Потоки платежей

Потоком платежей называется последовательность

где— моменты времени,— платежи, происходящие в соответствующие моменты; поток платежей мо

жет быть конечным (если последовательность (4.3.1) состоит из конечного числа m платежей) или бесконечным (в противном случае).

Потоки платежей удобно изображать графически, при этом положительные величины платежей, соответствующие денежным поступлениям, изображаются стрелками, направленными вверх, а отрицательные величины платежей, соответствующие денежным выплатам, — стрелками, направленными вниз (рис. 4.3.1).

Рис. 4.3.1. Поток платежей

Пример 4.3.1. Предположим, что мы должны вернуть два долга: 14 000 руб. через год и 6000 руб. через два года и хотим погасить свою задолженность досрочно, сегодня. Какую сумму мы должны выплатить, если ставка банковского процента равна i = 10%?

Решение. Поток платежей, соответствующий условиям данного примера, изобразим на рис. 4.3.2.

Предположим, что кредитор предлагает нам просто осуществить сегодня платеж, равный суммарному долгу:

Если бы мы сегодня поместили эту сумму x = 20 000 руб. в банк, то через год она превратилась бы в x(1 + i) = 20 000(1 + 0,1) = 22 000 руб. Из этой суммы мы бы выплатили первый долг 10 000 руб., а оставшиеся 22 000 - 10 000 = 12 000 руб. оставили бы на банковском счете, тогда еще через год на счете будет 12 000(1 + 0,1) = 13 200 руб., из которых мы заплатим долг 6000 руб., при этом у нас на счете останется 13 200 - 6000 = 7 200 руб. Видно, что согласившись выплатить просто сумму долгов, мы существенно переплатили бы!

Рис.

при этом первое слагаемое 12 727 руб. 27 коп. — это абсолютная величина современной стоимости первого долга, а 4958 руб. 68 коп. — абсолютная величина современной стоимости второго долга. ?

Пример 4.3.1 демонстрирует, что для того чтобы оценить современную ценность потока платежей, необходимо все эти платежи привести по формуле (4.2.3) к начальному моменту времени, после чего сложить полученные приведенные ценности платежей. Можно обобщить этот результат и рассматривать ценность потока платежей не только в настоящий момент времени, но и в любой другой момент T: стоимостью потока платежей (4.3.1) в момент времени T называется сумма платежей, приведенных к этому моменту:

при этом величина

называется современной ценностью (Net Present Value) потока платежей (4.3.1), а величина

называется накопленной к моменту t_m ценностью (Net Future Value) потока платежей (4.3.1); обычно рассматривают ценность потока платежей, накопленную к моменту последнего платежа.

В пакете Microsoft Excel существует функция

для вычисления современной ценности потока платежей.

4.4.