1.2. Метод исследования устойчивости и структурной устойчивости математических моделей экономической системы страны 1.2.1. Разработка методов оценок показателей устойчивости математических моделей.

f:A^B, (1.2.1)

переводящую значения исходных (экзогенных) данных р Є А в решения (значения эндогенных переменных) у Є .В.

После построения математической модели некоторого реального явления или процесса / и определения с помощью известных наблюдаемых данных или решения задачи параметрической идентификации фактического значения точки р встает вопрос об адекватности исследуемой модели.

Ниже приводятся разработанные алгоритмы оценок показателей устойчивости математической модели, характеризующие устойчивость решений математической модели по отношению к изменениям исходных данных. Все параметры и переменные модели при этом предварительно приводятся к безразмерному виду.

Пусть X = (Xі, X2,.. .,Хк) — некоторый вектор значений экзогенных параметров модели для промежутка времени t Є Є {0,.. .,Т}. Соответствующий вектор базовых значений для указанного промежутка времени обозначим через Xq = (Xq,Xq,... ...,Xq). В качестве вектора X для динамических моделей рассматривается вектор значений параметров и начальных значений переменных для дифференциальных (или разностных) уравнений. В качестве вектора X для эконометрических моделей используется вектор наблюдаемых статистических данных, используемых для нахождения коэффициентов уравнений модели.

Пусть р = (р1,р2,..

Пусть А — пространство векторов нормированных входных данных, состоящее из всех допустимых наборов р, А С Rk — метрическое пространство с евклидовой метрикой, определяемой пространством Rk, ро Є А.

Пусть Y = Y(p) = (У1, Y2,.. -,Yn) — выбранный вектор значений эндогенных переменных для некоторого выбранного промежутка (или момента) времени, найденный для выбранных значений р. В качестве вектора Y для динамических моделей рассматривается вектор значений некоторого выбранного набора эндогенных переменных модели для указанного промежутка (или момента) времени. В качестве вектора Y для эконометрических моделей используется вектор значений коэффициентов уравнений модели или вектор значений некоторого выбранного набора эндогенных переменных модели для указанного промежутка (или момента) времени. В частности, при р = ро обозначим через Y0 = Y(p0) = (Y0\Yl...,Y0n).

Нормированный вектор значений эндогенных переменных для момента времени Т\ обозначим через

/у1 у2 упх

У = У(р) = ^,jr2>--->YfJ '

Уо = у{ро) = (1,1,...,1).

Пусть В С II" — область, содержащая возможные выходные значения у для р Є А, снабженная евклидовой метрикой простран- ства Rn, уо Є В. Исследуемая модель определяет отображение / множества А в множество В.

Для выбранных точки р Є А и числа a > О обозначим через Ua(p) пересечение окрестности точкир радиуса а с множеством А:

Ua(p) = {х\ Є A: p(pi,p) < а}.

Здесь и далее р — евклидово расстояние между двумя точками эвклидова пространства.

Для некоторого подмножества В\ С В через <ИВ\) обозначим диаметр множества В і, т.е.

d(Bi) = sup(p(yi,y2): УъУ2^В{).

Определение 1.2.1. Показателем устойчивости экономе- трической модели в точке X Є А для значения а > 0 называется число

/3(p,a) = d(f(Ua(p)))• (1-2.2)

Алгоритм 1.2.1 оценки показателя устойчивости (3(р, а) модели методом Монте-Карло состоит в следующем. 1.

Выбираются наборы входных параметров (X) и выходных переменных (Y), для которых рассчитываются соответствующие нормированные величины. 2.

Определяется вектор нормированных входных данных р = = (р1,]?2,.. число а > 0 и множество Ua(p). 3.

Генерируется набор из достаточно большого числа М псевдослучайных точек (pi, Р2, • • Рм), равномерно распределенных в Ua(p).

Для этого с помощью датчика равномерно распределенных псевдослучайных чисел последовательно генерируются координаты plj (і = 1,..., k, j = 1,..., M) точки pj, принадлежащие числовым промежуткам [рг — а, рг + а] покрывающим Ua(p), в случае

к

выполнения неравенства — pj')2 ^ о? (т.е. Xj Є Ua(p)) эта

і=і

точка добавляется к создаваемому набору. 4.

Для каждой точки pj набора с помощью просчета модели определяется точка yj = f(pj), j = 1,..., М. 5.

Вычисляется значение

/3 = max (р(уі, yj): i,j = 1,...,M). 6.

Останов.

При a = 0,01 найденное число /3/2 характеризует, на сколько процентов (максимально) изменятся значения выходных переменных модели при изменении входных данных на 1%.

Определение 1.2.2. Абсолютным показателем устойчивости модели в точке х Е А называется число

/3{х) = inf /3(р,а). (1.2.3)

0<а<С«о

Здесь ао — максимальное допустимое относительное отклонение значений входных данных модели.

Алгоритм 1.2.2 оценки абсолютного показателя устойчивости (3(р) эконометрической модели состоит в следующем.

Для выбранного значения «о и чисел j = 0,1,2,... последовательно, с помощью алгоритма 1.2.1, находятся числа /3j = = (3(р,аo/2J) и оценивается число

(3(р) = inf /3j. j=0,1,2,... J

Если число /3(р) окажется меньше некоторого наперед заданного малого числа є (т. е. (3{р) считается приблизительно равным нулю), то отображение /, задаваемое исследуемой моделью оценивается в точке р как непрерывно зависящее от входных значений.

Определение 1.2.3. Максимальным абсолютным показателем устойчивости модели в области А называется число

7 = suppeA/3(p). (1.2.4)

Алгоритм 1.2.3 оценки максимального абсолютного показателя устойчивости 7 модели методом Монте-Карло состоит в следующем. 1.

Генерируется набор из достаточно большого числа М псевдослучайных точек (pi, р2, ..., Рм), равномерно распределенных в А. 2.

Для каждой точки pj набора и для выбранного ао > 0 с помощью алгоритма 1.2.2 находятся числа f3(pj), j = 1,..., М. 3.

Определяется число

7 = шах в(рЛ. 4.

Останов.

Если число 7 окажется меньше некоторого наперед заданного малого числа є (т.е. 7 считается приблизительно равным нулю), то отображение /, задаваемое исследуемой моделью, оценивается на множестве А как непрерывно зависящее от входных значений.

Разработанные алгоритмы применялись для оценок экономе- трической модели взаимосвязи макроэкономических показателей и CGE-модели отраслей экономики.

Для CGE-модели отраслей экономики в качестве множества А использовалось множество возможных значений исходных статистических данных, используемых при параметрической идентификации коэффициентов и начальных значений разностных уравнений этой модели, а в качестве множества В результаты расчета модели для определенных значений времени, следующих за периодом параметрической идентификации этой модели.