3.2.4. Исследование структурной устойчивости математической модели Гудвина с параметрическим регулированием.

Рассматриваемые законы имеют вид

k = cX{t\~Xo +к0. (3.2.7)

Ао

Здесь ко — постоянная, равная базовому значению параметра к.

Вначале найдем особые точки системы (3.2.1) с параметрическим регулированием.

(аА — ао)5 = О,

( 1 , l-fc(A)(7 + n + n7)\ = (3.2.8)

^ k(\)(l + 7)(1 + п) + к{\){\+1){1+п) )

Здесь к(А) = с— Ь ко. Мы будем использовать только такие

Ао

значения с, при которых 0 < к(А) < 1. Система (3.2.4) в имеет единственное решение: (3.2.9)

= 8* = 1-к(Х*)(1 + п + п1), где 0 < А* < 1, 0 < J* < 1.

Запишем теперь матрицу Якоби для левых частей системы уравнений (3.2.8) в точке (3.2.9): faX* — ао

А =

а8*

—ЬХ*

сі-ж)х* + {-Ь5*+Ьо) а8* с{8* - 1)А*

( 0

-ЬХ*

\

где Bl = + к°) Ао(1 + 7)(1 + «)-

Собственные числа матрицы А являются корнями уравнения с(1 — ё*)Х*

-т +

т2 +

с^—^ + ко) Ао(1+7)(1 + П)

Ао

l-fc(A*)(7 + n + n7) = Л(А*)(1 + 7)(1 + п) а°

Обозначив коэффициенты этого уравнения через р и д, получим квадратное уравнение

m2+pm + q = 0, (3.2.10)

где q > 0 и знак р совпадает со знаком коэффициента с. Возможны следующие случаи:

1) если дискриминант уравнения (3.2.10) /

\2 D =

с{1-6*)Х* V

+ к°) Ао(і + т)(і + «)

7

ао < О,

1 — к(Х*)(у + п + nj) /г(А*)(1 + т)(1 + п) то особая точка (5*,Х*) системы (3.2.1) с параметрическим регулированием (3.2.7) является фокусом, причем при с > 0 этот фокус устойчив, а при с < 0 этот фокус неустойчив;

2) если D ^ 0, то особая точка (3.2.9) системы (3.2.1) с параметрическим регулированием (3.2.7) является узлом, причем при с > 0 этот узел устойчив, а при с < 0 этот узел неустойчив.

Утверждение 3.2.2.

Система (3.2.1) является структурно устойчивой в любой замкнутой области ?1 (S7 С R\) с границей — простой замкнутой кривой, не содержащей внутри себя точку (5*,Х*) вида (3.2.9) при любых указанных выше фиксированных значениях параметров с, п, 7, Ао, /3 из соответствующих областей их заданий.

Доказательство. Пусть особая точка (5*,Х*) не лежит в замкнутой области О С R+. В этом случае, повторив рассуждения из доказательства утверждения 3.2.1, получим, что система (3.2.1), (3.2.7) структурно устойчива в области Q.

Пусть теперь особая точка (5*,Х*) лежит в замкнутой области Q С R\. Поскольку эта точка является гиперболической (узел или фокус), то в ее окрестности система (3.2.1), (3.2.7) локально структурно устойчива. Утверждение 3.2.2 доказано.

Исследуем структурную устойчивость системы (3.2.1) при использовании закона параметрического регулирования вида U\(t) или (і) из набора алгоритмов (3.2.3) при любом фиксированном допустимом значении настраиваемого коэффициента с / 0.

V

Рассматриваемые законы имеют вид

к = сЩр^ + к0. (3.2.11)

О о

Вначале найдем особые точки системы (3.2.1) с параметрическим регулированием (3.2.11). Подставим это выражение для к в правые части уравнений системы (3.2.1) и приравняем их к нулю, получим следующую систему уравнений относительно неизвестных (5, Л) (при фиксированных остальных допустимых значениях переменных и постоянных):

(аА — ао)<5 = 0, s { i-4S)h + n + njy Л = о

к(5)(1 + т)(1 + п) k(S)(l +7)(1 + п)

(3.2.12)

^ ^

Здесь к(6) = с— Ь к0. Система (3.2.12) имеет единственное

оо

решение

Г = Г = 1 + (C7fco)(7 + n + "7). (3.2.13)

a 1 + с( 7 + п + п^/Оо

Мы будем использовать только такие значения с, при которых 0 < к{6) <1, 0 < А* < 1, 0 < 8* < 1.

Запишем теперь матрицу Якоби для левых частей системы уравнений (3.2.8) в точке (3.2.9):

А =

( 0 aS*\

( \

с(6* - 1) 1

Утверждение 3.2.3. Система (3.2.1) с параметрическим регулированием (3.2.11) является структурно неустойчивой в замкнутой области Гі (fi С В?+) с границей — простой замкнутой кривой, содержащей внутри себя точку ($*,А*) вида (3.2.13) при любых указанных выше фиксированных значениях параметров с, к, п, 7, Ао, /3 из соответствующих областей их заданий.

Система (3.2.1), (3.2.11) является структурно устойчивой в замкнутой области S7 (О С С границей — простой замкнутой кривой, не содержащей внутри себя точку (8*, А*) вида (3.2.13) при любых указанных выше фиксированных значениях параметров с, к, п, 7, Ао, /3 из соответствующих областей их заданий.