Доказательства утверждений, приведенных в главе 1

Доказательство теоремы 1.3.1. Из ограничений (1.3.3) следует, что на любом допустимом управлении и соответствующий критерий оптимальности (1.3.1) К(и) имеет смысл и существует верхняя грань таких значений функционала К(и).

K(uk) ->? sup К (и). (А.1)

uewad

Очевидно, что множество W является ограниченным в пространстве [Hl(to, to + T)]q. Тогда, пользуясь теоремой Банаха- Алаоглу, из {ик} можно извлечь такую подпоследовательность, сохраняя для нее для краткости исходное обозначение, что имеет место сходимость «t-Уив слабой топологии [H1(to,to+T)]q. Учитывая замкнутость множества W, установим включение и Є W. Согласно теореме Реллиха-Кондрашова, вложение [Hl(to, to + T)]q С С (C[to,to +T])q компактно. Тогда после, быть может, выделения подпоследовательности установим сходимость

ик^и в {C[to,to+T])q. (А.2)

Обозначим через х решение задачи (1.1.1), (1.1.2), соответствующее предельному значению и. Справедливы соотношения xk(t) -x(t) = f(xk{t),uk(t),X) - f{x{t),u{t),\), Xk(to) - x(to) = 0, где через xk обозначено решение системы (1.1.1), (1.1.2), соответствующее закону регулирования ик. В результате получаем следующее неравенство для t Є [0,Т]: t

\xk(t)-x(t)J\/(хк(т),щ(т),\) - f(x(T),u(T),\)\dT < to

t t ^ Lf J \хк(т) - х(т)\йт + Lf J \ик(т) - и(т)\dr ^

to to

t

^ Lf J \хк(т) - x(r)\dT + LfT\\uk - u\\,

to

где Lf есть константа Липшица функции /, а норма здесь и далее понимается в смысле соответствующей степени (своей для управления и функции состояния) пространства C[to,to + Т]. Пользуясь леммой Гронуолла, установим существование такой константы с > 0, не зависящей от к, что имеет место оценка

\\хк - ж|| < c\\uk - u||. (А.З)

Переходя здесь к пределу с учетом условия замкнутости множества X(t), установим, что для предельной функции х выполняется включение (1.3.2), а значит, закон регулирования и является допустимым.

Справедливо неравенство

\F(xk(t)) - F(x(t))\ ^ LF\xk(t) - x(t)I,

где Lp есть константа Липшица функции F.

to+T

J \F(xk(t)) - F(x(t))\dt ^ cTLF\\uk - u||.

to

Отсюда, переходя к пределу, получим, что

to+т to+T

J F(xk(t)) dt —»? J F(x(t))dt.

to to

Учитывая, что левая часть этого выражения есть К(ик), в силу (А.1) заключаем, что

to+T

/ F(x(t))dt= sup К (и), J и eWad

to

а значит, закон регулирования и является оптимальным. Теорема 1.3.1 доказана.

Доказательство теоремы 1.3.2. В силу конечности множества законов регулирования достаточно доказать разрешимость задачи максимизации функционала Kf на множестве для выбранного номера j (j = 1,.. - ,г). В силу ограничений на степень роста функции F и условия (1.3.13) с ограниченным множеством (J X(t) существует верхняя грань функционала Kj, а зна- te(t0,t0+T]

чит, существует соответствующая максимизирующая последова- тельность, т.е. такая последовательность {vk} элементов множества что имеет место сходимость

Kj{yk) ->• sup Kj{v). (А.4)

В силу замкнутости и ограниченности множества V после выделения подпоследовательности получаем сходимость

vk ->• V в Rl, (А.5)

причем v Є V.

Из (1.3.13), (1.3.14) получим равенства

•ос» .;••(/)

= f(xf(t),GJ(vk,xf(t)),X) - /(х](і),С,(у,х](і)),Х),

x]*(t0)-xi:(t0) = 0.

Отсюда получаем следующее неравенство для t Є (to, to + T]:

\х^(і)-х](і) I < t

< 11 f(xvJk(T),GJ(vk,xvJ"(T)),X)-f(xlj(T),GJ(v,x](T)),X)\dT^ to

t

^LfJ \х^(т)-х)(т)\йт+

to

t

+Lf j \С3(ук,х^(т)) - G3(v,x)(r))\dr < to

t

^Lf(l + Lj) J \xf(r) - x^dT + LfL^Vk - v\.

to

Здесь Lj и Lj есть константы Липшица функции / и Gj соответственно, а норма понимается в смысле пространства R1. Используя лемму Гронуолла и последнее неравенство, установим существование такой константы с > 0, не зависящей от к, j, X и t, что имеет место оценка

\xvMt)-xvAt)\^c\vk-v\, (А.6)

откуда следует, что

(А. 7)

Из условия Vk Е следует включение

xf{t)EX{t), і Є (to, to+Т].

Отсюда в силу (А.7) и замкнутости множества X(t) следует, что имеет место условие

Х](і,)ЕХ(і,), te(t0,t0 + T]. (А.8)

Из выполнения условий Липшица для функции Gj следует неравенство

| Gj(vk,x]b(t)) Gj(v,x](t))\ < Lf (К-v\ + I xf{t) - x](t) I).

Отсюда в силу неравенства (А.6) следует существование такой положительной константы с\, не зависящей от каких либо параметров, что имеет место оценка

G3(v,x)(t))\ < Cl\vk-v\.

Отсюда следует сходимость

Учитывая включение Gj(vk,xVjk (t)) EU(t) и замкнутость множества U(t), получаем, что Gj{v,xv-(t)) Е U(t).

что v Е Vld.

Обоснование сходимости

to+T t0+T

J F{xvf{t))dt^ J F(x'j (t)) dt

to to

на основании сходимости (A.7) осуществляется так же, как и аналогичное свойство в теореме 1.3.1. Тогда из условия (А.4) следует, что настраиваемый коэффициент v является оптимальным. Теорема 1.3.2 доказана.

Доказательство теоремы 1.3.3. Очевидно, что множество допустимых значений функции К ограничено сверху (ограниченность непрерывной функции на компакте). Тогда существует верхняя грань supii' этого множества. Следовательно, существует такая последовательность вектор-функций (хк,щ) что выполнены

соотношения

xk(t + l) = f(xk(t),uk{t),\): t = 0,1,..., n — 1, (А.9)

xk(0)=x0, (А.Ю)

xk{t)?X{t), t = l,...,n, (A.ll)

uk(t) Є U(t), t = 0,l,...,n-l, (A.12) а также сходимость

K(xk) ->? sup if. (A.13)

В силу равномерной ограниченности множеств X(t) и U(t) последовательности {xk} и {uk} ограничены. Тогда, согласно теореме Больцано-Вейерштрасса, после выделения сходящейся подпоследовательности получим сходимости uk —> и и хк —т- х. Учитывая замкнутость множеств X(t) и U(t), заключаем, что предельная пара (и, х) удовлетворяет включениям (1.3.17) и (1.3.18). Переходя к пределу в соотношениях (А.9), (А. 10), установим справедливость соотношений (1.3.14), (1.3.15), а значит, пара (it, ж) является допустимой. Учитывая непрерывность функции К, получаем сходимость К(хк) —> supК(х). Отсюда и из условия (А.13) следует, что значение К(х) совпадает с верхней гранью sup if на множестве допустимых пар системы. Теорема 1.3.3 доказана.

Доказательство теоремы 1.3.4. Ограниченность множеств

следует из ограниченности V, а его замкнутость — из замкнутости и ограниченности множеств X(t) и U(t), а также непрерывности функций / и Gj и теоремы о замкнутости полного прообраза компакта при непрерывном отображении V (X(t), U(t + 1)), задаваемым определением множества V^. Утверждение теоремы следует из теоремы Вейерштрасса о достижении непрерывной функции на компакте своего наибольшего значения.

Доказательство теоремы 1.3.5.

Покажем, что существуют математические ожидания величин, входящих в фазовое ограничение (1.3.30). Действительно, согласно уравнению (1.3.27), имеем

Е [x(t + 1)] = E[f(x(t,),u(t),X)] + E[?(f)].

Второе слагаемое в правой части этого равенства имеет смысл в силу условий теоремы, а первое вычисляется по формуле

E[f(x(t),u(t),X)} = J f(u>,u(t),\)px{t)(u>)doj,

RN

если последний интеграл абсолютно сходится (здесь через обозначена плотность распределения вероятностей случайной величины x(t)). Последний факт действительно имеет место в силу ограничений на рост функции / и наличия математического ожидания величины x(t) для любого t = 1,.. .,п (этот факт проверяется с помощью метода математической индукции).

Существование математического ожидания в правой части равенства (1.3.29) следует из ограничений на рост функции Ft и существования математического ожидания величины x(t). Пусть имеет место СХОДИМОСТЬ векторов Uk —7• U, Uk Є Uad- Из уравнения (1.3.27) следует равенство

\xk{t + l)-x{t + l)\ = \f{xk(t),uk{t),X) - f(x{t),u(t),X)\,

где xk и х есть решения задачи (1.3.27), (1.3.28) при управлениях щ и и соответственно. Тогда справедливо соотношение

| xk(t + 1) - x(t + 1)K Lf[\xk{t) - x(t) I + \uk(t) - u(i)|],

где Lf есть константа Липшица функции /. Повторяя аналогичные рассуждения и учитывая, что, в силу условия (1.3.28), ж&(0) = ж(0), будем иметь

\xk{t + 1) - x(t + 1)1 < {Lff\xk{t - 1) - x(t - 1)1 +

+ (Lf)2\uk(t - 1) - u(t - 1)| + Lf\uk(t) - u(t) I ^ t

<: -s)-u{t-s)I < ek,

s=0

где єк 0 при к —> оо.

Обозначив через Lp максимальную из констант Липшица функций Ft, для t = 1,..., п получаем оценку

I Ft[xk(t)]-Ft[x(t)]\^Lp?k.

Вычислив математические ожидания от обеих частей этого неравенства, получим неравенство

E{\Ft[xk(t)] -Ft[x(t)]\} ^LFek.

Отсюда следует, что ЕЦі^ж^і)] — Ft[x(t)]\} —> 0 и сходимость рассматриваемой последовательности Е{Ft[xk(t)]} —> E{Ft[ж(і)]}. Отсюда в силу (1.3.29) следует непрерывность функции К = К(и).

Ограниченность множества Ua(i следует из ограниченности множества U(t). Замкнутость множества Uafi следует из непрерывности отображения Uad X, задаваемого с помощью определения множества Uad и компактности множества X (теорема о замкнутости полного прообраза компакта при непрерывном отображении). Теперь существование решения исследуемой задачи вытекает из теоремы Вейерштрасса. Теорема 1.3.5 доказана.

Доказательство теоремы 1.3.6. Достаточно установить, что все функции Kf непрерывны, а все множества замкнуты и ограничены, где j = 1,..., г. Существование всех используемых ниже математических ожиданий доказывается так же, как и при доказательстве теоремы 1.3.5.

Учитывая аддитивность математического ожидания, найдем значения

п

K] = KJ{v) = YJ4Ft[x)m,

t=і

откуда следует неравенство для v,,w Є Vj

ad,' <

\KAv) -KAw)\ = t=1

t=1 n

?

t=і

E{Ft[xm}-E{FtW(t)}}\- (A.14) Из соотношений (2.41), (2.42) следует, что \x]{t+l)-xj{t+l)\ =

= |/(^(t),G>,^(t)),A) -f(xJ(t),Gj(w,xJ(t)),X)\ ^ ^ Lf[\x]{t)-x^{t)I + IG3{v,xv3{t)) - Gj^xjml

t = 0,l,...,n-l, (A.15) где LF есть константа Липшица функции /. Обозначив через LQ максимальную из констант Липшица функции GJ, получим нера

венство

w\

< Lf(l + LG)\x]{t) - xj(t)I + LfLG\v -

, n — 1.

t = 0,1,

\xvJt + l)-xJ(t + 1)1 < Учитывая равенство — = 0, получаем оценку

\x»(i, + l)-x™{t + l)\ < t

^LfLGJ2[Lf{l+LG)]l\v-w\^p\v-w\ yv,weV^d, (A.16) г=о

где

t

(3 = LfLGY,[Lf(l + LG)]1.

1=0

Обозначив через Lp максимальную из констант Липшица функции Ft, будем иметь

№?(*)] - Ft[xJ(t)]\ < Lp\xVj(t) - xj(t)I <

^ LF(3\v-w\ yv,w (A.17)

Итак, в случае достаточной малости разности настраиваемых коэффициентов v и w значения Xj(t) и xj(t) (а также Ft[x^(t)] и Ft[xJ(t)]) будут сколь угодно близки друг к другу. Определим сходящуюся последовательность w = —> v. Тогда, найдя математические ожидания от левой и правой частей неравенства (А. 17), получим неравенство

E[\Ft[x](t)]-Ft[xf(t)}\] < LF(}\v-vk\. Отсюда следует сходимость

E{Ft[xv/m^E{Ft[x]m,

из которой следует непрерывность функции Kj(v).

Поскольку С V, то множества V^d ограничены. Замкнутость множеств следует из замкнутости множеств U(t), X(t + 1), доказанной выше непрерывности отображений v —> —)? Е[xVj(t + 1)], v E[Gj(w,x^(t))] и определения множества V^d как полного прообраза указанных множеств при непрерывных отображениях. Утверждение теоремы следует из теоремы Вейер- штрасса о достижении непрерывной на компакте функции своей верхней грани.

Доказательство леммы 1.3.1. Пусть имеет место сходимость некоторой последовательности —> CIQ, где Є А. Обозначим через uk точку максимума функции К„_к на множестве Ua,k, а через щ — точку максимума функции Као на множестве Uao. Учитывая if-непрерывность семейства множеств {(/„} и непрерывность на А х U функции /а(ж), заключаем, что для любого числа є > 0 найдется такой номер ко, что при к > ко найдутся точки и'к Є Uao, для которых выполняются неравенства

I Kak(u'k) ~Как(щ)\ ^ Є и, кроме того, шах\Как (у) - Као(у) | < Є.

у&и

В результате при к > ко получаем следующие неравенства: Као{щ) > Kao(u'k) > Kah(u'k) - є > Kah{uk) - 2є. (A.18)

Подобным образом проверяется соотношение

Kak(uk) ^ Као(щ) - 2є. (А.19)

Из (А.18) и (А.19) следует, что при достаточно больших к справедливо неравенство \Как(и) — Као(щ)\ ^ 2є, которое обеспечивает сходимость последовательности Kak(uk) —> Као(щ). Лемма 1.3.1 доказана.

Доказательство теоремы 1.3.7. Не ограничивая общности, в силу локальности задачи, множество А можно считать компактным. Как было отмечено выше, рассматриваемые задачи синтеза законов параметрического регулирования сводятся к нахождению наибольших значений непрерывных функций (критерия оптимизации К (и, А)) в компактных множествах допустимых значений регулируемых параметров: шах К (и, А). Здесь Uadt а —

множество допустимых значений регулируемых параметров соответствующей задачи при выбранном значении неуправляемого параметра А Є А. Компактность этих множеств была проверена при доказательстве теорем 1.3.1, 1.3.3, 1.3.5. Из непрерывности отображений (и, А) —> хШ:\ ((и, А) —> Е[жИ;д] для стохастических случаев) и (и, А) —К(и, А), с учетом компактности множеств U и А, следует if-нспрсрывность набора множеств {Uad\ '? А Є А}. Требуемое утверждение вытекает из леммы 1.3.1.

Доказательство теоремы 1.3.8. Как и в предыдущей теореме, множество А можно считать компактным. Как было отмечено выше, для заданного значения j задачи выбора оптимальных законов параметрического регулирования сводятся к нахождению наибольших значений непрерывных функций (критерия оптимизации Kj(u, А)) в компактных множествах допустимых значений

настраиваемых коэффициентов: max Kj(v, А). Здесь ^ —

veVj, .

ad,X

множество допустимых значений настраиваемых коэффициентов соответствующей задачи при выбранных номере закона j и значении неуправляемого параметра Л Є Л. Компактность этих множеств была проверена при доказательстве теорем 1.3.2, 1.3.4, 1.3.6. Из непрерывности отображений (v,X) —> ((и, А) —>

-7- для стохастических случаев), (v, А) —> Gj(v,xv-'^)

((и, А) E[Gj(v, Для стохастических случаев) и (и, А) —>

—>•Kj(u,\), с учетом компактности множеств V и А, следует ^•-непрерывность набора множеств {V3dX : А Є Л}. Требуемое утверждение вытекает из леммы 1.3.1.

Доказательство следствия 1.3.1. Поскольку оптимальное значение критерия указанных задач определяется как наибольшее значение оптимальных значений критериев Kj по всем возможным законам параметрического регулирования из их заданного набора, то его можно записать в виде

К(А) = max max Kj(v,X). j=l,...,r veV3d x

Поскольку K(А) является наибольшим значением из конечного числа непрерывных функций, то эта функция так же является непрерывной в Л.

Доказательство теоремы 1.3.9. Соединим точки Ао и Ai гладкой кривой S, лежащей в области Л: S = {A(s), s Є [0,1]}, А(0) = Ао, А(1) = Ах. Обозначим оптимальное значение критерия Kj задачи 1.3.2, 1.3.4, 1.3.6 или 1.3.8 для выбранного закона Gj параметрического регулирования и значения неуправляемого параметра А = A(s) через Kj{s). Из теоремы 1.3.9 следует, что функция у = Kj(s) является непрерывной на отрезке [0,1]. Функция у = max Kj(s) = K*(s), дающая решение рассматриваемой

задачи 1.3.2, 1.3.4 или 1.3.6, следовательно, также является непрерывной на отрезке [0,1]. Обозначим через A (j) С [0,1] множество всех тех значений параметра s, для которых Kj(s) = K*(s). Это множество замкнуто как полный прообраз замкнутого множества {0} для непрерывной функции у = Kj(s)—K*(s). Множество A(j) может быть и пустым. В результате промежуток [0,1] представляется в виде следующего конечного объединения, состоящего, как минимум, из двух непустых замкнутых множеств (см. условия теоремы):

[0,1]= и Д(Я-

Следовательно, поскольку по условиям теоремы 0 Є А(Іо) и 1 ф. A (jo), то имеется граничная точка So множества A (jo), находящаяся в интервале (0,1) (будем считать, что So — нижняя грань таких граничных точек для множества A(jo)). Точка so также является граничной точкой некоторого другого множества A(j2) и принадлежит ему. Для найденного значения so точка A(so) является искомой точкой бифуркации, поскольку для А = A(so) имеется, как минимум, два оптимальных закона (Gj0 и Cj9), а при А = A(s) для 0 ^ s < so — один оптимальный закон Gj0. Теорема 1.3.9 доказана.

Доказательство леммы 1.5.1. Приравняв правые части уравнений системы (1.5.1) к нулям, получим соотношения (1.5.2). Очевидно, что к* >0, с* > 0. Запишем определитель матрицы Якоби для правых частей уравнений (1.5.2) в точке (к*, с*):

a - 1

Л= ТЛ БН<*+*>)((«+ W1 "«) +Р-П).

(1 — р)а

Поскольку при всех указанных значениях параметров А, а, /3, 8, п, р математической модели А < 0, то найденная особая точка (к*,с*) является седловой точкой системы (1.5.1). Лемма 1.5.1 доказана.

Доказательство теоремы 1.5.1. Проверим, что система (1.5.3) в области Г^і не имеет циклических траекторий. Допустим противное: в области f^i есть циклическая траектория. Тогда внутри ее должна существовать, по крайней мере, одна особая точка и сумма индексов Пуанкаре особых точек, находящихся внутри этого цикла, равна [12, с. 117]. Но в области имеется всего одна седловая точка с индексом —1. Противоречие. Проверим, что устойчивая и неустойчивая сепаратрисы седло- вой точки (х*,у*) не образуют одну траекторию в области fii. Допустим противное: устойчивая и неустойчивая сепаратрисы седло- вой точки (х*,у*) составляют одну особую траекторию 7, лежащую в Г^і. Тогда эта траектория (или, если имеется, вторая траектория, составленная из других устойчивой и неустойчивой сепаратрис) вместе с особой точкой являются границей ограниченной ячейки лежащей в области П |. Рассмотрим полутраекторию L.исходящую из некоторой точки (жі,уі), где (жі,|/і) — внутренняя точка 0,2- Тогда, в силу отсутствия циклических траекторий и единственности состояния равновесия, предельными точками L+ может быть только граница ячейки О2 (точка (х\,уі) не может быть единственной предельной точкой L+, поскольку эта точка седловая) [12, с. 49]. Рассмотрим теперь полутраекторию L_, исходящую из точки (хі,уі) в противоположном относительно L+ направлении. Очевидно, что предельными точками 1/_ не может являться граница 02. А в силу отсутствия других особых точек и особых траекторий в области 02, получаем противоречие.

В соответствии с [12, с. 146, теорема 12] теорема 1.5.1 доказана.

Доказательство утверждения 1.5.1. Проверим вначале, что полутраектория потока /, начинающаяся в любой точке множества N при некотором значении t (t > 0), выходит из N.

Рассмотрим любую полутраекторию, начинающуюся в N. Для нее при t > 0 возможны два случая: все точки полутраектории остаются в N или для некоторого t точка полутраектории не принадлежит N. В первом случае из уравнения (1.5.23) системы следует, что переменная p(t) для всех t > 0 имеет производную, большую некоторой положительной константы при Q < 0 или меньшую некоторой отрицательной константы при Q > 0, т. е. p(t) неограниченно возрастает или стремится к нулю при неограниченном увеличении t, поэтому первый случай невозможен, орбита любой точки из N выходит из N.

Поскольку любое цепочно-рекуррентное множество R(f, N), лежащее внутри N, является инвариантным множеством этого потока, то, в случае его непустоты, оно состоит только из целых орбит. Следовательно, в нашем случае R(f, N) пусто. Утверждение следует из теоремы А Робинсона [67].