1.5.8. Эндогенная модель Джонса

(1.5.153)

(1.5.154)

(1.5.155)

(1.5.156)

Nt = Nt^(l + nt),

LM = hNtfЧ, LYt = kNt( 1 — 7rt), At = At.1 + 6LxA{t_1)Al1,

YT = ATL^T?U Утр

wt =

LAt Здесь t — дискретное время, номер года.

Эндогенные переменные модели:

Nt — численность населения страны (человек);

LAt — число людей, вовлеченных в выработку идей (человек);

Lyt число людей, вовлеченных в производство потребительских товаров (человек);

At — запас идей в экономике (безразмерная);

Yt — выпуск потребительских товаров, выражаемый с помощью производственной функции (тенге/год);

Wt — заработная плата на одного работающего в единицу времени (тенге/год);.

Экзогенные переменные модели:

щ — темп роста населения (1/год);

It — доля занятых в экономике от общего числа населения (безразмерная);

71~t — доля вовлеченных в выработку идей от общего числа занятых в экономике людей (безразмерная);

?t — экзогенный производственный шок.

Экзогенные параметры модели:

6, А (безразмерная), <р (безразмерная) параметры производственной функции производства идей;

<т, /3 — параметры производственной функции выпуска потребительских товаров (безразмерные);

р — доля фонда заработной платы от общего выпуска потребительских товаров (безразмерная).

Отметим, что в оригинальном описании модели в [61] параметр р отсутствовал, там подразумевалось, что весь выпуск потребительских товаров идет на оплату труда работников.

К экзогенным параметрам модели относятся начальные значения (при t = 0) эндогенных переменных динамических уравнений (1.5.151), (1.5.154) модели: iVo и Aq.

Оценка экзогенных параметров модели Джонса и ретроспективный прогноз. В рамках решения задачи оценки экзогенных параметров (параметрической идентификации) модели были получены оценки экзогенных функций и параметров щ, It, тгt, ?t, 5, A, (f, (7, /3, /9, NO и Aq поисковым методом в смысле минимума критерия (суммы квадратов невязок эндогенных переменных) на базе статистических данных эволюции экономики Республики Казахстан за 2000-2009 гг. При этом значения экзогенных функций и параметров искались в малых промежутках с центрами в наблюдаемых значениях (при их наличии) соответствующих функций и параметров.

Критерий параметрической идентификации имеет вид

V ТІ / \ ^

Здесь v = 5 — число эндогенных переменных, используемых в оценке параметров; n + 1 — количество наблюдений, t = 0 соответствует 2000 г.; хtj — расчетные значения эндогенных переменных (NT, L/\T, LYT, YF, WT). Знак «*» соответствует наблюдаемым значениям соответствующих переменных.

При решении задачи оценки параметров применялся алгоритм Нелдера Мида [66]. Поставленная задача параметрической идентификации решалась с использованием статистических данных 2000-2007 гг. (п = 7). В результате решения поставленной задачи относительная величина среднеквадратического отклонения расчетных значений эндогенных переменных модели от соответствующих наблюдаемых значений (100\/К[) не превысила 1%.

В рамках верификации модели решалась следующая задача ретропрогноза. Используя найденные в результате оценки значений экзогенных функций, параметров и начальных значений эндогенных переменных на промежутке 2000-2007 гг. (а также экстраполяцию значений экзогенных функций на 2008-2009 гг.), получить оценку на промежутке с 2008 по 2009 г. относительных погрешностей расчетных значений эндогенных переменных модели относительно соответствующих наблюдаемых значений. Результаты решения этой задачи приведены в табл.

Таблица 1.5.12. Наблюдаемые расчетные значения выходных переменных модели и соответствующие отклонения (в процентах) Год 2008 2009 Год 2008 2009 Y: 2,895 • 1013 3,450 • 1013 ALM 1,335 2,650 Yt 2,988 • 1013 3,660 • 1013 Ц 7,844 • 10е 8,041 • 10е AYt 3,210 6,092 Lyt 7,699 • 10е 7,786 • 10е N? 16,068 • 10® 16,470 • 10® ALYt 1,847 3,155 Nt 15,748 • 10® 15,927 • 10® w*t 741,751 • 103 863,110 • 103 ANt 1,992 3,298 wt 767,743 • 103 930,701 • 103 LAt 18219 18674 A wt 3,504 7,831 ЬАЬ 17975 18179

Средняя погрешность указанных в таблице переменных на период ретропрогнозирования составила 3,49%, что указывает на приемлемую точность описания эволюции экономики Казахстана с помощью исследуемой модели.

Исследование структурной устойчивости математической модели Джонса. Исследуем грубость (структурную устойчивость) модели (1.5.151)—(1.5.156), основываясь на приведенной теореме о достаточных условиях слабой структурной устойчивости и при дополнительном предположении о постоянности всех экзогенных функций модели. Значения этих функций, а также значения всех экзогенных параметров исследуемой модели будем считать постоянными положительными числами. В этом случае уравнения (1.5.151)—(1.5.156) определяют гомеоморфизм / (и соответствующий каскад), определенный в плоскости (N,A).

Утверждение 1.5.7. Пусть М — компактное множество, лежащее в области (N >0, А > 0) фазового пространства каскада /, задаваемого уравнениями (1.5.151)—(1.5.156). Замыкание внутренности М совпадает с М. Тогда каскад / слабо структурно устойчив на М.

В качестве М можно выбрать, например, прямоугольник с границами N = Nmin, N = iVmax, А = Ашіп, А = Amax. Здесь 0 ^ -^min ^ Л'тах) 0 Ат[п < Атах.

Доказательство. Проверим вначале, что полутраектория каскада /, начинающаяся в любой точке множества М при некотором значении t (t > 0), выходит из М.

Поскольку любое цепочно-рекуррентное множество R(f,M), лежащее внутри М, является инвариантным множеством каскада, то, в случае его непустоты, оно состоит только из целых орбит. Следовательно, в нашем случае, R(f, М) пусто. Утверждение следует из теоремы А Робинсона [67].

Оценка параметрической чувствительности модели Джонса. В рамках решения задачи по оценке влияний значений экзогенных параметров и функций модели на значения ее эндогенных переменных была составлена матрица, строки которой занумерованы с помощью всех экзогенных параметров и функций, а столбцы — значениями шести эндогенных переменных для t = 9, что соответствует 2009 г. Эта матрица содержит коэффициенты эластичности указанных выходных значений модели по ее входным значениям, рассчитываемые формуле

1С-t-'

Fpj = 100———. (1.5.158)

Xfj

Здесь р — варьируемый экзогенный параметр или значение экзогенной функции; xtj — значение г-й эндогенной переменной для времени t, полученное при запуске модели со значениями экзогенных параметров и функций, полученными в результате оценки параметров или взятыми из статистических источников (базовый просчет); хц — значение соответствующей эндогенной переменной, полученное при увеличении варьируемого экзогенного параметра р на 1%, при этом остальные значения экзогенных параметров и функций остаются неизменными по сравнению с базовым просчетом.

Результаты решения задачи по построению матрицы параметрической чувствительности частично приведены в табл. 1.5.13.

Таблица 1.5.13. Некоторые элементы матрицы параметрической чувствительности модели Параметр Переменная Уэ Ао 0,158903 0,158903 0,072459 N0 0,108772 0,007974 0,003775 a 4,075839 4,075839 0 Р 3,891727 3,891727 0 S 0,198968 0,198968 0,08989 А 0,095282 0,095282 0,044117 V 2,07102 2,07102 0,702719 1о 0,000877 0,000877 0,000416 h 0,000879 0,000879 0,000417 12 0,00088 0,00088 0,000417 h 0,000881 0,000881 0,000418 h 0,000882 0,000882 0,000418 15 0,000888 0,000888 0,000421 le 0,000891 0,000891 0,000422 h 0,000887 0,000887 0,000421 18 0,000885 0,000885 0,00042 19 0,1 -9,53 • 10~10 0 7Г0 0,000877 0,000877 0,000416 7Г1 0,000879 0,000879 0,000417 7Г2 0,00088 0,00088 0,000417 7ГЗ 0,000881 0,000881 0,000418 7Г4 0,000882 0,000882 0,000418 7Г6 0,000888 0,000888 0,000421 VT6 0,000891 0,000891 0,000422 7Г7 0,000887 0,000887 0,000421 ТГ8 0,000885 0,000885 0,00042 ТГ9 -0,00021 -0,00021 0 По -0,00026 -2,01 • 10"5 -9,56 • 10"® Til -0,0001 -7,23 • 10"® -3,43 • 10"® П2 0,000112 6,84 • 10"6 3,25 • 10"® n3 0,000596 3,14 • 10"5 1,49 • 10"5 П4 0,000858 3,80 • 10-5 1,80 • 10-5 n5 0,000985 3,53 • 10-5 1,67 • 10-5 По 0,001186 3,21 • 10"5 1,52 • 10"5

Таблица 1.5.13 (окончание)

Параметр Переменная Yg Wg А9 m 0,001142 2,08 • 10~5 9,86 • 10~6 ГІ8 0,001311 1,20 • 10~5 5,70 • 10~6 Пд 0,001619 -1,62 • Ю-11 0

Анализ табл. 1.5.13 показывает, что наибольшее влияние на значения эндогенных переменных Уд, WQ оказывает изменение коэффициента производственной функции сг, а на значение эндогенной переменной Ад — изменение коэффициента уравнения запаса идей в экономике (р.

Нахождение оптимальных значений регулируемых параметров на базе модели Джонса. Рассмотрим теперь возможность осуществления эффективной государственной политики на базе модели (1.5.151)—(1.5.156) через синтез оптимальных значений экономических параметров — долей вовлеченных в выработку идей от общего числа занятых в экономике людей nt для периода 2010 2014 гг. Эта возможность обосновывается, в частности, анализом полученной в предыдущем пункте матрицы чувствительности.

Задачу синтеза оптимального закона параметрического регулирования на уровне указанных параметров тгt можно сформулировать в следующем виде. Найти на основе математической модели (1.5.151)-(1.5.156) оптимальный закон параметрического регулирования параметров щ, т.е. найти такие значения 7Гt, t = = 10,..., 14, которые обеспечили бы максимум критерия (среднее значение выпуска потребительских товаров за указанный промежуток времени)

1 14

K=~Y,Yt (1.5.159)

t=io

при следующих ограничениях, накладываемых на эндогенные переменные модели и регулируемые параметры:

0, LAt^ 0, LYt> о, Yt> 0, wt> о, і = 10,..., 14,

(1.5.160)

0,0012 < щ < 0,0480, і = 10,...,14. (1.5.161)

Заметим, что для базового просчета модели до 2014 г., полученного при найденных значениях экзогенных параметров модели и с помощью экстраполяции экзогенных функций модели линейным трендом, значение критерия оказалось равным К = = 8,128 • 1013 тенге.

В результате численного решения поставленной задачи нахождения оптимальных значений параметров 7Гі экономической системы методом Нэлдера-Мида [66] получен оптимальный результат К = 8,462 • 1013, который на 4,1% превосходит базовое значение критерия.

Найденные оптимальные значения регулируемых параметров 7it представлены в табл. 1.5.14.

Таблица 1.5.14. Оптимальные значения регулируемых параметров 7rt Регулируемый параметр Оптимальное значение тгю 0,0480 7Г1 1 0,0480 7Г12 0,0291 7Г13 0,0123 7Г14 0,0012

регулирования, а также с применением найденного закона параметрического регулирования — приведены на рис. 1.5.18.

Графики расчетных значений эндогенной переменной модели — выпуска потребительских товаров Yt без параметрического

Исследование зависимости оптимальных значений критерия параметрического регулирования от значений неуправляемых параметров на базе модели Джонса. Рассматриваемая выше оптимизационная задача решались при фиксированных значениях экзогенных параметров, не участвующих в регулировании. Кроме того, в процессе исследований была найдена зависимость оптимальных значений критерия К(9) от значений неуправляемых параметров модели на примере двумерного параметра a = (S,a), состоящего из параметров уравнения производства идей и производственной функции выпуска потребительских товаров.

Область изменения этих параметров была определена исходя из наблюдаемых значений S и а в виде прямоугольника А = = [0,615; 0,769] х [2,11; 3,16].

На рис. 1.5.19 представлены некоторые результаты исследований — графики зависимости критерия К от параметра а (где а Є А) для рассмотренной выше задачи параметрического регулирования.

Графики на рис. 1.5.19 описывают базовые и оптимальные (для задачи нахождения долей общего объема фонда заработной платы, которая используется для вознаграждения попыток инноваций) значения критерия К.