Приведенная ценность денег

Предположим, что мы должны выплатить в момент t > 0 в будущем некоторую сумму B_t, и у нас есть возможность воспользоваться банковским счетом, по которому начисляется i процентов годовых.

Очевидно, суммы В₀ и B_t связаны равенством (4.1.1) в случае простых процентов, равенством (4.1.4) — в случае сложных процентов и равенством (4.1.5) — в случае непрерывных процентов. Для этих трех случаев получаем:

Таким образом, ценность денег постоянно меняется во времени; один миллион рублей, выплаченный (не важно, нам или нами) сегодня — это совсем не то же самое, что тот же миллион рублей, выплаченный через десять лет. Сегодня этой суммой можно воспользоваться (хотя бы для получения процентного дохода от вложения на банковский счет), а десятилетний срок ожидания довольно-таки долог. Если мы отложим использование данной суммы на десять лет, и на этот срок положим ее в банк (который для определенности, платит 10% годовых), то через десять лет у нас будет не 1 000 000 руб., а— более

чем в 2,5 раза больше!

Поэтому сравнивать, складывать и производить любые другие операции над денежными суммами можно только в том случае, когда эти суммы рассматриваются в один и тот же момент времени.

Как правило, суммы приводят к настоящему моменту времени, и нужные операции производят не с рассматриваемыми денежными суммами, а с их современными эквивалентами.

В реальных условиях обычно используются схемы сложных или непрерывных процентов; при этом сумма B_t в момент времени t > 0 имеет в момент времени) ценность B₀, определяемую соот

ветствующей из формул (4.2.2)—(4.2.3).

(4.2.2) —(4.2.3) приведут просто к сумменакопленной за срок

Итак, вне зависимости от знака t ценность в настоящий момент времени суммы B_t, выплачиваемой в момент времени t, определяется формулами (4.2.2)—(4.2.3). Эта ценность В₀ денежной суммы B_t в настоящий момент времени называется современной ценностью суммы B_t. Современная ценность единичной суммы обозначается v_t; в случае сложных процентов

а в случае непрерывных процентов Величина

называется коэффициентом дисконтирования, при этом в случае непрерывного начисления процентов из формулы (4.2.3) следует, что

Поскольку начальный момент времени может быть выбран произвольно, ценность суммы B_t в момент времени t₂ определяется

формулой

откуда

формула (4.2.7) выражает одинаковую ценность обеих сумм в момент времени ₀

При этом величинаназывается приведенной к моменту ценностью суммывыплачиваемой в момент

Пример 4.2.1. Что предпочтительнее: получить 100 000 руб. через два года или 120 000 руб. через три года, если банк начисляет сложные проценты по ставке i = 10% годовых?

Решение. По формуле (4.2.4) современная ценность первой суммы равна

а современная ценность второй суммы —

поэтому второй вариант оказывается предпочтительнее первого. ?

4.3.