1.2.2. Разработка методов оценки слабой структурной устойчивости дискретной динамической системы (полукаскада) на базе подхода Робинсона.

фундаментальных результатах теории динамических систем на плоскости; —

методах проверки условий принадлежности математических моделей к определенным классам структурно устойчивых систем (Морса-Смейла, О-грубым системам, У-системам, системам со слабой структурной устойчивостью).

В настоящее время теория параметрического регулирования развития рыночной экономики располагает рядом теорем о структурной устойчивости конкретных математических моделей (модель неоклассической теории оптимального роста, модели экономической системы страны с учетом влияния доли государственных расходов и ставки процента по государственным займам на экономический рост; модели экономической системы страны с учетом влияния международной торговли и валютных обменов на экономический рост и др.), сформулированных и доказанных на базе указанных выше фундаментальных результатов.

Наряду с аналитическими возможностями исследования структурной устойчивости конкретных математических моделей (без параметрического регулирования и с параметрическим регулированием) на базе указанных результатов теории динамических систем можно рассмотреть подходы исследования структурной устойчивости математических моделей национального хозяйства с помощью вычислительных экспериментов.

Ниже излагается возможность построения одного вычислительного алгоритма оценки структурной устойчивости рассматриваемых математических моделей экономической системы страны на базе следующей теоремы (теорема А) Робинсона [67] о слабой структурной устойчивости.

Теорема А.

Пусть R(f, N) содержится внутри N. Пусть оно имеет гиперболическую структуру, кроме того, поток / на R(f, N) удовлетворяет также условиям, трансверсальности устойчивого и неустойчивого многообразий. Тогда поток f на N слабо структурно устойчив. В частности, если R(f, N) — пустое множество, то поток / слабо структурно устойчив на N. Аналогичный результат, справедлив и для дискретной динамической системы (каскада), задаваемого гомеоморфизмом (с образом) /: N N'.

Поэтому оценка слабой структурной устойчивости потока (или каскада) / с помощью вычислительных алгоритмов на основе теоремы А может быть проведена путем численной оценки цепоч- но-рекуррентного множества R(f, N) для некоторой компактной области N фазового пространства исследуемой динамической системы.

На основе алгоритма построения символического образа [32] ниже предлагается алгоритм локализации цепно-рекуррентного множества для компактного подмножества фазового пространства динамической системы, описываемой системой обыкновенных дифференциальных (или разностных) и алгебраических уравнений. Для компьютерного моделирования цепно-рекуррентного множества использовался ориентированный граф (символический образ), являющийся дискретизацией отображения сдвига по траекториям, определяемого этой динамической системой.

Пусть ищется оценка цепно-рекуррентного множества R(f, N) некоторой динамической системы в компактном множестве N ее фазового пространства. Для конкретной математической модели экономической системы в качестве компакта N можно взять, например, параллелепипед ее фазового пространства, включающий в себя все возможные траектории эволюции экономической системы для рассматриваемого промежутка времени.

Описание алгоритма локализации цепно-рекуррентного множества состоит в следующем. 1.

Определяется отображение /, определенное в N и задаваемое сдвигом по траекториям динамической системы для фиксированного промежутка времени. 2.

Строится разбиение С компакта N на ячейки iVj. Задается ориентированный граф G, вершины которого соответствуют ячейкам, а ребра, соединяющие ячейки Ni с Nj соответствуют условиям пересечения образа одной ячейки /(iVj) с другой ячейкой Nj. 3.

В графе G находятся все возвратные вершины (вершины принадлежащие циклам). Если множество таких вершин пустое, то R(f, N) — пустое и процесс его локализации завершается. Делается вывод о слабой структурной устойчивости динамической системы. 4.

Ячейки, соответствующие возвратным вершинам графа G, разбиваются на ячейки меньшего размера, и по ним строится новый ориентированный граф G (см. п. 2 алгоритма). 5.

Переход к п. 3.

Пункты 3-5 повторяются до тех пор, пока диаметры ячеек разбиения не станут меньше некоторого наперед заданного числа є.

Последний набор ячеек и является оценкой цепно-рекуррентно- го множества R(f,N).

Разработанный метод оценки цепно-рекуррентного множества для компактного подмножества фазового пространства динамической системы позволяет, в случае пустоты найденного цепно-рекур- рентного множества R(f:N), сделать вывод о слабой структурной устойчивости динамической системы.

В случае если исследуемая дискретная динамическая система, априори, является полукаскадом /, применению теоремы Робинсона А для оценки ее слабой структурной устойчивости должна предшествовать проверка обратимости отображения /, заданного на N (поскольку в этом случае полукаскад, задаваемый / будет являться каскадом).

Приведем численный алгоритм оценки обратимости дифференцируемого отображения f:N—> N', где в качестве N используется некоторая замкнутая окрестность дискретной траектории {/*(®о), ^ = в фазовом пространстве динамической си

стемы. Будем считать, что N содержит внутри себя непрерывную линию L, последовательно соединяющую точки {ft(xo),t = = О, ...,Т}. В качестве такой линии можно взять, например, кусочно-линейную линию с узлами в точках указанной дискретной траектории полукаскада.

Проверку обратимости отображения /: N —»? N' можно осуществить в следующие два этапа. 1.

Проверка обратимости ограничения отображения /: N —»? N' на линию L: /: L —> f(L). Эта проверка сводится к установлению факта отсутствия точек самопересечения у линии f(L), т.е. (хі ф Х2) =>? (f{x 1) ф f(x2)), хі,Ж2 ^ L- Отсутствие точек самопересечения f(L) можно установить, например, проверив монотонность ограничения отображения / на I по какой-либо координате фазового пространства полукаскада /.

Пусть выбраны достаточно большой набор точек вида ж, = = (х},х?,...,х?) Є L, Уі = f(xi), Уі = (у},у1,...,у?) и номер координаты этих точек (j). Если для всех чисел xj, і = 1,.. ,,n, при xj < xj2 выполняется неравенство yj < yj2 (или при xj < xj

выполняется неравенство yj > yj ), то отображение /: L —> f(L) оценивается как обратимое. 2.

Проверка обратимости отображения / в окрестностях точек линии L (локальная обратимость). На основании теоремы об обратной функции такую проверку можно провести следующим образом. Для достаточно большого количества выбранных точек х Є L с помощью разностных производных оцениваются Якоби аны отображения /: J{x) — det , i,j — 1 ,...,п. Здесь

і, j — координаты векторов, п — размерность фазового пространства динамической системы. Если все найденные оценки Якобианов отличны от нуля и имеют одинаковые знаки, то можно сделать вывод о том, что J(x) ф 0 для всех х Є L и, следовательно, об обратимости отображения / в некоторой окрестности каждой точки х Є L.

Укрупненный алгоритм оценки слабой структурной устойчивости дискретной динамической системы (полукаскада, задаваемого отображением /) с фазовым пространством N' Є Rn, определяемой непрерывно дифференцируемым отображением / можно записать следующим образом. 1.

Нахождение дискретной траектории {/*(a?o), і = 0,.. .,Т} и линии L, в замкнутой окрестности N которой необходимо оценить слабую структурную устойчивость динамической системы. 2.

Оценка обратимости отображения / окрестности линии L с использованием приведенного выше алгоритма. 3.

Оценка (локализация) цепно-рекуррентного множества R(f, N). При этом, в силу очевидного включения R(f,N\) С С R(f, N2) при Ni С N2 С N', в качестве компакта N можно ис- пользовать любой параллелепипед, лежащий в N' и содержащий внутри себя L.

4. В случае, если R(f,N) = 0, делается вывод о слабой структурной устойчивости исследуемой динамической системы в N.

Этот укрупненный алгоритм применим и для оценки слабой структурной устойчивости непрерывной динамической системы (потока /), если в качестве линии L использовать траекторию L = {/*(жо), 0 ^ t ^ Г} динамической системы и пропустить п. 2 укрупненного алгоритма. При этом в качестве отображения / в п. 3 можно использовать отображение ft для некоторого фиксированного t (t > 0).