1.5.5. Математическая модель экономической системы страны с учетом влияния международной торговли и валютных обменов на экономический рост

государства, t — время: 1.5.67)

1.5.68)

1.5.69)

1.5.70)

1.5.71)

1.5.72)

1.5.73)

1.5.74)

1.5.75)

1.5.76)

1.5.77)

1.5.78)

1.5.79)

1.5.80)

dMi _ Ф[ м dt pibi

dt pi

dLG

= rcuLf + Фр - пріФі - nLiSlRl - n0l{dPi + df),

dt

Jj-

dt Mi

dpi _ Q dt

dsi st Ґ Rf-Rf

Tp _ 1 -ji TG

Li ~ Li >

Si

; = ^—r^PirziLf, si

rff = Ar^f, /

_ ^ / x _ / ^ 1-^1 \К

Rf = MiXi,

f і Л ^

/г = 1 — ( 1 Жі

*( = ї+г { - (1 - + "Oi(d? + df) + пргФ? +

+ + I, (1.5.81)

фг° = VOiPiMifi, Фр = 7Г іРіМі/і, = (1 - і Ф?

?рг + (1 + сьвтРоі{Хргі)

Щ = Рог ЄХР (Лpit) — , Шг =

[l + Cte,

Pi j = 3-і,

(1.5.82)

clP2 cOP2

Фі2 = + (L5-83)

1 + C?0— 1 + C?9—

CL— (jO — Ф21 = + (1-5.84)

0p2 0p2 Фі = ф( + Ф^ + Ф? + <5>f + Ф21 - 0Ф12, (1.5.85)

Ф2 = Ф^ + Ф^ + фО + + ф12 - іф21. (1.5.86)

о

Здесь:

М^ — суммарная производственная мощность; Qi — общий запас товаров на рынке относительно некоторого состояния равновесия;

Lf — общий объем государственного долга;

Pi — уровень цен;

si — ставка заработной платы;

L? — объем задолженности производства;

и df — предпринимательские и банковские дивиденды соответственно;

Rf и Rf — спрос и предложение рабочей силы соответственно; 6і, щ — параметры функции ff, хі — решение уравнения f-(xi) = Si/pf,

Ф[ и ФР — потребительские расходы трудящихся и собственников соответственно;

Ф^ — поток инвестиций;

Фр — потребительские расходы государства; Фij — расходы потребителей г-ж страны на импортный продукт из j-й страны;

9 — обменный курс валюты первой страны по отношению к валюте второй страны, 6\ = 9, 92 = 1 /0\

Ci (Cf) — количество единиц импортного продукта, потребляемого трудящимся (собственниками) і-й страны на единицу отечественного продукта;

— норма резервирования; (Зі — отношение средней нормы прибыли от коммерческой деятельности к норме прибыли рантье; Г2і — ставка процента по депозитам;

га — ставка процента по облигациям государственных займов;

f}oi — коэффициент склонности собственников к потреблению; 7ті — доля потребительских расходов государства от внутреннего валового продукта;

npii nOii nLi — ставки налогов на поток платежей, дивиденды и доход трудящихся соответственно;

bi — норма фондоемкости единицы мощности; Pi — коэффициент выбытия единицы мощности вследствие деградации;

р* — норма амортизации; оіі — постоянная времени;

Aj — постоянная времени, задающая характерный временной масштаб процесса релаксации заработной платы;

Рсн? ^о\ — начальные значения численности трудящихся и общей численности трудоспособных соответственно;

из і — уровень материального потребления на душу в группе трудящихся;

>0 — заданный темп демографического роста; kqi — доля валового внутреннего продукта страны, резервируемая в золоте.

Среди соотношений (1.5.67)—(1.5.86) уравнения (1.5.83)- (1.5.86) определяют связь экономических систем двух стран.

При исследовании значения таких параметров, как bi, r2i, г а, npi, nLi, (Зі, Si, r]oi, Pi, Pi, Ai, были приняты из [37, 36].

Для оценки остальных параметров модели: 7Tj, Si, щ, і]оі, bi, cnj, Qi(0), были решены задачи параметрической идентификации поисковым методом в смысле минимума суммы квадратов невязок: (1.5.87) где M*j, М*?, p*j, p*j — значения суммарной производственной мощности и цены продукта г-го государства, наблюдаемых [37, 36] и модельных (расчетных), N — число наблюдений, і = 1,2.

Исследование структурной устойчивости математической модели страны с учетом влияния международной торговли и валютных обменов без параметрического регулирования. Исследование грубости (структурную устойчивость) модели (1.5.67)—(1.5.86) основывается на теореме о достаточных условиях слабой структурной устойчивости в компактной области фазового пространства.

Утверждение 1.5.3. Пусть N — компактное множество, лежащее в области (М\ >0, Q\ < 0, р\ > 0) или (М\ >0, Qi > > 0, р\ > 0) фазового пространства системы дифференциальных уравнений математической модели (1.5.67)—(1.5.86), ш. е. восьмимерного пространства переменных (Mi, Qi, p,L, La), і = = 1,2; замыкание внутренности N совпадает с N. Тогда поток /, определяемый системой дифференциальных уравнений модели, слабо структурно устойчив на N.

В качестве N можно выбрать, например, параллелепипед с границами М, = Мітіп, Мі = Mimax, Qi = Qimin, Qi = Qimax, Pi = Pi min? Pi = Pi max? La = LGi min? -^Gi = LGi max- Здесь 0 Міш jn < Mimax, Qiuiin ^ Qimax ^ 0 или 0 0 Pi min ^ Pi max? -^Gimin ^ -^Gi max-

Доказательство этого утверждения, опирающееся на уравнение (1.5.70), аналогично доказательству утверждения 1.5.1.

Выбор оптимальных законов параметрического регулирования развития рыночной экономики на базе математической модели страны с учетом влияния международной торговли и валютных обменов.

набора следующих зависимостей:

V U[0 = Кв^Ш + const^

1/3 1/3 Mi (t0)

A Mj(t) 'W~ о)

(1.5.88)

V = Цр^^ +

Здесь U^p — а-й закон регулирования /3-го параметра і-го государства, a = 1,4, (3 = 1,3, случай /3=1 соответствует параметру /3 = 2 — параметру 7Tj, /3 = 3 — параметру AMi(t) = = Mal3i(t)-Mi(t0), Api(t) = paiei(t)-pi{t0), где t0 — время начала регулирования, і Є + T], MafH(t), pa/g,(t) — значения про

изводственной мощности и уровня цен г-го государства соответственно при U^p-м законе регулирования; кга^ — настраиваемый

коэффициент соответствующего закона (кга^ ^ 0); constjg — постоянная, равная оценке значений /3-го параметра по результатам параметрической идентификации.

Задача выбора оптимального закона параметрического регулирования для экономической системы г-й страны на уровне одного из экономических параметров (?j, 7Tj, 9) ставилась в следующем виде. Найти на основе математической модели (1.5.67)—(1.5.86) оптимальный закон параметрического регулирования в среде набора алгоритмов (1.5.88), т.е. найти оптимальный закон (и его коэффициент кгар) из множества {U^p}, который обеспечил бы минимум критерия

t0+T

Кг = ^ [ Pi(t)dt^ mill (1.5.89)

t о

при ограничениях

|Mi{t) - M**(t)j < 0,09M**(t), 0 < Pi(t)> 0, t?[t0,t0+T\.

Здесь M**(t) — значения производственной мощности г-го государства без параметрического регулирования, а^ — верхнее значение /3-го параметра г-го государства.

Сформулированная задача решается в два этапа: —

на первом этапе определяются оптимальные значения коэффициентов klap для каждого закона U^p путем перебора их значений в соответствующих интервалах, квантованных с шагом 0,01, обеспечивающих минимум критерия Кі при ограничениях (1.5.90); —

на втором этапе выбирается закон оптимального регулирования конкретного параметра на основе результатов первого этапа по минимальному значению критерия Кj.

Задачу выбора оптимальной пары законов для одновременного регулирования двух параметров можно сформулировать в следующем виде.

t0+T

Kj = — / pi (t) dt min ,

T J {(u^tipUUi^Kn)} (1.5.91)

to

av = 1,4, (3p = 1,3, f3 < p,

при ограничениях (1.5.90).

Задача выбора оптимальной пары решается в два этапа: —

на первом этапе определяются оптимальные значения коэффициентов klap, кги/л для каждой пары законов путем перебора пар их значений из соответствующих интервалов, квантованных с шагом 0,01, обеспечивающих минимумы критерия Кі при ограничениях (1.5.90); —

на втором этапе выбирается оптимальная пара законов параметрического регулирования на основе результатов первого этапа по минимальному значению критерия Кі.

В работе приведены результаты вычислительных экспериментов по выбору эффективных законов параметрического регулирования потребительских расходов государства, нормы резервирования и обменного курса валюты в рамках следующей части программы исследований: —

оценка значений критериев К і на базе математической модели взаимодействия идентичных экономических систем двух го- сударств через внешнюю торговлю; коэффициенты модели оцениваются путем выбора и решения задачи параметрической идентификации по данным одного государства (Республика Казахстан); —

выбор, на базе математической модели взаимодействия идентичных экономических систем двух государств через внешнюю торговлю, оптимального закона параметрического регулирования на уровне одного из экономических параметров (?і, 7Гі, в) для экономической системы первого государства и оценка значений критерия К2 для экономической системы второго государства; —

выбор, на базе математической модели взаимодействия идентичных экономических систем двух государств через внешнюю торговлю, оптимальной пары законов параметрического регулирования на множестве сочетаний из трех экономических параметров по два для экономической системы первого государства и оценка значений критерия К2 для экономической системы второго государства; —

оценка значения критериев Kj (і = 1,2) на базе математической модели взаимодействия неидентичных экономических систем двух государств (Республика Казахстан и Российская Федерация) через внешнюю торговлю; коэффициенты модели оцениваются путем выбора и решения задач параметрической идентификации по данным двух различных государств; —

выбор, на базе математической модели взаимодействия неидентичных экономических систем двух государств через внешнюю торговлю, оптимального закона параметрического регулирования обменного курса валюты 9 для первого государства и оценка значений критерия К2 для экономической системы второго государства; —

выбор, на базе математической модели взаимодействия неидентичных экономических систем двух государств через внешнюю торговлю, оптимальной пары законов параметрического регулирования на множестве (?і,#), для экономической системы первого государства и оценка значений критерия К2 для экономической системы второго государства; —

выбор, на базе математической модели взаимодействия неидентичных экономических систем двух государств через внешнюю торговлю, оптимального закона параметрического регулирования обменного курса валюты в2 для второго государства и оценка значений критерия К\ для экономической системы первого государства; —

выбор, на базе математической модели взаимодействия неидентичных экономических систем двух государств через внеш- нюю торговлю, оптимальной пары законов параметрического регулирования на множестве (?21^2)5 {^2^2) Для экономической системы второго государства и оценка значений критерия К\ для экономической системы первого государства;

— оценка, на базе математической модели взаимодействия неидентичных экономических систем через внешнюю торговлю, влияния регулирования экономической системы одного государства на экономические показатели второго государства при одновременном применении оптимальных законов регулирования на уровне одного экономического параметра из трех ((д, 7Гі, в) и (С2)7і"2?$) в двух странах. При этом одновременное регулирование обменного курса в со стороны двух стран не рассматривалось.

В рамках первого намеченного этапа исследований были оценены коэффициенты математической модели взаимодействия идентичных экономических систем двух государств через внешнюю торговлю на основе данных одного государства [42]. Результаты параметрической идентификации показывают, что величина стандартного отклонения расчетных значений от наблюдаемых значений соответствующих переменных составляет 5%. Значения критериев К і равны и имеют вид К і = К2 = 1,145 при С\ = = С? = С2° = 0,1 и в = 1.

Результаты численного решения первого этапа задачи выбора оптимального закона параметрического регулирования на уровне одного из экономических параметров 7Гі, в) для экономической системы первого государства представлены в табл. 1.5.7. Анализ табл. 1.5.7 показывает, что наилучший результат К\ = 0,99 достигается при использовании закона регулирования

Api(t)

7гі = -0,8 + 0,1348.

При этом законе регулирования критерий для оптимальности экономической системы второго государства равен = 1,144 и незначительно отличается от случая отсутствия регулирования.

Результаты численного решения первого этапа задачи выбора оптимальной пары законов параметрического регулирования представлены в виде восьми таблиц вида табл. 1.5.8, отличающихся друг от друга выражением закона регулирования хотя бы по одному параметру.

На основе анализа этих таблиц, согласно требованиям второго этапа, можно рекомендовать для использования пару законов ре- гулирования параметров 7Гі и U следующего вида:

Арі (t) „ AMi(t)

7гі = -0,8-^ + 0,1348, 0 =-1,6^^ + 0,2.

При этом значение критерия экономической системы первого государства равно К\ = 0,97, значение критерия для экономической системы второго государства незначительно отличается от случая отсутствия регулирования и равно К і = 1,144.

Таблица 1.5.7. Результаты численного решения первого этапа задачи выбора оптимального закона параметрического регулирования на уровне одного параметра Обозначение закона Коэффициент закона Значение критерия К і uh 0,2 1,072 uh 0 1,145 Uk 2Д 1,009 иї 1 0 1,145 uh 0 1,145 uh ОД 1,068 uh 0 1,145 uh 0,8 0,99 ul3 0 1,145 иїз 1,8 1,070 ul3 0 1,145 ul3 1,9 1,100

Таблица 1.5.8. Результаты численного решения первого этапа задачи выбора оптимальной пары законов параметрического регулирования

Пары законов параметрического регулирования Значение критерия К\ Первый закон пары Второй закон пары Обозначение закона Оптимальное

значение коэффициента Обозначение закона Оптимальное

значение коэффициента Ul 2 0,8 Ul з 0 0,99 Ul2 0,8 Uls 1,6 0,97 Ul2 0,8 Uls 0 0,99 Ul2 0,8 Uls 0 0,99

Далее были оценены коэффициенты математической модели взаимодействия неидентичных экономических систем двух государств через внешнюю торговлю на основе данных различных государств [37, 36]. Результаты параметрической идентификации показывают на приемлемую точность описания. Значения критерия Кі (і = 1,2) были соответственно равны К\ = 1,137, К2 = 1,775 при Сі = 0,15, С2 = 0,015, в = 0,2.

Решение задачи выбора, на базе математической модели взаимодействия неидентичных экономических систем двух государств через внешнюю торговлю, оптимального закона параметрического регулирования обменного валютного курса в для экономической системы первого государства позволяет предложить закон вида

А

' 139 435

При регулировании курса валюты первого государства по этому закону его критерий улучшается со значения 1,137 до 1,123. При этом критерий второго государства ухудшается со значения 1,734 до 1,828.

Решение задачи выбора, на базе математической модели взаимодействия неидентичных экономических систем двух государств через внешнюю торговлю, оптимальной пары законов параметрического регулирования позволяет предложить следующие законы:

^=0,2*^ + 0,1136, 0 = 1,5^^ + 0,2. ' 139 435 ' 139 435 '

При этом наблюдается критерий К2 = 1,83 у экономической системы второго государства при К\ = 1,05.

При решении задачи выбора оптимального закона параметрического регулирования второго государства из рассматриваемой пары государств были получены следующие результаты. Оптимальное регулирование параметра в осуществляется с помощью закона

о2 =

-0,12Ap2(t) + 0,2'

При этом значение критерия К2 улучшилось от 1,775 до 1,73.

При решении задачи выбора оптимальной пары законов параметрического регулирования для второго государства была получена следующая пара законов:

= -O.llAplw + O.2- = +

При регулировании по этим законам значение критерия К2 составило 1,66. В обоих случаях критерий первого государства К\ менялся незначительно (увеличение в пределах 1%).

При проведении одновременного регулирования параметров двух государств было отмечено улучшение значений критериев в пределах 3% для каждого государства по сравнению с регулированием каждого государства по отдельности. Так, оптимальное регулирование первого государства на уровне одного параметра осуществляется с помощью закона U42, при этом законе критерий К\ = 0,99. Оптимальное регулирование второго государства на уровне одного параметра осуществляется с помощью закона ?/43, при этом законе критерий К2 = 1,72. При одновременном применении законов регулирования U\2 и С^Із для обоих государств значения критериев оказались равными К\ = 0,98 и К2 = 1,66.

Исследование структурной устойчивости математической модели страны с учетом влияния международной торговли и валютных обменов с параметрическим регулированием. Проверим грубость системы (1.5.67)—(1.5.86), где параметры 7г^, в определяются в соответствии с решением задач параметрического регулирования в виде выражений

(1.5.92)

при любых значениях настраиваемых коэффициентов klap ^ 0. Здесь constjg — постоянная, равная оценке значений /3-го параметра /'-го государства по результатам параметрической идентификации, і = 1,2, a = 1,4, /3=1,3.

Применение закона параметрического регулирования U^p означает подстановку соответствующих функций вместо параметров U = 1)) Щ (j = 2) и в (j = 3) в уравнения модели (1.5.67)— (1.5.86).

В результате применения этих законов к системе (1.5.67)- (1.5.86) получается следующая система: 1.5.93) 1.5.94)

dM4

dt рфі dt pi dLG

= rGtLf + Фf - npiФг - nLlSlRf - n0t(dpi + df), (1.5.95) 1.5.96)

djH _ _ Qi_ dt ~ aiM,Pu T>d r>S

Ki ~ Ki

Rf

Є^31 і

—— = —— max < 0

dt Д,-

, Rf = mm{Rf,Rf}, (1.5.97) (1.5.98) (1.5.99)

1.5.100)

1.5.101)

1.5.102)

1.5.103)

1.5.104)

1.5.105)

1.5.106)

TP _ 1 ~ Ugl J-G Li ~ —jji bi '

ua 1

d? = l—Ikpir2iLf:

u:

al

G

df = (Згг2гЬ?,

і-s{

Vi

1 -

Xi —

SiVi\ Si = - (1 - Пр1)Ф? + noAdf + О +

I -f- Tlpi

+ Пртфр + [іnLl + (1 - nLl)npi}siRf + npi{- Ula3Фг,) +

+ IHLpi-rGiL{\, (1.5.107)

1 Ф?

Щ' =P&exp(\pit)-

+ W (і + С^а3Щр0г(Хргі)

4 Рі'

j = 3 - і,

(1.5.108)

сь'Рі с° —

1 Рі , 1 Рі ло

Ф21 = Ц $2 + Ц (1.5.110)

ФІ = Ф{ + Ф[ + Ф? + Фр + Ф21 " С/аЗФ12, (1.5.111)

Ф2 = Ф^ + + Фр + Фр + Ф12 - -Д-Фгі. (1.5.112)

а З

Доказательство слабой структурной устойчивости математической модели позволяет установить сохранение слабой структурной устойчивости рассматриваемой модели при применении законов параметрического регулирования U^p в виде следующего утверждения.

Утверждение 1.5.4. Пусть N — компактное множество, лежащее в области (М\ >0, Q\ < 0, р\ > 0) или (М\ > 0, Qі > 0, р\ > 0) фазового пространства системы дифференциальных уравнений модели (1.5.93)—(1.5.112), т. е. восъмимерного пространства переменных (Mi,Qi,pi,La), і = 1,2; замыкание внутренности N совпадает с N. Тогда поток /, определяемый системой (1.5.93)—(1.5.112), слабо структурно устойчив на N.

Нахождение точек бифуркации экстремалей задачи вариационного исчисления на базе математической модели страны с учетом влияния международной торговли и валютных обменов. Кроме рассмотренного выше случая, задача выбора оптимального набора законов решалась и в другой постановке.

В работе выбор оптимальных законов параметрического регулирования на базе модели (1.5.67)—(1.5.86) на уровне одного из двух параметров пі осуществляется в среде набора следующих зависимостей:

AMj(t) ^ Mi(tо) (1.5.113)

21 ці - _ki AM+ const* «2/3 Mi{ta) + const^ Здесь U^p — a-й закон регулирования /3-го параметра г-го государства, a = 1,4, (3 = 1,2; случай /3=1 соответствует параметру (3 = 2-щ- ДМ* (i) = Ma(H{t) - ЛГ*(*о), Api(t) = pa/3i(t) - ~~ Pi(to), где to — время начала регулирования, t Є [to, to + T], Mapi(t), pa/3i(t) — значения производственной мощности и уровня цен г-го государства соответственно при U^p-м законе регулирования; klap — настраиваемый коэффициент соответствующего закона (кгар ^ 0); constjg — постоянная, равная оценке значений /3-го параметра по результатам параметрической идентификации.

Задача выбора оптимального закона параметрического регулирования для экономической системы г-й страны на уровне одного из экономических параметров (?j, тг,, в) ставилась в следующем виде. Найти на основе математической модели (1.5.67)—(1.5.86) оптимальный закон параметрического регулирования в среде набора алгоритмов (1.5.113), т.е. найти оптимальный закон (и его коэффициент кгар) из множества {U^p}, который обеспечил бы максимум критерия

to+T

Кг = \ \ Yi(t)dt, (1.5.114)

to

где Y;L = Mj/j. В вычислительных экспериментах исследовалось влияние параметрического регулирования первого государства (< = !)•

Замкнутое множество в пространстве непрерывных вектор- функций выходных переменных системы (1.5.67)—(1.5.86) и регулирующих параметрических воздействий определяется следующими соотношениями:

\pi(t)-pt*(t)\^0,09pt*(t), (Мг(1),Яг(1),Ь^(1;),Рг(г),8г(1;))?Х, 0 < U^ < aj,, (1.5.115) а = Т~4, /? = ТД i = h2 te[t0,t0+T\.

Здесь a'p — наибольшее возможное значение а-го параметра г-го государства, p**(t) — модельные (расчетные) значения уровня цен г-го государства без параметрического регулирования, X — компактное множество допустимых значений указанных переменных.

В данной задаче вариационного исчисления рассматривалась ее зависимость от двумерного коэффициента А = (г21,9) математической модели, возможные значения которого принадлежат некоторой области (прямоугольнику) Л на плоскости.

В результате вычислительного эксперимента были получены графики зависимостей оптимального значения критерия К от значений параметров (г2і,в) для каждого из восьми возможных законов U^p, ol = 1,4, /3 = 1,2. На рис. 1.5.13 представлены

указанные графики для двух законов (U22 и ^42)5 дающих наибольшее значение критерия в области Л, линия пересечения соответствующих поверхностей и проекция этой линии пересечения на плоскость значений А, состоящая из точек бифуркации этого двумерного параметра. Эта проекция делит прямоугольник Л на две части, в одной из которых оптимальным является закон

тт'л ,1 AMi (t) , ттЛ

управления Щ2 = -Ц2 + const^, а в другой — Щ2 =

! ApiM +1 „

= — "ч?—7—г + constA, на самой проекции линии оба указанных закона являются оптимальными.