1.5.6. Математическая модель глобальной экономики Форре- стера

1.5.117)

1.5.118)

1.5.119)

1.5.120)

1.5.121)

1.5.122)

1.5.123)

1.5.124)

P'(t) = P(t)(Bn(t) - D(t)),

V'(t) = CVGP(t)VM(M) - CVDV(t), Z'(t) = CzP(t)Zv(VR) -

R'(t) = -CRP(t)RM(M),

S,(T) = CSSQQM(M)SF(F)/Qf(F) - S(t) U TS

VR(t)(l - S(t))ER(RR)

(1 — Sn)EN ' Fs{SR)Fz{ZR)Fp(PR)Fc Fn

M(t) =

F(t) =

Bn(t) = P(t)CBBM(M)Bp(PR)BF(F)Bz(ZR), D(t) = P{t)CDDM(M)DP(PR)DF(F)Dz(ZR), 1.5.125) 1.5.126)

1.5.127)

1.5.128)

1.5.129)

1.5.130)

Q(t) = CqQm{M)QP{PR)QF{F)QZ{ZR)1

P(T)

Pn '

Ш

Pity

VR(t)S(t)

ВД =

Sn Ro Zn

VR(t) = SR{t) =

Rn(t) = zR(t) = Cq~

Св- CD- Fc- Cz- CR-

Fjy - En -

фондов, CvD CvG

TS -

Рассматриваемая модель содержит следующие экзогенные константы: —

стандартное качество жизни, —

нормальный темп рождаемости, —

нормальный темп смертности, —

коэффициент питания, —

нормальное загрязнение, —

нормальное потребление природных ресурсов, —

нормальный уровень питания, —

нормальная эффективность относительной величины —

нормальный износ фондов, —

нормальное фондообразование, коэффициент влияния загрязнения.

Экзогенные функции модели:

Вм — множитель зависимости рождаемости от материального уровня жизни,

Bp — множитель зависимости рождаемости от плотности населения,

Bp — множитель зависимости рождаемости от питания,

Bz — множитель зависимости рождаемости от загрязнения,

Dm — множитель зависимости смертности от материального уровня жизни,

Dp — множитель зависимости смертности от плотности населения,

Dp — множитель зависимости смертности от питания,

Dz — множитель зависимости смертности от загрязнения, QM — множитель зависимости качества жизни от материального уровня жизни,

QP — множитель зависимости качества жизни от плотности населения,

Qp — множитель зависимости качества жизни от питания, Qz — множитель зависимости качества жизни от загрязнения, Fg — пищевой потенциал фондов,

Fz — множитель зависимости производства пищи от загрязнения,

Fp — множитель зависимости производства пищи от плотности населения,

Ер — множитель зависимости стоимости добычи природных ресурсов,

Zy — множитель зависимости загрязнения от удельного объема фондов,

Tz — время разложения загрязнения (отражает затрудненность естественного разложения при увеличении загрязнения),

Rm — множитель зависимости темпа добычи природных ресурсов от материального уровня жизни,

SQ — множитель зависимости доли фондов в сельском хозяйстве от относительного качества жизни,

Sf — множитель зависимости доли фондов в сельском хозяйстве от уровня питания,

Rp — доля оставшихся ресурсов, PR — относительная плотность населения, Vp — удельный капитал, Zi> — относительное загрязнение,

SR — относительная величина сельскохозяйственных фондов.

М — материальный уровень жизни,

F — относительный уровень питания (количество пищи на человека),

Q — уровень качества жизни, Вп — темп рождаемости, D — темп смертности.

В [26] использовались следующие значения коэффициентов и констант:

СВ = 0,04, = 0,028, CZ = L, CR = 1, CQ = 1, FC = 1, FN = 1, EN = 1,

PN = 3, • 109, ZN = 3,6 • 109, (1.5.131)

SN = 0,3, Ts = 15, TVD = 40, CVG = 0,05,

а также следующие начальные условия для дифференциальных уравнений:

Р0 = 1,65 • 109, V0 = 0,4 • 109, So = 0,2, Z0 = 0,2 • 109, R0 = 9-Ю2,

соответствующие начальному значению времени to = 1900. Эти данные были получены на основе наблюдений за 1900-1970 гг.

ЗдесьЛ = Р(і)/Р*(і)-1, В = S(t)/S*(t) — 1, С = R{t)/R*(t)~ 1, D = Z(t)/Z*(t) - 1, E = V(t)/V*(t) - 1, P*(t) и P(t) — наблюдаемые и модельные (расчетные) значения численности населения соответственно, значения V(t), S(t), R(t), Z(t) — расчетные данные системы (1.5.116)—(1.5.130). В результате решения указанной выше задачи параметрической идентификации были получены следующие оценки значений оцениваемых параметров: СВ = 0,042095, CVG = 0,049644, FC = 1,078077. При этом относительная величина среднеквадратического отклонения расчетных значений переменных от соответствующих наблюдаемых значений составила приблизительно 100К = 4,27%.

В настоящей работе значения параметров СВ, Cz, CR, CQ, Ts, Tvd принимаются равными выше указанным данным из (1.5.131). Значения параметров Св, Cvg и Fq были заново оценены на основе данных о численности населения Земли за 1901- 2009 гг. [61] и расчетных данных по функциям состояния V*(t), S*(t), R*(t), Z*(t) (принятых при решении задачи параметрической идентификации в качестве наблюдаемых) на основе модели (1.5.116)-(1.5.130). Эти значения определялись с помощью решения задачи параметрической идентификации поисковым методом в смысле минимума критерия:

Исследование структурной устойчивости математической модели Форрестера без параметрического регулирования

Утверждение 1.5.5.

В качестве N можно выбрать, например, параллелепипед с границами Р = РШті Р = -Ртах) V = Vm[n, V = Vmax, S = SVnin, S — Smax) Z — Zm[n, Z — Zmax, R — -Rmim R — Здесь

0 < -Pmin ^ -Ртах? 0 < Vmin ^ Утах? 0 < >5т;п < S^Etx, 0 ^ Zm[n <

^ Zmaxj 0 < -Rmin ^ Rmax-

Доказательство. Проверим вначале, что полутраектория потока /, начинающаяся в любой точке множества N при некотором значении t (t > 0), выходит из N.

Рассмотрим любую полутраекторию, начинающуюся в N. Для нее при t > 0 возможны два случая: все точки полутраектории остаются в N или для некоторого /. точка полутраектории не принадлежит N. В первом случае из уравнения (1.5.119) R'(t) = = —CRP(t)RM(M) системы следует, что переменная R(t) для всех t > 0 имеет производную, меньше некоторой отрицательной константы, т. е. R(t) стремится к нулю при неограниченном увеличении t, поэтому первый случай невозможен, орбита любой точки из N выходит из N.

Поскольку любое цепочно-рекуррентное множество R(f, N), лежащее внутри N, является инвариантным множеством этого потока, то, в случае его непустоты, оно состоит только из целых орбит. Следовательно, в нашем случае R(f, N) пусто. Утверждение следует из теоремы А [67].

Выбор оптимальных законов параметрического регулирования на базе модели Форрестера. Рассмотрим возможность выработки рекомендаций по выбору рационального сценария развития мировой политики (в смысле цели — максимизации среднего значения качества жизни за 1971-2100 гг.) через выбор оптимальных законов регулирования на примере экономических параметров: Fc — коэффициент питания (j = 1) и С в — нормальный темп рождаемости (j = 2).

Указанная задача выбора оптимального закона параметрического регулирования на уровне параметра решалась в среде набора (Pit)

\P(to) (P(t) \P(to) (R(t) \R(to)

(m

\R(t0) (Z(t)

\Z(t0)

(Z(t) \Z(t 0) fV(t) \V(to)

FM_!

следующих зависимостей:

Uij — constj + kij

U2 j = constj — k2j

Usj = const j + k^j XJij = constj — k^ U§j = const j + k^j

(1.5.132)

U§j = constj — k^j

Ujj = const j + kfj

Usj = constj — ksj Ugj = COnst j + kg j

9 10 11 12

(s(t)

ищ = const, — kWj

\S(t0) ( Sit) \S(t0)

Unj = const, + knj U-ioi = const — кл

( Q(t) \Q(t0) ( Q(t) \Q{to)

Здесь k^ ^ 0 — настраиваемый коэффициент соответствующего закона Uij (і = 1,12, j = 1,2); constj — базовое значение (без параметрического регулирования) коэффициента питания FQ (при j = 1) или нормального темпа рождаемости Сд (при j = 2); время начала регулирования to соответствует 1971 г. Использование одного из законов (1.5.132) означает подстановку соответствующей функции из правой части соответствующего соотношения (1.5.132) в уравнение (1.5.122) или (1.5.123) системы (1.5.116)—(1.5.130) вместо параметра Fc или С в-

Задача выбора оптимального закона параметрического регулирования на уровне параметр Fq В среде набора алгоритмов (1.5.132) ставилась следующим образом.

^ 2100 130

4=1971

?

при ограничениях 2100

Z(t)^Z, Fc{t) Є [0,9; 1,1]. (1.5.134)

t= 1971

Здесь Z — суммарное значение уровней загрязнения за 1971- 2100 гг. без параметрического регулирования.

Сформулированная задача решается в два этапа: —

на первом этапе определяются оптимальные значения коэффициентов k{j для каждого закона (1.5.132) путем перебора значений настраиваемых коэффициентов в промежутках вида [0 квантованных с достаточно малым шагом, обеспечивающих максимум критерия К і при ограничениях (1.5.134). Здесь к'ц — первое значение коэффициента, при котором нарушается (1.5.134). —

на втором этапе выбирается закон оптимального регулирования параметра (из двенадцати) на основе результатов первого этапа по максимальному значению критерия К

Результаты численного решения задачи выбора оптимального закона параметрического регулирования экономической системы на уровне указанного экономического параметра показывают, что наилучший результат К\ = 0,70827 может быть получен при использовании следующего закона регулирования вида 8) из (1.5.132):

FC = F*C- 0,158 - l) . (1.5.135)

Заметим, что значение критерия (1.5.133) без параметрического регулирования составляет К\ = 0,6515, приращение значения критерия при указанном параметрическом регулировании по сравнению с базовым вариантом составляет 5,025% (рис. 1.5.14).

Задача выбора оптимальной пары законов параметрического регулирования на уровне параметров Fc и С в в среде набора алгоритмов (1.5.132) ставилась следующим образом. Найти на основе _| I I I I I I I I I I I I I I I I I I I 1-І

t-COO:iOT-Ht-COOlLOT—It-COOlLOT-Ht-COOlLO^Ht-

математической модели (1.5.116)—(1.5.130) оптимальную пару законов параметрического регулирования в среде набора алгоритмов (1.5.132), т.е. найти оптимальную пару законов из этого множества алгоритмов и их настраиваемые коэффициенты, которые обеспечивали бы максимум критерия (1.5.133) при ограничениях (1.5.134).

Результаты численного решения задачи выбора оптимальной пары законов параметрического регулирования экономической системы государства на уровне двух параметров Fc и Св показывают, что наилучший результат К\ = 0,703135 может быть получен при использовании следующей пары законов: FC = F*C-01LB

(1.5.136)

СВ = С*В- 0,01

(V(t) \V(t0) (P{t) \P(to) В этом случае при указанном параметрическом регулировании приращение значения критерия К\ по сравнению с базовым вариантом составляет 7,93%.

Сравним полученные результаты параметрического регулирования эволюции динамической системы (1.5.116)—(1.5.130) с найденными оптимальными законами на уровне одного (1.5.135) и двух (1.5.136) параметров и результаты сценария — увеличение параметра Fc на 25% по сравнению с базовым решением (полученным для следующих значений констант: Св = 0,042095, CD = 0,028, Cz = 1, CR = 1, = 1, FC = 1,078077, FN = 1, EN = 1, PN = 3,6 • 109, ZN = 3,6 ? 109, SN = 0,3, TS = 15, TVD = 40, CVG = 0,049644, и следующих начальных условий для дифференциальных уравнений: Pq = 1,65 • 109, V0 = 0,4 • 109, S0 = 0,2, Z0 = 0,2 • 109, R0 = 9 • 10й).

Сравнение показывает, что при указанном выше сценарии (увеличении параметра Fc на 25%) среднее значение качества жизни (критерий К\) в промежутке времени с 1971 по 2100 г. уменьшается на 9,77% по сравнению с базовым вариантом, а среднее

I 2100

значение загрязнения Z(t) увеличивается на 4,97% по

130 J=1971

сравнению с базовым вариантом. При использовании оптимального закона (1.5.135) по параметру Fc показатель качества жизни по сравнению с базовым улучшается на 5,025%, а среднее значение загрязнения по сравнению с базовым уменьшается на 3,5%. При этом значение коэффициента питания Fc по оптимальному закону (1.5.135) изменяется не более чем на 10% по сравнению с базовым значением этого коэффициента Fc = 1,078077. При использовании оптимальной пары законов вида (1.5.136) показатель качества жизни улучшается на 7,93%, а среднее значение загрязнения уменьшается на 1% по сравнению с базовым вариантом.

Исследование структурной устойчивости математической модели Форрестера с учетом параметрического регулирования.

Применение найденных выше оптимальных законов параметрического регулирования (1.5.132) означает замену в уравнениях (1.5.122), (1.5.123) параметров Fc и Св на соответствующие функции, остальные уравнения модели остаются неизменными. Доказательство слабой структурной устойчивости математической модели, приведенное выше и основанное на использовании уравнения (1.5.119), позволяет получить следующее утверждение. Утверждение 1.5.6. Пусть N — компактное множество, лежащее в области {Р > 0, V > 0, S > 0, Z > 0, R > 0} фазового пространства системы дифференциальных уравнений, полученных из (1.5.116)—(1.5.130), т. е. пятимерного пространства переменных {P,V, S, Z, R}] замыкание внутренности N совпадает с N. Тогда поток /, определяемый системой (1.5.116)-(1.5.130) и (1.5.135) или (1.5.136), слабо структурно устойчив на N.

Нахождение точек бифуркации экстремалей задачи вариационного исчисления на базе математической модели неоклассической теории оптимального роста. Исследуем зависимость решения рассмотренной выше задачи выбора оптимального закона параметрического регулирования от значений двумерного параметра (CVG^ CVD), возможные значения которого принадлежат области (прямоугольнику) Л на плоскости. В результате вычислительных экспериментов были получены графики зависимостей оптимальных значений критерия К от значений параметра (CVG, CVD) ДДЯ каждого из 24 возможных законов Uij, і = 1,12, j = 1,2. Рисунок 1.5.15 демонстрирует такие графики для четырех законов С/2,1,

w

К ф ft

^6,1) ^11,1) ?^8,1) которые дают наибольшие значения критерия К в области Л и линии пересечения соответствующих поверхностей. Проекция этих линий на плоскость (CVG-, CVD) состоит из бифуркационных точек этого двумерного параметра. Эта проекция делит прямоугольник Л на две части, в каждой из которых оптимальным является один из законов (С/2д, С/бд, С/цд, ЇТвд) параметрического регулирования. На границах этих областей оптимальными являются два (или три) соответствующих закона.