3.2.2. Исследование структурной устойчивости математической модели Гудвина без параметрического регулирования.

Лемма 3.2.1. Особая точка (8*, А*) системы (3.2.1) является центром.

( о ^

V-4? ч

_ /«А* - а0 а8* = 1 -ЬА* Ь0 - Ь8"

Доказательство. Запишем, учитывая (3.2.2), матрицу Якоби для правых частей системы уравнений (3.2.1) в точке (6*, А*):

Очевидно, что эта матрица имеет мнимые собственные числа ±i\/aobo, следовательно, точка (5*,\*) является структурно неустойчивым центром (негиперболическая точка).

Утверждение 3.2.1. Система (3.2.1) является структурно неустойчивой в замкнутой облает,и Г2 (Г2 CI R\) С границей — простой замкнутой кривой, содержащей внутри себя точку (8*, А*) вида (3.2.2) при любых указанных выше фиксированных значениях параметров k, п, 7, Ао, /3 из соответствующих областей их заданий.

Система (3.2.1) является структурно устойчивой в замкнутой области (О С R+) с границей — простой замкнутой кривой, не содержащей внутри себя точку (5*, А*) вида (3.2.2) при любых указанных выше фиксированных значениях параметров k, п, 7, Ао, /3 из соответствующих областей их заданий.

Доказательство. Пусть замкнутая область О С R+ содержит внутри себя особую точку (<5*, А*). В окрестности этой точки система (3.2.1) является локально структурно неустойчивой, следовательно, она структурно неустойчива в области О.

Пусть замкнутая область Q С ІЇ~ не содержит внутри себя особую точку (<5*, А*). В этом случае область Г2 не содержит внутри себя ни одного цикла (внутри любого цикла должна быть хотя бы одна особая точка). Следовательно, в этом случае система (3.2.1) структурно устойчива в области ІІ. Утверждение 3.2.1 доказано.

3.2.3.

Рассмотрим теперь возможность осуществления эффективной государственной политики через выбор оптимальных законов регулирования на примере экономического параметра — капиталоемкости к. Цель экономической политики — уменьшение амплитуд колебаний показателей (6, А) эволюции экономической системы страны.

В работе выбор оптимальных законов параметрического регулирования осуществляется в среде набора следующих зависимо- стей: 1)

U1(t)=c16^f^ + k0, до 2)

U2(t) =-с2Ц^ + к0,

3.2.3

do

Ао

4) U4(t) = + к0

Ао

Здесь Ui — і-й закон регулирования параметра к (г = 1,4); — настраиваемый коэффициент г-ro закона регулирования, > 0; ко — постоянная, равная базовому значению параметра к. Использование закона регулирования Ui означает подстановку функции из правых частей (3.2.3) в систему (3.2.1) вместо параметра к; t = 0 — время начала регулирования, t Є [0,Т].

Задачу выбора оптимального закона параметрического регулирования на уровне экономического параметра к можно сформулировать в следующем виде. Найти на основе математической модели (3.2.1) оптимальный закон параметрического регулирования экономического параметра к в среде набора алгоритмов (3.2.3), т. е. найти оптимальный закон из множества {Ui}, который обеспечил бы минимум критерия, характеризующего среднее расстояние от точек траектории до особой точки (<5*,А*) системы: т

К =)-\ л/(д(і) - ё*)2 + {X(t) - X*)2 dt ->? min , (3.2.4)

Т J {Ui,Ci}

о

при ограничениях

0 < к < 1, (К А < 1, (К 1, t Є [0,Г]. (3.2.5)

Здесь Т — период регулируемой циклической траектории системы (3.2.1), критерий К характеризует среднее расстояние от точек этой траектории до стационарной точки (3.2.2).

Сформулированная задача решается в два этапа: —

на первом этапе определяются оптимальные значения коэффициентов СІ для каждого закона Щ путем перебора их значений в соответствующих интервалах (квантованных с малым шагом), обеспечивающих минимум К при ограничениях (3.2.5): —

на втором этапе выбирается закон оптимального регулирования параметра к на основе результатов первого этапа по минимальному значению критерия К.

Рассматриваемая задача решалась при заданных значениях параметров (3 = 10/13, 7 = 0,5, <$о = 0,4, Ао = 0,5; при фиксированном значении нерегулируемого параметра п = 0,3 и при базовом значении регулируемого параметра UQ = 10/19.

При этих значениях параметров стационарная точка системы следующая: А* = 0,5, 8* = 0,5.

Результаты численного решения задачи выбора оптимального закона параметрического регулирования показывают, что наилучший результат К = 0,03215307 может быть получен при использовании следующего закона: (3.2.6)

„ Am-0,5 10

к = 4,28— + —.

0,5 19 Отметим, что значение критерия без использования параметрического регулирования равно К = 0,0918682.

В результате численных экспериментов были получены следующие факты:

— уменьшение значения критерия К по сравнению со случаем отсутствия регулирования наблюдалось только при использовании законов U\(t) и Щ(t) из (3.2.3); X

0,58 0,56 0,54 0,52 0,50 0,48 0,46 0,44

О, — при использовании законов вида U\{t) наблюдалось сохранение циклического характера фазовой траектории системы (3.2.1) (рис.

— при использовании законов вида Us(t) вместо циклической траектории наблюдались траектории, стремящиеся при t —+оо к устойчивой особой точке системы (3.2.1) с параметрическим регулированием (рис. 3.2.2).

0,58 0,56 0,54 0,52 0,50 0,48 0,46 0,44

0, 65

Рис. 3.2.2. Кривая 1 — конъюнктурный цикл без регулирования; кривая 2 — фазовая траектория с оптимальным законом регулирования Usit)