежи по 780 ден.ед., то вам придется решить следующее уравнение относительно n:

0,02

С помощью таблицы Excel эту задачу можно решить, использовав функцию:

КПЕР (Норма; Выплата; ПЗ; БЗ; Тип) = КПЕР (2%, -780, 19880,13; 0;0)

Аналогично величину периодического платежа можно найти, решив относительно РМТ уравнение:

Эту задачу решает функция Excel:

ППЛАТ (Норма; Число_периодов; ПЗ; БЗ; Тип) = ППЛАТ (2%; 36; 19880,13; 0;0)

Бессрочные аннуитеты (перпетуитеты)

Большинство видов аннуитетов предполагают, что платежи будут производиться через определённые промежутки времени, например по 100 ден.ед. в год, в течение фиксированного периода. Однако некоторые аннуитеты предполагают платежи в течение неограниченного времени (вечно). Такие аннуитеты называются бессрочными. Приведенное значение бессрочного аннуитета (PVP) можно найти с помощью очень простой и легко запоминающейся формулы:

Предположим, что каждая облигация должна приносить 100 ден.ед. дохода в год в течение неограниченного периода времени. Сколько бы стоила каждая такая облигация, если бы ставка альтернативных издержек, или ставка дисконтирования, равнялась 5%?Ответ окажется равен 2 тыс. ден.ед.

Если бы процентная ставка выросла до 10% (вдвое), то стоимость облигации упала бы также вдвое - до 1 тыс. ден.ед.:

Мы видим, что значение бессрочного аннуитета изменяется обратно пропорционально процентной ставке, т.е. значительно сильнее, чем значение

207

обычного срочного аннуитета.

Временная стоимость неравномерных денежных потоков.

Определение аннуитетов подразумевает постоянство платежей, иными словами, периодические выплаты должны быть одинаковы в каждом периоде. Хотя множество финансовых решений действительно требует постоянных платежей, гораздо чаще на практике встречаются неравномерные, или непостоянные потоки денежных средств. Так, по обыкновенным акциям обычно выплачивается увеличивающаяся с течением времени сумма дивидендов, а инвестиции в основные средства, например в новое оборудование, обычно в первые годы не приносят дополнительных доходов, но затем денежные потоки от их использования быстро нарастают. Следовательно, нам нужно иметь возможность расширить наше определение временной стоимости денег с учётом возможности получения и неравномерных потоков денежных средств.

Термин платёж (выплата) (РМТ) мы зарезервируем для постоянных денежных потоков, тогда как термин денежный поток (CF) будем использовать тогда, когда речь идёт о потоке неравномерных платежей или поступлений.

Приведённое значение неравномерного денежного потока.

Текущее приведённое значение (PV) неравномерного потока денежных средств определяется как сумма PV составляющих его отдельных потоков. Предположим, например, что мы должны найти текущее значение следующего потока денежных средств при ставке дисконта 6%.

(7.9)

На временном графике процесс дисконтирования каждого отдельного денежного потока представляется так:

208

Всё, что нам необходимо было сделать, - это применить формулу (7.9), п¹о⁴к⁹а^,4з⁵ать в левой колонке диаграммы приведенные значения отдельных д+енежных потоков и затем сложить их так, как показано выше. Однако специфические свойства отдельных денежных потоков могут несколько уп⁰р^,0о⁰стить нашу задачу. Заметьте, что денежные потоки в периоды со 2 по 5 п+редставляют собой аннуитет. Мы можем использовать этот факт, сведя нашу теперешнюю задачу к уже решенной задаче нахождения PV аннуитета, существенно сократив объём вычислений:

Отметим, что значение аннуитета (693,02 ден.ед.) сначала приводится к его^{0, 0}н⁰ачалу, т.е. к первому году, а затем оно должно быть дисконтировано ещё н6а6о5 ,д0и6 н период - к году 0.

Будущее значение потока неравномерных потоков денежных средств.

Будущее значение потока неравномерного потока денежных средств находится путём начисления сложных процентов до истечения времени

209

потока на каждый из отдельных потоков денежных средств:

Вновь легко видеть, что чистое будущее значение оказывается равно текущему приведённому значению, наращенному за весь период поступления средств:

Будущее значение неравномерного денежного потока, который мы привели для примера, оказывается равно 2124,92 ден.ед..

Нарастающие аннуитеты. ^252,50

Мы уже говорили, что обычно аннуитеты определяются как ряд постоянных платежей, которые производятся через заданное число пер^{2 * *}и⁶о⁷д^,6о⁵в.

Однако термин нарастающий аннуитет также встречается - для обозначения ряда платежей, которые нарастают с постоянной скоростью на протяжении определённого количества периодов. Наиболее частая ¹с⁴¹ф^,8е⁵ра

применения нарастающих аннуитетов - это ситуации, когда кто-то₂₁х₂о₄ч_,9е₂т получать постоянную реальную, скорректированную на темп инфляции доходность от своих вложений. Предположим, например, что 65-летний человек, выходящий на пенсию, предполагает прожить ещё 20 лет, имеет 1 млн. ден.ед. в активах инвестиционных фондов и предполагает получать доход от своих вложений размере 10% в год. Он учитывает, что средний уровень инфляции в будущие годы составит 5% в год, и хочет расходовать на потребление ежегодно постоянную сумму в реальном выражении. Какова максимальная сумма, которую он сможет выводить из своих активов в конце

210

каждого года и использовать на потребление?

Чтобы решить эту задачу, сначала необходимо найти реальную процентную ставку, ожидаемую на протяжении жизни нашего пенсионера от вложений в его активы. Это можно сделать, как показано ниже:

Для нашего пенсионера реальная доходность его вложений составит:

Теперь, пользуясь финансовым калькулятором, легко находим, что пенсионер сможет ежегодно расходовать сумму по 78 630, 64 ден.ед. в постоянных ценах. Номинальная же сумма, которую он будет расходовать, будет увеличиваться на 5% в год - с темпом инфляции.

Наращение сложного процента за периоды, меньше одного года.

До сих пор во всех наших примерах мы всегда считали, что сложные проценты начисляются один раз в год, т.е. мы рассматривали годовое начисление сложного процента. Однако довольно часто можно встретить ситуацию, когда начисление процентов происходит чаще, чем раз в год. Так, банк может начислять проценты из расчёта 6% годовых, но с начислением каждые 6 месяцев с капитализацией. Это называется полугодовым начислением. Как рассчитать, какую сумму вы накопите при первоначальном вложении, скажем 100 ден.ед. на конец одного года, двух лет или какого-нибудь другого периода при полугодовом начислении процентов? Заметьте, что фактически по любым облигациям проценты выплачиваются также раз в полгода, по большинству акций дивиденды выплачиваются раз в квартал, а большинство розничных потребительских кредитов и кредитов на образование требует ежемесячных платежей. Следовательно, нужно научиться обращаться с начислением процентов за произвольные периоды времени.

Чтобы проиллюстрировать полугодовое начисление сложных процентов, предположим, что 100 ден.ед. положены на банковский депозит на три года при ставке в 6% с годовым начислением и капитализацией. Сначала рассмотрим, что будет происходить при ежегодном начислении сложных процентов.

В данном случае будущая сумма на счёте окажется равной:

FV = 100 х 1,06³ = 119,10де«.ед.

n

Что же изменится, если проценты будут выплачиваться раз в полгода, а не раз в год? Во - первых, когда платежи производятся чаще, чем раз в год,

211

В нашей ситуации депозит будет приносить 3% дохода каждые шесть месяцев в течение шести периодов, а не 6% в год в течение трёх лет. Как мы дальше увидим, между этими величинами существует определённая разница. Отметим также, что когда вы имеете дело с годовым начислением процентов чаще, чем раз в год, при вводе значений в калькулятор и электронные таблицы должны указываться периодические ставки 5 общее число периодов, а не годовые ставки и число лет.

Теперь мы можем построить временной график для расчёта нашего депозита с полугодовым начислением процентов:

Соответственно графику мы получаем, что теперь FVn = PVx(1+i)ⁿ=100x1,03⁶ = 119,41 ден.ед.

Здесь:

i - это ставка за периоД; n - общее число периоДов.

В мировой экономике для различных типов инвестиций используются различные периоды начисления сложных процентов. Например, на банковские депозиты проценты обычно начисляются ежедневно; по большинству облигаций проценты выплачиваются раз в полгода; дивиденды по акциям обычно выплачиваются ежеквартально. Если нам нужно было бы сравнить ценные бумаги с различными периодами начисления сложных процентов, нам необходимо было бы привести их к одному основанию. Это потребовало бы, что бы мы привели разницу между номинальными процентными ставками и эффективными, или эквивалентными годовыми процентными ставками.

Номинальная процентная ставка в нашем примере составляет 6%. Эффективная (или эквивалентная) годовая ставка определяется как ставка,

212

начисление процентов по которой один раз в конце года даст то же

будущее значение инвестиции, что и при начислении по номинальной процентной ставке, но несколько раз в год с капитализацией. В нашем

примере эффективная ежегодная ставка - это ставка, начисление процентов по которой раз в год позволит получить сумму вклада в конце года 3, равную 119,41 ден.ед. Ниже представлен временной график данной ситуации.

Мы можем рассчитать эффективную годовую ставку при данной номинальной ставке и известном числе периодов начисления процентов за год, используя следующую формулу:

где iNom - номинальная процентная ставка; m - число периодов начисления процентов в год.

Например, чтобы найти эффективную ежегодную ставку, когда номинальная ставка равна 6% и используется полугодовое начисление процентов, мы проводим следующие вычисления:

Формула для расчёта будущей суммы вклада при дробных периодах начисления процентов такова:

Здесь:

iNom - номинальная, или объявленная, процентная ставка; m— число периодов начисления процентов за год; n— число лет.

Полугодовые и более частые периоды начисления сложных процентов можно использовать и для дисконтирования, а также для расчета приведенного и будущего значения как единовременных платежей, так и аннуитетов. Рассмотрим, например, случай, когда мы хотим найти приведенное значение обыкновенного аннуитета с выплатами по 100 рублей в гоДна протяжении трех лет, когда процентная ставка равна 8% с начислением ежегоДно и аннуитета с выплатами по 50 рублей раз в полгоДа с начислением процентов также раз в полгоДа.

Временной график с годовым начислением:

213

Легко найти, что приведенное значение аннуитета равно 257,71 ден.ед. Временной график с полугодовым начислением:

Текущее приведенное значение аннуитета при начислении процентов раз в полгода оказывается равно 262,11 ден.ед. против 257,71 ден.ед. при условии ежегодного начисления процентов. Причина этого состоит в том, что платежи при начислении процентов раз в полгода происходят раньше и на них начисляются большие проценты, поэтому получение 50 ден.ед. в полгода выгоднее, чем 100 ден.ед. при выплатах в конце каждого года.

Сравнение различных типов процентных ставок

Чаще всего в деятельности в области финансов мы имеем дело с тремя типами процентных ставок: номинальными ставками i_Nom, периодическими ставками i_PER и эффективными ежегодными ставками ЕАНили EFF. Важно, чтобы вы понимали, что из себя представляет каждая из них и для чего она используется.

Номинальная процентная ставка iNom. Это ставка, которая объявляется банками, брокерами и другими финансовыми учреждениями. Поэтому, если вы ведете переговоры с банкиром, брокером, компанией, выдающей кредиты на покупку автомобилей, или специалистом по студенческим кредитам, то вам они назовут номинальную ставку. Однако для того чтобы анализ имел смысл, помимо номинальной процентной ставки необходимо знать и число периодов начисления процентов в течение года. Если выпускающий кредитную карту банк объявляет годовую процентную ставку 18% с начислением процентов ежемесячно, это означает, что периодическая процентная ставка равна

Номинальные ставки, доходности разных инструментов можно сравнивать друг с другом, но только если по ним применяется оДно и то же число периоДов начисления процентов за гоД. Так, вы можете напрямую

214

сравнить номинальную доходность по двум облигациям, если по ним выплачиваются проценты раз в полгода. Однако для того чтобы сравнить доходность 6% с выплатой процентов раз в год с доходностью 5% с ежемесячным начислением и капитализацией, необходимо будет привести доходности обоих инструментов к эффективной (эквивалентной) ставке (ЕАК).

Заметьте, что номинальная ставка никогДа не отражается на временном графике и никогДа не используется Для ввода в финансовые калькуляторы (если только начисление процентов не происходит раз в год, и в этом случае i_Nom= i_PER= ЕАR. Если выплаты происходят чаще, чем раз в год, при расчетах следует использовать периодическую ставку.

Периодическая ставка ipER. Это процент, взимаемый кредитором или уплачиваемый заемщиком в течение каждого периода. Это может быть годовая ставка, ставка за период в шесть месяцев, за квартал, за месяц, за день или за любой другой интервал времени. Периодическая ставка находится следующим образом:

i_Nom — номинальная годовая ставка;

т — число периодов начисления процентов в течение года; i_PER - это ставка наращения за один период

Если в год осуществляется только один платеж, то m = 1, и периодическая ставка равна номинальной. Именно периодическая ставка обычно отображается на временных графиках и используется в практических вычислениях.

Эффективная (или эквивалентная) годовая ставка (ЕАR). Это годовая ставка, при ежегодном начислении процентов по которой будущее значение денежного потока будет равно результату начисления периодической ставки m-раз в год. Значение EAR находится так:

В приведенной формуле:

m — это число периодов за год.

Эффективная годовая ставка редко применяется в практических вычислениях. Тем не менее ее удобно использовать для сравнения доходности различных инвестиций с различными сроками получения дохода.

Резюме

Большинство финансовых операций включают ситуации, когда участники сделок осуществляют платежи в одни моменты времени, но получают возмещения

215

в другие. Суммы в долларовом выражении, уплачиваемые или получаемые в эти моменты, отличаются друг от друга, и их приходится сравнивать методами анализа временной стоимости денег (ТVМ). Ниже мы еще раз перечисляем способы этого анализа. Читая этот кейс, обращайтесь к рис. 7.3, чтобы найти на этой диаграмме примеры расчета по тем или иным формулам.

• Наращение сложного процента — это процесс формирования будущего значения (FV) потока денежных средств или ряда таких потоков. Общая сумма, или будущее значение, образуется путем сложения начальной суммы инвестиции и начисленных процентов.

• Будущее значение одиночного платежа:

• Дисконтирование — это процесс нахождения текущего, приведенного значения (РГ)будущего потока денежных средств или ряда таких потоков. Это процесс, обратный наращению сложного процента.

• Приведенное значение одиночного платежа:

• Аннуитет определяется как ряд равных периодических платежей на протяжении заданного числа периодов.

• Будущее значение аннуитета:

Рис. 7.3. Иллюстрация начисления сложных процентов

216

(годовая процентная ставка i = 4%, начисление сложного процента раз за период)

Аннуитет, платежи по которому производятся в конце каждого периода, называется обычным аннуитетом. Приведенные выше формулы относятся к обычному аннуитету.

Если платежи производятся в начале, а не в конце периода, то мы имеем дело с ускоренным аннуитетом. На рис. 7.3 платежи по ускоренному аннуитету производятся в годы с 0 по 2, а по обычному - в годы с 1 по 3. Приведенное значение каждого платежа будет больше, поскольку каждый платеж производится на один период ранее, и приведенное значение всего аннуитета будет также больше. Аналогично и будущее значение ускоренного аннуитета будет больше, поскольку на каждый платеж сложный процент будет начисляться за один дополнительный период. Для преобразования приведенного и будущего значений обычного аннуитета в значения для ускоренного можно использовать следующие формулы:

Если бы временной график, изображенный на рис. 7.3, был продлен до бесконечности, и платежи по 1 тыс. рублей производились бы каждый годв течение неограниченного периода времени, у нас получился бы бессрочный аннуитет (перпетуитет, консоль), значение которого можно было бы найти так:

Если потоки денежных средств непостоянны, мы не можем воспользоваться формулами для аннуитетов. Чтобы найти приведенное и будущее значения неравномерных потоков денежных средств, мы находим приведенное и будущее значения каждого отдельного потока Денежных среДств и затем склаДываем результаты. Если некоторые последовательные потоки денежных средств составляют аннуитеты, то можно использовать соответствующую формулу для приведенного значения части общего денежного потока.

Финансовые калькуляторы имеют встроенные программы, которые выпол­няют все операции, рассмотренные в данной главе. Программы электронных таблиц Ехсе1 также снабжены соответствующими функциями.

Очень часто финансовые сделки предполагают совершение платежей чаще, чем раз в год. Такими являются, например, потребительские кредиты (по ним производятся обычно ежемесячные платежи, а если кредит карточный то ежедневные), и большинство облигаций (проценты выплачиваются раз в полгода или раз в квартал). Аналогично большинство банков начисляет проценты на депозиты ежедневно. Когда начисление сложного процента происходит чаще, чем один раз в год, этот факт должен учитываться. Мы можем использовать пример, изображенный на рис. 7.3, и для иллюстрации начисления процентов один раз в полгода. В этом случае мы должны учесть, что:

1) ставка 4% — это периодическая ставка, которая должна быть преобразована в номинальную ставку; 2) число лет должно быть преобразовано в общее число периодов следующим образом:

Амортизационный заем — это заем, который погашается равными платежами в течение заданного периода времени. График погашения займа показывает, какую часть ежегодного платежа составляют процентные выплаты и какая сумма идет на сокращение основной суммы долга. Также рассчитывается остаток долга на конец каждого периода.

7.2.Оценка денежных потоков в условиях инфляции

В процессе управления денежными потоками требуется учитывать инфляцию, которая с течением времени обесценивает стоимость находящихся в обращении денежных средств.

Влияние инфляции сказывается на многих аспектах формирования денежных потоков предприятия. В процессе инфляции происходит относительное занижение стоимости отдельных материальных активов, используемых предприятием (основных средств, запасов товарно­материальных ценностей и т.п.); снижение реальной стоимости денежных и

218

других финансовых активов (дебиторской задолженности, нераспределенной прибыли, инструментов финансового инвестирования) и т.п. Особенно сильно фактор инфляции сказывается на проведении долгосрочных финансовых операций предприятия, связанных с управлением денежными потоками.

Стабильность проявления фактора инфляции и его активное воздействие на результаты финансовой деятельности предприятия в сфере управления его денежными потоками определяют необходимость постоянного учета влияния этого фактора.

Концепция учета влияния фактора инфляции в управлении денежными потоками предприятия заключается в необходимости реального отражения их стоимости, а также в обеспечении возмещения их потерь, вызываемых инфляционными процессами, при осуществлении различных финансовых операций.

Методический инструментарий, позволяющий учесть фактор инфляции в процессе управления денежными потоками предприятия, дифференцируется в разрезе следующих основных вычислений (рис. 7.6).

Рис. 7.6. Систематизация основных методических подходов к учету фактора инфляции

в процессе управления денежными потоками предприятия

I. Методический инструментарий прогнозирования годового темпа и индекса инфляции основан на ожидаемых среднемесячных ее темпах. Такая информация содержится в публикуемых прогнозах экономического и социального развития страны на предстоящий период. Результаты прогнозирования служат основой последующего фактора инфляции финансовой деятельности предприятия.

1. При прогнозировании годового темпа инфляции используется следующая формула:

220

количество интервалов, по которым осуществляется каждый процентный платеж, в общем обусловленном периоде времени.

2. При оценке настоящей стоимости денежных средств с учетом фактора инфляции используется следующая формула:

^p

где Pp - реальная настоящая сумма вклада (денежных средств), учитывающая фактор инфляции; Sн - ожидаемая номинальная будущая стоимость вклада (денежных средств); ip - реальная процентная ставка, используемая в процессе дисконтирования стоимости, выраженная десятичной дробью; ТИ - прогнозируемый темп инфляции, выраженный десятичной дробью; n - количество интервалов, по которым осуществляется каждый процентный платеж, в общем обусловленном периоде времени.

IV. МетоДический инструментарий формирования необхоДимого уровня ДохоДности финансовых операций с учетом фактора инфляции, с одной стороны, призван обеспечить расчет суммы и уровня «инфляционной премии», а с другой - расчет общего уровня номинального дохода, обеспечивающего возмещение инфляционных потерь и получение необходимого уровня реальной прибыли.

1. При определении необходимого размера инфляционной премии используется следующая формула:

где ПИ- сумма инфляционной премии в определенном периоде; Р - первоначальная стоимость денежных средств; ТИ - темп инфляции в рассматриваемом периоде.

2. При определении общей суммы необходимого дохода по финансовой операции с учетом фактора инфляции используется следующая формула:

где Дн - общая номинальная сумма необходимого дохода по финансовой операции с учетом фактора инфляции в рассматриваемом периоде; Др - реальная сумма необходимого дохода по финансовой операции в рассматриваемом периоде, исчисленная по простым или сложным процентам с использованием реальной процентной ставки; Пи - сумма инфляционной премии в рассматриваемом периоде.

Зависимость общей суммы необходимого дохода и размера инфляционной премии от темпа инфляции может быть представлена графически (рис. 7.7).

221

Рис. 7.7. Зависимость номинальной суммы необходимого дохода и размера инфляционной премии от темпа инфляции

3. При определении необходимого уровня доходности финансовых операций с учетом фактора инфляции используется следующая формула: где УД - необходимый уровень доходности финансовых операций с учетом фактора инфляции, выраженный десятичной дробью; Д - общая

номинальная сумма необходимого дохода по финансовой операции в рассматриваемом периоде; Д - реальная сумма необходимого дохода по

финансовой операции в рассматриваемом периоде.

Прогнозирование темпов инфляции представляет собой довольно сложный

и трудоемкий вероятностный процесс, в значительной степени подверженный влиянию субъективных факторов. Поэтому в практике управления активами может быть применен более простой способ учета фактора инфляции. В этих целях стоимость денежных средств при их последующем наращении или размер необходимого дохода при последующем его дисконтировании пересчитывается заранее из национальной валюты в одну из «сильных» (т.е. в наименьшей степени подверженных инфляции) свободно конвертируемых валют по курсу на момент проведения расчетов. Процесс наращения или дисконтирования стоимости осуществляется затем по реальной процентной ставке (минимальной реальной норме прибыли на капитал). Такой способ оценки настоящей или будущей стоимости денежных потоков позволяет вообще исключить из ее расчетов фактор инфляции внутри страны.

222