1.5.7. Монетарная модель Турновского

П = р[р- тг], (1.5.137)

rh = д — uy + b(re( 1 — и) + 7г) — (m + b)(n + р), (1.5.138)

7(1 — и) г ,

z= ,^_l'[rez-Rk}+ 7 fr-l)+l

+

j(k*-k) + n-—-, (1.5.139) 7-І

j — 1 \k

k = j(k*-k): (1.5.140)

y = Aka, (1.5.141)

re = Aak*a-1, (1.5.142)

k* =

R = Ma_1, (1.5.143)

у — с — Rk)(l — «) + [(1— h)m — h(b+z) — Ііу + 1зтг] + гп — 7717г j —nk+g = 3 A[f-c+ll '

lk J (1.5.144)

і = А(Г - k) + nk. (1.5.145)

Здесь точкой обозначены производные по времени і, измеряемому в годах.

Выходные (эндогенные) переменные модели: 7г — мгновенный ожидаемый уровень инфляции (1/год); т — номинальный запас внешних денег на душу населения (тенге/чел), тенге — денежная единица Казахстана;

z — реальный объем акций на душу населения (тенге/чел) (реальные показатели здесь и в дальнейшем определяются ценами 2000 г.);

к — реальная капиталовооруженность (тенге/чел); у — выпуск реального продукта на душу населения (измеряется в тенге/(чел • год));

ге — реальная ставка дохода на ценные бумаги до уплаты налогов (1/год);

R — крайний реальный физический продукт капитала (измеряется в тенге/(чел • год2));

к* — желательный реальный основной капитал на душу населения (тенге/чел);

і — реальные инвестиции на душу населения (измеряется в тенге/(чел • год)).

Входные (экзогенные) параметры модели, зависящие от времени:

р — индекс потребительских цен (1/год);

д — реальные государственные затраты на душу населения (тенге/(чел ? год)) (д > 0);

п — уровень роста населения (1/год);

7 — коэффициент уравнения капиталовооруженности (1/год) (0 < 7 < 1);

A, a — коэффициенты производственной функции (А > 0, 0 < a < 1);

с — доля потребления от располагаемого дохода (0 < a < 1) (безразмерная);

11, І2, Із, /4 — коэффициенты уравнения реального спроса на деньги на душу населения (її >0, 12 < 0, Із > 0, 0 < І4 < 1) (безразмерные);

А — коэффициент уравнения инвестиции на душу населения (А > 0) (1/год);

и — ставка налогообложения дохода (0 < и < 1) (безразмерная).

Входные параметры модели:

b — номинальный запас государственных облигаций на душу населения; b > 0 (тенге/чел).

К входным параметрам модели относятся начальные значения (при t = 0) выходных переменных динамических уравнений (1)- (4) модели: 7Tq, mo, zq, ко.

Оценка параметров модели Турновского и ретроспективный прогноз. В рамках решения задачи оценки входных параметров (параметрической идентификации) модели были получены значения входных функций и параметров p(t), g(t), n(t), 7(t), A(t), a(t), A(t), c(t), h(t), h(t), h(t), h(t), где t = 0,1,..., 9, а также b, u, 7TQ, mo, zo, ко поисковым методом в смысле минимума критерия (суммы квадратов невязок выходных переменных) на базе статистических данных эволюции экономики Республики Казахстан за 2000-2009 гг. При этом значения входных функций и параметров искались в малых промежутках с центрами в наблюдаемых значениях (при их наличии) соответствующих функций и параметров.

Критерий параметрической идентификации имеет вид

1 » " fx At) -x*(t)\2

E E Mjt j=i t=0 V xiW J

3 = 1t=0

Здесь v = 5 — число выходных переменных, используемых в оценке параметров, j — номер переменной, n + 1 — количество наблюдений, t = 0 соответствует началу 2000 г., XJ(t) — расчетные значения выходных переменных (y(t), k(t), z(t), n(t), i(t)) при соответствующих значениях времени, знак «*» соответствует наблюдаемым значениям соответствующих переменных, Mjt — положительные весовые коэффициенты, значения которых были подобраны исходя из значимостей соответствующих значений выходных переменных при решении задачи параметрической идентификации модели. В табл. 1.5.9 приведены веса критерия Kj. В пересечении строки j и столбца t находится значение Mjt-

Таблица 1.5.9. Веса Mjt критерия Kj Переменная 2000 r. t = 0 2001 r. t = 1 2002 r. t = 2 2003 r. t = 3 2004 r. t = 4 2005 r. t = 5 2006 r. t = 6 2007 r. t = 7 y(t),

3 = 1 0,001 0,001 0,001 0,01 0,01 1 1 1 k(t), J = 2 0,001 0,001 0,001 0,001 0,001 0,001 0,001 0,001 z(t), 3=3 0,001 0,001 0,001 0,01 0,01 1 1 1 7T(t),

3= 4 0,001 0,001 0,001 0,01 0,01 0,1 0,1 0,1 i{t), j = 5 0,001 0,001 0,001 0,01 0,01 0,1 0,1 0,1

При решении задачи оценки параметров применялись алгоритмы Рунге-Кутта и Нелдера-Мида [66].

В рамках верификации модели решалась следующая задача ре- тропрогноза. Используя найденные в результате оценки значений входных функций, параметров и начальных значений выходных переменных на промежутке 2000-2007 гг. (а также экстраполяцию значений входных функций на 2008-2009 гг.), получить оценку на промежутке с 2008 по 2009 г. относительных погрешностей расчетных значений выходных переменных модели относительно соответствующих наблюдаемых значений. Результаты решения этой задачи приведены в табл. 1.5.10. Здесь знак «*» соответствует наблюдаемым величинам, знак «А» соответствует отклонениям (в процентах) расчетных значений от соответствующих наблюдаемых величин.

Таблица 1.5.10. Наблюдаемые, расчетные значения выходных переменных модели и соответствующие отклонения (в процентах) Год 2008 2009 Год 2008 2009 У* 336140 334680 Ак 9,66383 1,20669 У 333843 333015 ?к* 0,11828 0,07525 А у 0,68322 0,49744 7Г 0,11881 0,07639 Z* 1117488 1305937 Ая- 0,45321 1,51652 Z 1228469 1483599 і* 136501 151534 Az 9,93126 13,60410 і 136424 151855 к* 747806 771832 Аі 0,05666 0,21187 к 675539 762518

Средняя погрешность указанных в табл. 1.5.10 переменных на период ретропрогнозирования составила 3,7825%, что указывает на приемлемую точность описания эволюции экономики Казахстана с помощью исследуемой модели.

Исследование структурной устойчивости монетарной модели Турновского. Данное исследование проводилось на базе теоремы А Робинсона [67] о достаточных условиях слабой структурной устойчивости.

Отображение / в приведенном алгоритме было определено в виде сдвига по траекториям динамической системы (1.5.137)— (1.5.145), соответствующего изменению времени t на 1 год.

При реализации приведенного выше алгоритма в качестве исходного компакта N использовался параллелепипед {0 ^ 7Г ^ 0,2, 0 < m < 8000, і) ^ z ^ 50 000, 0 < k ^ 830000} в фазовом пространстве модели (1)-(9). Разбиение исходного параллелепипеда (и других ячеек, получившихся в результате применения алгоритма) на 16 частей осуществлялось с помощью деления каждого его ребра на две равные части. В результате расчета разработанной программы после 4 итераций, согласно приведенному выше алгоритму, был получен граф G с пустым множеством вершин. Это означает, что исследуемая монетарная модель Турновского с рассматриваемыми значениями входных параметров оценивается как слабо структурно устойчивая в указанном компакте N.

Оценка параметрической чувствительности модели Турновского. В рамках решения задачи по оценке влияний значений входных параметров и функций модели на значения ее выходных переменных была составлена матрица, строки которой занумерованы с помощью всех входных параметров и функций, а столбцы — значениями выходных переменных для t = 9, что соответствует 2009 г. Эта матрица содержит коэффициенты чувствительности указанных выходных значений модели по се входным значениям, рассчитываемые по формуле

хШ)-хЛ€)

FPi(t) = ЮО Xj{t) ? (L5"147)

Здесь р — варьируемый входной параметр или значение входной функции; Xj(t) — значение j-й выходной переменной для времени t, полученное при запуске модели со значениями входных параметров и функций, полученными в результате оценки параметров или взятыми из статистических источников (базовый просчет); ж™ (і) — значение соответствующей выходной переменной, полученное при увеличении варьируемого параметра р на 1%, при этом остальные значения параметров и функций остаются неизменными по сравнению с базовым просчетом.

Результаты решения задачи по построению матрицы параметрической чувствительности частично приведены в табл. 1.5.11. Например, при увеличении значения параметра с(9) на 1% и при сохранении значения с(8), происходит соответствующее увеличение линейной на отрезке [8,9] функции c(t), что, в свою очередь, влечет изменение значений выходных переменных (и коэффициентов Fpj(t)) при t = 9.

Таблица 1.5.11. Некоторые элементы матрицы параметрической чувствительности модели для t = 9 Входной параметр Выходная переменная У 7Г т z к і с(9) -0,01637 0 -0,0123 0,00309 -0,0165 1,693064 9(9) 0,280699 0 0,26993 0,33196 0,28325 0,881013 п{ 9) -0,01726 0 -0,0206 -0,0293 -0,0174 0,048407 р( 9) -0,00993 0,5161 -0,052 -0,0136 -0,01 -0,3979 А(9) -0,03802 0 0,0294 -0,0888 -0,0384 -2,59267 7(9) 0,136572 0 -0,002 -0,2708 0,13781 -0,45509 А(9) 0,790219 0 -0,0334 -0,2985 -0,2096 -3,41885 а{9) 11,38849 0 -0,3144 -2,2215 -2,6097 -53,2406 h( 9) -0,16371 0 0,0578 -0,2697 -0,1652 -4,8311 /2(9) 0,009145 0 0,01151 -0,0083 0,00923 -1,51853 із(9) -0,04331 0 -0,0052 -0,0387 -0,0437 0,849691 /4(9) -0,14034 0 0,0436 -0,2246 -0,1416 -3,58984

Анализ табл. 1.5.11 показывает, что в рамках указанных в этой таблице входных параметров для 2009 г., наибольшее влияние на значения выходных переменных у (9), т(9), .г(9), &(9), г (9) оказывает изменение коэффициента производственной функции а(9), а на значение выходной переменной 7г(9) может оказывать влияние только изменение индекса цен р(9).

Нахождение оптимальных значений регулируемых параметров на базе модели Турновского. Рассмотрим теперь возможность осуществления эффективной государственной политики на базе модели (1.5.137)—(1.5.145) через синтез оптимальных значений экономических параметров: государственные затраты на душу населения g(t) и ставка налогообложения дохода u(t) для периода 2010-2015 гг.

Задачу синтеза оптимального закона параметрического регулирования на уровне указанных параметров можно сформулиро- вать в следующем виде. Найти на основе математической модели (1.5.137)—(1.5.145) такие значения g(t), u(t), t = 10,...,15, которые обеспечили бы максимум критерия (среднее значение выпуска реального продукта на душу населения для промежутка 2010 2015 гг.)

1 15

К = -^2 y(t) (L5-148)

t=io

при следующих ограничениях, накладываемых на выходные переменные модели и регулируемые параметры (t Є [10,15]):

m(t) > 0, z(t) > 0, kit) > 0, y(t) > 0, KJ kj KJ УК J (1.5.149)

re(t) > 0, R(t) >0, k* > 0, i{t) >0,

g{t) >0, 0 < u{t) < 1. (1.5.150)

Заметим, что для базового просчета модели до 2015 г., полученного при найденных значениях входных параметров модели и с помощью экстраполяции входных функций модели линейным трендом, значение критерия оказалось равным К = 437 368 тенге (в ценах 2000 г.).

ской системы методом Нэлдера-Мида [66] получен оптимальный результат К = 511 552. Увеличение критерия К при применении

В результате численного решения поставленной задачи нахождения оптимальных значений параметров g(t): u(t) экономиче-

рассмотренного выше параметрического регулирования по сравнению с базовым вариантом составило 16,96%.

Графики расчетных значений выходной переменной модели — выпуск реального продукта на душу населения y(t) без параметрического регулирования, а также с применением найденного оптимального закона параметрического регулирования — приведены рис. 1.5.16.

Исследование зависимости оптимальных значений критерия параметрического регулирования от значений неуправляемых параметров на базе модели Турновского. Рассматриваемая выше оптимизационная задача решались при фиксированных значениях входных параметров, не участвующих в регулировании. Кроме того, в процессе исследований была найдена зависимость оптимальных значений критерия К от значений неуправляемых параметров модели на примере двумерного параметра a = (с(9), А(9)), состоящего из доли реального потребления от реального располагаемого дохода и коэффициента уравнения инвестиций для 2009 г. Область изменения этих параметров была определена исходя из оцененных значений с(9) и А(9) в виде прямоугольника А = = [0,0820; 0,1090] х [0,708; 0,719].

а Є А) для рассмотренной выше задачи параметрического регулирования. Графики на рис. 1.5.17 описывают базовые и оптималь-

На рис. 1.5.17 представлены некоторые результаты исследований — графики зависимости критерия К от параметра а (где

ные (для решаемой задачи нахождения государственных затрат на душу населения и ставки налогообложения дохода) значения критерия К.