1.5. Примеры применения теории параметрического регулирования 1.5.1. Математическая модель неоклассической теории оптимального роста

Первое уравнение системы (1.5.1) есть фундаментальное уравнение Солоу теории экономического роста. Второе уравнение этой системы получается из условия максимума целевого функционала:

ОО ОО

J U(c)L(t)e~pt dt = BL0 J

о 0

характеризующего суммарное благосостояние всего населения на промежутке времени 0 sC t < оо. Указанный функционал максимизируется при ограничениях

к(0) = к0, к' = Ака — с — (п + 5)к, 0 < c(t) < и постоянных значениях параметров 6, п, р, А, В, а, (3.

Решения системы (1.5.1) будем рассматривать в некоторой замкнутой области с границей — простой замкнутой кривой, принадлежащей первому квадранту фазовой плоскости R+ = {к > 0,

с > 0}, А;(0) = ко, с(0) = с0, (к0, с0) Є fi.

Исследование структурной устойчивости математической модели неоклассической теории оптимального роста без параметрического регулирования. Проведем оценку грубости (структурной устойчивости) рассматриваемой модели без параметрического регулирования в вышеуказанной замкнутой области Q с границей — простой замкнутой кривой, принадлежащей первому квадранту фазовой плоскости R+ = {к > 0, с > 0}, к(0) = ко, с(0) = со, (ко, со) Є опираясь на теорему о необходимых и достаточных условиях грубости [12].

Лемма 1.5.1. Система (1.5.1) в области имеет единственную особую точку

c. = fc> + *)(l-a)+P-n (1.5.2) \S + pJ а

Эта точка является седловой точкой системы (1.5.1).

Доказательство леммы приведено в приложении А. (1.5.3)

Теорема 1.5.1. Пусть правые части системы х = fi{x,y), у' = /2 {х, У) — гладкие функции в некоторой области Vt-\ С R2 и система (1.5.3) имеет в этой области единственную седловую особую точку (х*,у*). Тогда система (1.5.3) является грубой в замкнутой области S1 (12 С Oi), содержащей внутри себя точку Доказательство теоремы приведено в приложении А.

Следствие 1.5.1. Система (1.5.1) является грубой в замкнутой области О (S2 С Д+), содержащей внутри себя точку (к*, с*) при любых фиксированных значениях параметров п, Lq, S, р, А, а, В, (3 из соответствующих областей их заданий.

Отсюда следует, в частности, факт отсутствия бифуркаций фазового портрета системы (1.5.1) в области О при изменении упомянутых в теореме параметров в областях их заданий.

Выбор оптимальных законов параметрического регулирования развития рыночной экономики на базе математической модели неоклассической теории оптимального роста. Рассмотрим теперь возможность осуществления эффективной государственной политики на базе модели (1.5.1) через выбор оптимальных законов регулирования на примере экономического параметра — уровень амортизации капитала (<5).

(1.5.4)

с 0 с 0

Здесь U~i — і-й закон регулирования параметра S (і = 1,4); А і — настраиваемый коэффициент г-го закона регулирования, \ ^ 0; S* — постоянная, равная базовому значению параметра 5; Ak(t) = = ki(t) — к(0), Ac(t) = Ci(t) — с(0); (ki(t),Ci(t)) — решение системы (1.5.1) с начальными условиями к{(0) = ко, с,(0) = со при использовании закона регулирования Щ. Использование закона регулирования Щ означает подстановку функции из правых частей (1.5.4) в систему (1.5.1) вместо параметра 8; t = 0 — время начала регулирования; t Є [0, Т].

В работе выбор оптимальных законов параметрического регулирования осуществляется в среде набора следующих зависимостей:

Задачу выбора оптимального закона параметрического регулирования на уровне одного из экономических параметров 8 можно сформулировать в следующем виде.

т (1.5.5) о

при ограничениях

\ki{t)-k{t)\ ^ 0,09fc(t), (ki(t), Ci(tj) Є О,, где t Є [О,Т]. (1.5.6)

Здесь (k(t),c(t)) — решение системы (1.5.1) без параметрического р егулир ования.

Сформулированная задача решается в два этапа: —

на первом этапе определяются оптимальные значения коэффициентов А і для каждого закона Ui путем перебора их значений в соответствующих интервалах (квантованных с малым шагом), обеспечивающих максимум К при ограничениях (1.5.6); —

на втором этапе выбирается закон оптимального регулирования параметра 8 на основе результатов первого этапа по максимальному значению критерия К.

Рассматриваемая задача решалась: —

при заданных значениях параметров a = 0,5, /3 = 0,5, А = 1, В = 1, к0 = 4, с0 = 0,8, Т = 3, L0 = 1; —

при следующих фиксированных значениях нерегулируемых параметров: п = 0,05, р = 0,1; —

при базовом значении регулируемого параметра <5 = 0,2.

Результаты численного решения задачи выбора оптимального

закона параметрического регулирования на уровне одного экономического параметра экономической системы показывают, что наилучший результат К = 1,95569 может быть получен при использовании следующего закона:

(1.5.7)

Отметим, что значение критерия без использования параметрического регулирования равно К = 1,901038.

Исследование структурной устойчивости математической модели неоклассической теории оптимального роста с учетом параметрического регулирования. Проверим грубость системы (1.5.1), где параметр <5 определяется в соответствии с решением задачи параметрического регулирования и с учетом влияния изменений неуправляемых параметров п и р в виде выражения

S = Xi^T^ + S0 (1.5.8)

k0

при любом значении настраиваемого коэффициента Ai > 0.

Ака - с- ( n + Ai^—- + 80 ] к = 0, ко = 0.

1-/3

aAk^-i + ) -р Поскольку функция из правой части второго уравнения системы (1.5.1) как функция одной переменной к строго убывает и принимает все значения при к > 0, то второе уравнение имеет единственное решение к*. Для этого значения найдется единственное решение с* первого уравнения (1.5.9), т. е. система (1.5.9) имеет единственное решение (к*, с*). Если (к*, с*) ^ R+, то очевидно, что система (1.5.1) с законом регулирования U\ является структурно устойчивой в любой замкнутой области Г2 С R+.

Пусть теперь [к*, с*) ? RНайдем определитель матрицы Якоби функций /і, /2 — левых частей соответствующих уравнений системы (1.5.9) в этой точке. Поскольку

= - 1)А(к*Г~2 - Ai) < о,

то определитель указанной матрицы А < 0. Поэтому в этом случае точка (к*, с*) является седловой точкой системы (1.5.1) с законом

управления U\. Из теоремы 1.5.1 следует факт структурной устойчивости рассматриваемой системы в замкнутой области О, С содержащей внутри себя точку (к*, с*).

В частности, при использовании указанного закона (1.5.7), система (1.5.1) остается структурно устойчивой.

Методами, изложенными выше, можно проверить условия грубости системы (1.5.1) и при использовании оптимального закона

С Л С Со г-

вида о = — Аі Ь оо при нахождении значении параметров

со

(п,р) в замкнутой области, принадлежащей R+.

Нахождение точек бифуркации экстремалей задачи вариационного исчисления на базе математической модели неоклассической теории оптимального роста. Исследуем зависимость результатов выбора закона параметрического регулирования на уровне параметра 8 от неуправляемых параметров (п,р), значения которых принадлежат некоторой области (прямоугольнику) Л на плоскости. Другими словами, найдем возможные точки бифуркации для рассматриваемой вариационной задачи по выбору оптимального закона параметрического регулирования рассматриваемой модели экономического роста.

от значений параметров (п,р) для каждого из четырех возможных законов Ui. На рис. 1.5.1 представлены графики для законов

В результате вычислительного эксперимента были получены графики зависимостей оптимального значения критерия (1.5.5) К

U\ и С/4, которые дают наибольшие значения критерия в области Л, линия пересечения этих поверхностей — проекция линии пересечения на область значений параметров (п,р), состоящую из бифуркационных точек этих параметров. Эта проекция делит прямоугольник Л на две части, в одной из которых оптимальным является закон управления U\, а в другой — С/4. На самой проекции линии оба закона являются оптимальными.

По исходу данного исследования зависимости результатов решения рассматриваемой задачи вариационного исчисления от значений нерегулируемых параметров (п,р), к выбору оптимальных законов параметрического регулирования можно подойти следующим образом. Если значения параметров (п,р) находятся левее линии бифуркации в прямоугольнике Л (рис. 1.5.1), то в качестве оптимального закона рекомендуется закон C/i, а если значения параметров (п,р) находятся правее линии бифуркации в прямоугольнике Л, то в качестве оптимального закона рекомендуется закон С/4. Если значения параметров (п,р) находятся на линии бифуркации в прямоугольнике Л, то в качестве оптимального закона можно рекомендовать любой закон из U\, С/4.